Übungen

Experimentalphysik-Vorlesung für
Chemiestudenten
Elektrizität und Optik
Prof. A. Tünnermann
Dr. E. Glaser
Übungen
Dr. J.-P. Ruske
Dr. H. Zellmer
3.1
Elektrostatik
3.1.1
Es gibt positive und negative elektrische Ladungen.
Ladung tritt in der Natur immer als ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e auf. Die Ladung eines
Elektrons ist –e, die eines Protons +e. Gegenstände
werden durch Ladungsaustausch, meist durch die
Übertragung von Elektronen, elektrostatisch aufgeladen. Ladung bleibt immer erhalten. Sie kann beim
Prozeß der elektrostatischen Aufladung nicht erzeugt
oder zerstört, sondern lediglich umverteilt werden.
3.1.2
Die Kraft, die eine Ladung auf eine andere ausübt, wirkt
entlang der Verbindungslinie der Ladungen. Die Kraft
ist proportional zum Produkt der Ladungen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstandes.
Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Dies wird durch das
Coulombsche Gesetz beschrieben:
F12 
q1q2 r12
 .
40 r122 r12
1
Der Proportionalitätsfaktor 1/40 hat den Wert
1
4 0
 8,99 10 9 N  m 2 / C 2 ,
wobei 0 = 8,854 . 10-12 C2 . N-1 . m-2 die elektrische
Feldkonstante ist.
3.1.3
Jedes Ladungssystem erzeugt ein elektrisches Feld,
das auf eine andere Ladungsverteilung an deren Ort
gemäß
dem
Coulombschen
Gesetz
eine
elektrostatische Kraft ausübt. Das elektrische Feld, das
am Ort einer positiven Probeladung q0 herrscht, ist
definiert als die Gesamtkraft, die auf diese Probeladung
wirkt, dividiert durch die Größe der Probeladung:
E
3.1.4
F
.
q0
Das elektrische Feld einer einzelnen positiven
Punktladung qi lautet im Abstand ri (von der
Punktladung) am Punkt P:
Ei 
qi ri 0

,
ri 20 ri 0
1
40
wobei ri0/ri0 den Einheitsvektor von qi in Richtung von P
bezeichnet.
Das
elektrische
Feld
eines
Ladungssystems ist die Vektorsumme der Felder der
einzelnen Ladungen:
E  E i  
i
3.1.5
i
1
40
qi ri 0

.
ri 20 ri 0
Ein elektrisches Feld kann graphisch durch elektrische
Feldlinien wiedergegeben werden, wobei die Feldlinien
bei positiven Ladungen beginnen und bei negativen
Ladungen enden. Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß
für die Stärke des Feldes.
3.1.6
Ein elektrischer Dipol ist ein System zweier gleichgroßer, aber entgegengesetzter Ladungen, die durch
einen kleinen räumlichen Abstand  getrennt sind. Das
Dipolmoment p ist ein Vektor, der von der negativen zur
positiven Ladung zeigt und dessen Größe durch die
Multiplikation von Ladung und Abstand bestimmt wird:
p  q.
Weit entfernt vom Dipol ist das elektrische Feld
proportional zum Betrag des Dipolmoments und fällt mit
der dritten Potenz der Entfernung ab.
3.1.7
In einem homogenen elektrischen Feld ist zwar die
gesamte, auf einen Dipol ausgeübte Kraft gleich null,
aber es existiert ein Drehmoment M mit
M = p x E,
das den Dipol parallel zu den Feldlinien auszurichten
versucht. Die potentielle Energie eines Dipols in einem
elektrischen Feld ist durch
Epot = -p  E
gegeben. Sie verschwindet, wenn Dipol und Feldlinien
senkrecht zueinander stehen. In einem inhomogenen
elektrischen Feld wirkt eine Gesamtkraft auf den Dipol.
3.1.8
Polare Moleküle, wie Wasser, besitzen ein permanentes Dipolmoment, da ihre positiven und negativen
Ladungsschwerpunkte nicht zusammenfallen. Sie
wirken wie einfache Dipole in einem elektrischen Feld.
Nichtpolare Moleküle haben kein permanentes
Dipolmoment. Aber durch äußere elektrische Felder
können in ihnen Dipole induziert werden.
3.1.9
Das
elektrische
Feld
einer
kontinuierlichen
Ladungsverteilung
kann
direkt
mit
dem
Coulombschen Gesetz berechnet werden:
E
V
1 dq r
 
40 r 2 r
Dabei steht dq = dV für eine räumliche
Ladungsverteilung in einem Volumen. Bei einer
Ladungsverteilung auf einer Oberfläche geht die
Integration über A, und es gilt dq = dA, entsprechend
gilt bei einer Ladungsverteilung entlang einer Linie dq =
 d .
3.1.10 Der elektrische Fluß  eines konstanten elektrischen
Feldes durch eine Fläche A ist das Produkt der Fläche
A und der zur Fläche senkrecht stehenden Feldkomponente:
  E  n A  EA cos   En A.
Für ein allgemeines, ortsabhängiges elektrisches Feld
ist der Fluß durch ein Flächenelement dA gegeben
durch
d  E  n dA  E cos  dA  En dA.
3.1.11 Der Gesamtfluß durch eine beliebig geformte
geschlossene Oberfläche S ist 1/0 multipliziert mit der
Gesamtladung innerhalb der Oberfläche. Dies ist das
Gaußsche Gesetz:
 ges   En dA 
S
Qinnen
0 .
Das Gaußsche Gesetz kann zur Berechnung des
elektrischen Feldes hoch symmetrischer
Ladungsverteilungen verwendet werden.
3.1.12 Auf einer Oberfläche mit der Flächenladungsdichte  ist
die
zur
Oberfläche
senkrecht
stehende
Feldkomponente unstetig. Sie macht einen Sprung 0:
E n 2  E n1 

.
0
3.1.13 Ein Leiter im elektrostatischen Gleichgewicht trägt die
gesamte elektrische Ladung auf seiner Oberfläche. Das
elektrische Feld unmittelbar außerhalb des Leiters steht
senkrecht zur Oberfläche und besitzt die Stärke 0,
wobei  die lokale Flächenladungsdichte in diesem
Punkt des Leiters ist.
3.1.14 Die Potentialdifferenz b - a ist definiert als die von
einem elektrischen Feld geleistete Arbeit pro
Ladungseinheit, die nötig ist, um eine Probeladung vom
Punkt a zum Punkt b zu bringen (wobei die Vorzeichen
von Potentialdifferenz und Arbeit entgegengesetzt
sind):
b
   b   a    E  d.
a
Für infinitesimale Verschiebungen wird dies in der Form
d   E  d
geschrieben. Da nur die Differenzen von Potentialen
wichtig sind, nicht aber deren Absolutwerte, können wir
den Nullpunkt des Potentials frei wählen. Das Potential
an einem beliebigen Punkt ergibt sich aus der potentiellen Energie einer Ladung dividiert durch diese Ladung:

E pot
.
q0
In der Technik und im Alltag wird die Potentialdifferenz
häufig als Spannung bezeichnet. Die SI-Einheit von
Potential und Spannung ist das Volt (V):
1 V = 1 J/C.
Die Einheit der elektrischen Feldstärke lautet damit:
V/m.
3.1.15 In der Atom- und Kernphysik ist die am häufigsten
benutzte Einheit der Energie das Elektronenvolt (eV).
Darunter versteht man die potentielle Energie eines
Teilchens mit Ladung e an einem Punkt, an dem das
Potential 1 V beträgt. Die Verknüpfung zur Einheit Joule
ist:
1 eV = 1,6  10-19 J.
3.1.16 Das elektrische Potential im Abstand r von einer zentral
angeordneten Punktladung q wird durch

1
q
 0
40 r
beschrieben. Hierbei ist 0 das Potential in unendlichem
Abstand von der Punktladung. Setzt man das Potential
im Unendlichen null, so erhält man für das durch die
Punktladung hervorgerufene Potential

1
q
.
40 r
Für ein System von Punktladungen ist das Potential
durch
 
i
qi
40 ri 0
1
gegeben. Hier wird über alle Ladungen summiert, und
ri0 ist der Abstand der i-ten Ladung von Punkt P, an
dem das Potential bestimmt werden soll.
3.1.17 Die elektrostatische potentielle Energie eines
Punktladungssystems ist die Arbeit, die benötigt wird,
um die Ladungen aus unendlichem Abstand an ihre
Endposition zu bringen.
3.1.18 Bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung findet man
das Potential durch Integration über die
Ladungsverteilung:

V
1
dq
.
40 r
Dieser Ausdruck kann nur verwendet werden, wenn
sich die Ladungsverteilung innerhalb eines endlichen
Volumens V befindet, so daß das Potential im
Unendlichen null gesetzt werden kann.
3.1.19 Das elektrische Feld zeigt in die Richtung der größten
Abnahme des Potentials. Die Komponente von E in
Richtung einer Verschiebung d hängt mit dem Potential über
d
E  
d
zusammen. Der Vektor, der in die Richtung der größten
Änderung einer skalaren Funktion zeigt und dessen
Größe gleich der Ableitung der Funktion in dieser
Richtung ist, wird Gradient der Funktion genannt. Das
elektrische Feld E ist der negative Gradient des
Potentials . In Vektorschreibweise wird dieser
Gradient
als

geschrieben,
wobei
der
Gradientenoperator  oft auch als Nabla-Operator
bezeichnet wird. Für das elektrische Feld gilt also:
E = -.
Bei einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung
ändert sich das Potential nur mit r, und das elektrische
Feld hängt mit dem Potential über
E    
d r
dr r
zusammen. In kartesischen Koordinaten gilt:
 

 
E     
e 
ey 
e z .

x

y

z


3.1.20 Durch Gradientenbildung wird ein Skalar in einen
Vektor überführt. Das Skalarprodukt des NablaOperators mit einem Vektor heißt Divergenz. Die
Divergenz macht aus einem Vektor eine skalare Größe:
  
div a    a   , ,   (a x , a y , a z )
 x y z 

a x a y a z


.
x
y
z
Die Divergenz des elektrischen Feldes
kontinuierlichen Ladungsverteilung  beträgt
div E    E 
einer

.
0
Diese Gleichung wird auch Poisson-Gleichung genannt.
Die anschauliche Interpretation der Divergenz ist die
einer Quelle, von der das Feld ausgeht. Beim
elektrischen Feld ist 0 die Stärke der Quelle.
Für den Zusammenhang des Potentials und der
Ladungsverteilung gilt:
div E   div grad      

.
0
Dabei ist
2
2
2
  div grad  2  2  2
x
y
z
der sogenannte Laplace-Operator.
Mit Hilfe der Poisson-Gleichung läßt sich das Gaußsche
Gesetz
für
kontinuierliche
Ladungsverteilungen
schreiben als
   E  n dA   div E dV .
S
V
Der
durch
diese
Gleichung
ausgedrückte
Zusammenhang zwischen dem Oberflächenintegral auf
der linken und dem Volumenintegral auf der rechten
Seite der Gleichung ist als Gaußscher Integralsatz
bekannt.
3.1.21 Auf
einem
Leiter
beliebiger
Form
ist
die
Oberflächenladungsdichte  in Punkten mit kleinstem
Krümmungsradius am größten.
3.1.22 Ein Leiter kann nur bis zu einer maximalen Feldstärke
aufgeladen werden. Danach tritt eine Entladung durch
einen dielektrischen Durchschlag auf. In Luft beträgt
diese kritische elektrische Feldstärke etwa Emax  3 
106 V/m = 3 MV/m. Die elektrische Feldstärke, bei der
ein dielektrischer Durchschlag in einem Material eintritt,
heißt Durchschlagsfestigkeit des Materials. Die
resultierende Entladung durch leitende Luft heißt
Funkenentladung.
3.1.23 Kondensatoren dienen zur Speicherung elektrischer
Ladung und Energie. Sie bestehen aus zwei
Leiteroberflächen, die voneinander isoliert sind und die
die gleiche negative bzw. positive Ladung Q tragen. Die
Kapazität erhält man, wenn man diese Ladung Q durch
die zwischen den Leitern liegende Spannung U teilt:
Q
C .
U
Die Kapazität hängt nur von der Bauform des
Kondensators ab, nicht jedoch von der Spannung oder
Potentialdifferenz.
3.1.24 Die
Kapazität
eines
Plattenkondensators
ist
proportional zur Fläche einer der (gleich großen)
Platten
und
umgekehrt
proportional
zum
Plattenabstand:
0 A
C
S
.
Die Kapazität eines Zylinderkondensators ist gegeben
durch:
C
2 0 
,
ln( b / a )
wobei  die Länge des Kondensators und a und b der
Radius des inneren bzw. äußeren Leiters ist.
3.1.25 Einen Isolator, also ein elektrisch nicht leitendes
Material, bezeichnet man als Dielektrikum. Führt man
ein Dielektrikum in einen Kondensator ein, so wird die
Ladungsverteilung der Atome und Moleküle des
Dielektrikums im elektrischen Feld im Inneren des
Kondensators
verändert.
Dieser
Effekt
heißt
Polarisation, wobei zwei Formen unterschieden werden
können: die Orientierungspolarisation, bei der die
bereits vorhandenen polaren Moleküle sich in
Feldrichtung
drehen,
und
die
Verschiebungspolarisation, bei der das äußere Feld
eine Verschiebung der Ladungsschwerpunkte von
Elektronen und Atomkern in jedem einzelnen Atom
bewirkt. Durch die Polarisation baut sich im
Dielektrikum ein Feld E auf, das sich dem äußeren Feld
E0 überlagert und dieses schwächt; für E gilt:
E
E0
r
,
wobei
r
die
Dielektrizitätszahl
heißt.
Die
Abschwächung des Feldes führt zu einer Erhöhung der
Kapazität um den Faktor r:
C = rC0,
C0 bezeichnet die Kapazität ohne Dielektrikum. Die
Dielektrizitätskonstante oder Permittivität von Materie
ist definiert als
 = r  0.
Über die Kapazitätserhöhung hinaus erfüllen Dielektrika
noch weitere Funktionen: Sie dienen als physikalische
Abstandshalter und, besonders wichtig, erhöhen die
Durchschlagsfestigkeit des Kondensators.
3.1.26 Die elektrische Energie in einem Kondensator mit der
Ladung Q, der Potentialdifferenz U und der Kapazität C
ist gegeben durch:
1 Q2 1
1
W
 QU  CU 2 .
2 C
2
2
Diese Energie ist im elektrischen Feld gespeichert. Die
elektrische Energiedichte beträgt:
wel 
Energie
1
  E 2.
Volumen
2
3.1.27 Bei der Parallelschaltung von Kondensatoren addieren
sich die Kapazitäten:
Cers = C1 + C2 + C3 + ...
Bei der Serienschaltung von Kondensatoren addieren
sich die Kehrwerte der Einzelkapazitäten; für den
Kehrwert der Ersatzkapazität gilt:
1
1
1
1



 ...
C ers C1 C 2 C3
3.2
Elektrischer Strom
3.2.1
Elektrischer Strom wird hervorgerufen durch bewegte
Ladungen. Die elektrische Stromstärke ist definiert als
die Ladung, die pro Zeitintervall durch eine bestimmte
Querschnittsfläche
fließt.
Die
konventionelle
Stromrichtung zeigt in Flußrichtung der positiven
Ladungsträger. In einem Draht entsteht ein elektrischer
Strom durch das Anlegen einer Spannung. Im Innern
des Leiters herrscht dann ein elektrisches Feld, dessen
Stärke der Spannung proportional ist. Bei den
fließenden Ladungen stellt sich ein Gleichgewicht
zwischen Beschleunigung durch das elektrische Feld
und Zusammenstößen mit den Gitterionen ein. Die
resultierende Driftgeschwindigkeit liegt typischerweise
in der Größenordnung von einigen hundertstel
Millimetern pro Sekunde.
3.2.2
Der elektrische Widerstand ist der Quotient aus
Spannung und Stromstärke. In den meisten Metallen ist
der Widerstand eine von der Stromstärke und
Spannung unabhängige Konstante. Dies ist die
Aussage des Ohmschen Gesetzes:
U = IR.
Materialien, die diesem Gesetz gehorchen, bezeichnet
man als ohmsche Widerstände. Der reziproke Wert des
Widerstandes heißt Leitwert G:
G = 1/R.
3.2.3
Der Widerstand eines Drahtes ist proportional zu seiner
Länge und umgekehrt proportional zu seiner
Querschnittsfläche:
R

,
A
wobei  den spezifischen Widerstand des Materials
bezeichnet. Der Kehrwert des spezifischen Widerstands
heißt Leitfähigkeit :
 
3.2.4
1
.
In allgemeiner, vektorieller Form lautet das Ohmsche
Gesetz:
j = E,
wobei j die Stromdichte, definiert als Strom pro Fläche,
ist.
3.2.5
Die elektrische Leistung in einem elektrischen Bauteil
ergibt sich als Produkt aus Spannungsabfall und
Stromstärke:
P = IU.
Spannungsquellen versorgen elektrische Schaltungen
mit Energie. Die Leistung, die eine Spannungsquelle
aufbringt, ist das Produkt aus Quellenspannung und
Stromstärke:
P = UQI.
Die Leistung, die in einem Widerstand in Wärme
umgewandelt wird, beträgt:
U2
P  IU  I R 
.
R
2
Bei
einer
idealen
Spannungsquelle
ist
die
Klemmenspannung unabhängig von der Stromstärke
genauso groß wie die Quellenspannung. Bei einer
realen Spannungsquelle ist das nicht der Fall. Man
kann sie als Serienschaltung einer idealen
Spannungsquelle und eines kleinen Widerstandes, des
Innenwiderstandes, auffassen.
3.2.6
Der Ersatzwiderstand einer
Widerständen
ist
gleich
Einzelwiderstände:
Rers = R1 + R2 + R3 + ...
Serienschaltung
der
Summe
von
der
Widerstände in Reihe.
Bei der Parallelschaltung von Widerständen ist der
Kehrwert des Ersatzwiderstandes gleich der Summe
der Kehrwerte der Einzelwiderstände:
1
1
1
1



 ...
Rers R1 R2 R3
3.2.7
Widerstände parallel.
Im mikroskopischen Modell der elektrischen Leitung
bewegen sich die Elektronen frei in einem Ionengitter.
Sie werden abwechselnd durch das elektrische Feld
beschleunigt und durch Stöße mit den Gitterionen
abgebremst. Dadurch stellt sich eine kleine konstante
Driftgeschwindigkeit vd ein, die der elektrischen
Feldstärke E proportional ist:
vd = µE.
Der Proportionalitätsfaktor
genannt.
µ
Die Beweglichkeit ist gegeben als

e

me
wird
Beweglichkeit
mit Elementarladung e, Masse des Elektrons me und der
Zeit zwischen zwei Stößen (Relaxationszeit) .
3.2.8
Die Kirchhoffschen Regeln lauten:
Knotenregel: Die Summe aller Ströme, die zu einem
Knoten hinfließen, ist gleich der Summe der Ströme,
die von diesem Knoten wegfließen.
Maschenregel: Beim Durchlaufen einer Masche (also
einer geschlossenen Schleife) in einem willkürlich
festgelegten Umlaufsinn ist die Summe aller
Spannungen gleich null.
3.2.9
Stromkreise mit vielen Schleifen analysiert man gemäß
folgendem Schema:
1. Arbeiten Sie bei Stromkreisen mit mehreren
hintereinanderoder
parallelgeschalteten
Widerständen mit den Ersatzwiderständen.
2. Wählen Sie eine bestimmte Stromrichtung für den
gesamten Stromkreis und zeichnen Sie in einem
Schaltplan in jedem Zweig die zugehörige
Stromrichtung ein. Markieren Sie bei jedem
Bauelement (Spannungsquelle, Widerstand oder
Kondensator) die Seite mit höherem Potential durch
ein Pluszeichen und entsprechend die Seite mit
niedrigerem Potential durch ein Minuszeichen.
3. Wenden Sie auf jede Stromverzweigungsstelle die
Knotenregel an.
4. Wenden Sie die Maschenregel so oft an, wie es
nötig ist, um alle Teilströme berechnen zu können
(bei n inneren Schleifen also mindestens n-mal).
5. Lösen Sie die sich aus den Punkten 3 und 4
ergebenden Gleichungen, und bestimmen Sie auf
diese Weise alle Unbekannten.
6. Überprüfen Sie die Ergebnisse dadurch, daß einem
Punkt des Stromkreises das Potential null
zugewiesen wird und die errechneten Werte der
Stromstärken dazu verwendet werden, die
Potentiale an anderen Punkten des Stromkreises
zu bestimmen.
3.2.10 Komplizierte Schaltungen kann man häufig durch
Symmetriebetrachtungen vereinfachen. Punkte, die auf
gleichem Potential liegen, kann man in einem
vereinfachten Schaltbild miteinander verbinden.
3.2.11 Wird ein Kondensator über einen Widerstand entladen,
so nehmen die Ladung und der Entladestrom
exponentiell mit der Zeit ab. Die Zeitkonstante  = RC ist
die Zeit, in der die Ladung auf den e-ten Teil ihres
Anfangswertes abgefallen ist. Wird ein Kondensator
über einen Widerstand aufgeladen, so nimmt der
Ladestrom wieder exponentiell mit der Zeit ab, und
nach der Zeitspanne  = RC hat die Ladung auf dem
Kondensator 63 Prozent ihres Endwerts erreicht.
3.2.12 Ein Galvanometer ist ein Gerät zur Messung kleiner
Ströme, wobei der Zeigerausschlag des Galvanometers
proportional zum hindurchfließenden Strom ist.
Ein Amperemeter ist auch zur Messung größerer
Ströme geeignet. Es besteht aus einem Galvanometer
und einem dazu parallel geschalteten Widerstand, dem
sogenannten Shuntwiderstand. Zur Messung des
Stroms durch einen Widerstand muß das Amperemeter
in Reihe mit diesem Widerstand geschaltet werden. Da
der Innenwiderstand des Amperemeters sehr klein ist,
wird die Messung nur geringfügig verfälscht.
Ein
Voltmeter
dient
zur
Messung
von
Potentialdifferenzen. Es ist aus einem Galvanometer
und einem dazu in Reihe geschalteten großen
Widerstand aufgebaut. Den Spannungsabfall über
einem Widerstand mißt man, indem man das Voltmeter
zum Widerstand parallelschaltet. Aufgrund des hohen
Innenwiderstandes des Voltmeters ist der Fehler bei
der Spannungsmessung sehr klein.
Mit einem Ohmmeter werden Widerstände gemessen.
Es besteht aus einer Spannungsquelle, einem
Galvanometer und einem Widerstand, die alle in Reihe
geschaltet sind.
3.3
Magnetfeld
3.3.1
Bewegte Ladungen wechselwirken miteinander durch
magnetische Felder. Da elektrische Ströme nichts
anderes als sich bewegende Ladungen sind, üben sie
aufeinander magnetische Kräfte aus. Man kann sie
beschreiben, indem man davon ausgeht, daß eine
bewegte Ladung oder ein Strom ein magnetisches Feld
erzeugt und dieses dann mit anderen bewegten
Ladungen oder Strömen wechselwirkt. Magnetische
Felder werden immer durch bewegte Ladungen
verursacht.
3.3.2
Bewegt sich eine Ladung q mit der Geschwindigkeit v in
einem Magnetfeld B, so wirkt auf sie die sogenannte
Lorentz-Kraft:
F = qv x B
Die
Kraft
eines
Magnetfeldes
auf
ein
stromdurchflossenes Drahtstück ist gegeben durch
dF = I d x B.
Dabei ist  ein Vektor, der die Länge des Drahtstückes
hat und in Stromrichtung zeigt.
Die SI-Einheit des magnetischen Feldes B ist das Tesla
(T). Eine ältere, aber nach wie vor gebräuchliche
Einheit ist das Gauß, das man wie folgt in Tesla
umrechnet:
= 104 G.
3.3.3
Ein Teilchen der Ladung q und Masse m, das sich
senkrecht zu einem Magnetfeld B bewegt, beschreibt
eine Kreisbahn, deren Radius durch
r
mv
qB
gegeben ist. Die Umlaufzeit T ist unabhängig vom
Bahnradius und der Teilchengeschwindigkeit. Die
Umlauffrequenz 1/T wird als Zyklotronfrequenz
bezeichnet:
f 
1
qB

.
T 2m
3.3.4
Ein
Geschwindigkeitsfilter
besteht
aus
einem
Magnetfeld und einem elektrischen Feld. Die Felder
stehen aufeinander senkrecht (man spricht auch von
gekreuzten Feldern), und ihre Kraftwirkung kompensiert
sich für Teilchen mit der Geschwindigkeit v = E/B.
3.3.5
Das Verhältnis von Ladung zu Masse (q/m) eines Ions
bekannter Geschwindigkeit kann man durch die
Messung seines Bahnradius in einem bekannten
Magnetfeld bestimmen (Massenspektrometrie).
3.3.6
Einer Leiterschleife in einem Magnetfeld läßt sich ein
magnetisches (Dipol-)Moment mm zuschreiben:
mm = NIA n,
wobei N die Windungszahl, A die Schleifenfläche, I die
Stromstärke und n der Normalenvektor der Fläche ist.
Auf einen solchen Dipol wirkt in einem Magnetfeld ein
Drehmoment
M = mm x B,
welches versucht, das magnetische Moment der
Leiterschleife parallel zum Feld auszurichten. Ein
homogenes Magnetfeld übt zwar ein Drehmoment, aber
keine resultierende Kraft auf eine Leiterschleife aus.
3.3.7
Auf einen Stabmagneten wirkt in einem Magnetfeld
ebenfalls ein Drehmoment. Durch die Beziehung M =
mm x B kann man das magnetische Moment des
Stabmagneten über das experimentell bestimmte
Drehmoment definieren. Die Polstärke P des
Stabmagneten wird über die Kraft definiert, die auf
jeden der Pole wirkt: F = P  B. Die Polstärke des
Nordpols ist positiv, die des Südpols negativ.
Drückt man das magnetische Moment durch die
Polstärke aus, so ergibt sich mm = P , wobei  der
Verbindungsvektor zwischen Südpol und Nordpol ist.
3.3.8
Bringt man einen stromdurchflossenen Metallstreifen in
ein Magnetfeld, so führt die Lorentz-Kraft zu einer
Trennung der Ladungsträger. Dieser Effekt heißt HallEffekt. Die Trennung der Ladungsträger erzeugt eine
meßbare Potentialdifferenz, die man als Hall-Spannung
bezeichnet:
U H  vd Bb 
1
IB
B  AH
.
nqd
d
Hier ist vd die Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger, B
das Magnetfeld, b die Breite des Leiters, d die Dicke
des Leiters, n die Ladungsträgerdichte, q die Ladung
und AH = 1/nq die sogenannte Hall-Konstante. Man kann
mit Hilfe des Hall-Effektes das Vorzeichen der
Ladungsträger in einem Leiter, ihre Dichte sowie die
Leitfähigkeit und die Elektronenbeweglichkeit des
Materials ermitteln. Bei sehr tiefen Temperaturen und
hohen Magnetfeldstärken ist der Hall-Widerstand
quantisiert und kann nur die Werte
RH 
U H RK

I
n
annehmen, wobei n eine ganze Zahl ist und RK die VonKlitzing-Konstante, die den Wert
RK 
h
 25812,807 
e2
hat.
3.3.9
Bewegt sich eine Ladung q mit der Geschwindigkeit v,
so erzeugt sie ein Magnetfeld, das an einem Aufpunkt P
im Abstand r durch die folgende Beziehung gegeben
ist:
 qv  r / r
B 0
.
4
r2
Dabei ist r/r ein Einheitsvektor, der von der Ladung
zum Aufpunkt zeigt, und µ0 die sogenannte
magnetische Feldkonstante. Sie hat den Betrag
µ0 = 4  10-7 T  m/A = 4  10-7 N/A2.
3.3.10 Für das Magnetfeld dB im Abstand r von einem Stromelement I d gilt:
dB 
 0 I d  r / r
.
4
r2
Diese Beziehung heißt Biot-Savartsches Gesetz. Das
Magnetfeld bildet sowohl mit dem Stromelement als
auch mit dem Verbindungsvektor r vom Stromelement
zum Aufpunkt einen rechten Winkel.
3.3.11 Die Kraft, die zwei bewegte Ladungen durch ihre Magnetfelder aufeinander ausüben, verletzt scheinbar das
dritte Newtonsche Gesetz (actio = reactio), was
bedeutet, daß der Impuls in diesem Zweiteilchensystem
nicht erhalten bleibt. Zieht man allerdings den Impuls
der elektrischen und magnetischen Felder in die
Betrachtung mit ein, so bleibt der Gesamtimpuls des
Systems aus den beiden Ladungen und diesen Feldern
sehr wohl erhalten.
3.3.12 Das Magnetfeld auf der Achse eines ringförmigen,
stromdurchflossenen Leiters (also eines Kreisstromes)
ist gegeben durch
0
2R 2 I
B
ex
4 ( x 2  R 2 ) 3 / 2 ,
wobei ex ein Einheitsvektor in Richtung der Achse des
Ringes ist. In großer Entfernung zum Ring geht das
obige Magnetfeld in das Feld eines Dipols über:
B
 0 2m m
4 x 3 ,
wobei mm das magnetische Dipolmoment (oder einfach:
das magnetische Moment) des Ringes ist. Das
magnetische Moment ist das Produkt aus Stromstärke
und Querschnittsfläche des Ringes und steht gemäß
der Rechte-Hand-Regel senkrecht zum Ring.
3.3.13 Das Magnetfeld im Innern einer langen Spule, weit
entfernt von ihren Enden, hat den Betrag
B = µ0 nI,
wobei n die Windungszahldichte (Zahl der Windungen
pro Länge) der Spule ist.
3.3.14 Das
Magnetfeld
Leiterstücks beträgt
B
eines
stromdurchflossenen
0 I
(sin  1  sin  2 ) ,
4 R
wobei R der senkrechte Abstand des Aufpunktes zum
Draht ist. 1 und 2 sind die Winkel zwischen dem vom
Aufpunkt auf den Draht gefällten Lot und den
Verbindungslinien zu den beiden Enden des Drahtes.
Ist das Leiterstück sehr lang, so geht der obige
Ausdruck über in
B
 0 2I
.
4 R
Die Richtung der Feldlinien wird durch die gekrümmten
Finger der rechten Hand angegeben, wenn der
Daumen in Richtung des Stromes zeigt.
3.3.15 Das Magnetfeld im Innern einer dicht gewickelten
Ringspule hat den Betrag
B
 0 NI
2r ,
wobei r der Abstand vom Mittelpunkt der Ringröhre ist.
3.3.16 Ein Ampere ist definiert als die Stromstärke, bei der
zwei parallele, vom gleichen Strom durchflossene Leiter
im Abstand von einem Meter eine Kraft von 2  10-7 N/m
aufeinander ausüben.
3.3.17 Das Ampèresche Gesetz verknüpft das Integral der
Tangentialkomponente des Magnetfeldes entlang einer
geschlossenen Kurve C mit dem gesamten Strom IC,
der durch die von dieser Kurve begrenzte Fläche
hindurchtritt:
 B  d  
I ,
0 C
C
für eine beliebige geschlossene Kurve C.
Das Ampèresche Gesetz ist nur für geschlossene
Stromkreise gültig. Es kann dann zur Berechnung des
Magnetfeldes verwendet werden, wenn die betrachtete
Anordnung einen hohen Grad an Symmetrie aufweist,
wie beispielsweise dicht gewickelte Ring- oder
Zylinderspulen.
3.3.18 Die Rotation eines Vektors a ist definiert als das
Vektorprodukt des Nabla-Operators mit a:
ex
rot a    a  
x
ax
ey

y
ay
ez

z
az
a 
 a
 a
a 
a 
 a
 e x  z  y   e y  z  x   e z  y  x  .
z 
z 
y 
 x
 y
 x
3.3.19 Bildet man die Rotation des Magnetfeldes B eines
stromdurchflossenen Leiters, so erhält man
rot B = µ0j.
Diese Gleichung, die häufig als die differentielle Form
des Ampèreschen Gesetzes bezeichnet wird, macht
besonders deutlich, daß die Quelle des Magnetfeldes B
eine Stromdichte j ist.
Die Integralform des Ampèreschen Gesetzes kann man
mit rot B = µ0j umformen und erhält dann eine neue
Beziehung:
 B  d   rot B  ndA.
C
A
Rein formal gibt diese Gleichung eine Methode an, wie
man ein Linienintegral in ein Integral über die von der
Linie eingeschlossene Fläche überführen kann. Diese
mathematische
Methode
ist
als
Stokesscher
Integralsatz bekannt.
3.3.20 Im Falle eines homogenen Magnetfeldes ist der
magnetische Fluß m durch eine Spule das Produkt aus
der Spulenfläche A und dem Anteil Bn des
Magnetfeldes, der senkrecht auf der Spulenebene
steht. Allgemein gilt für eine Spule mit N Windungen
 m   NBn dA.
A
Die SI-Einheit des magnetischen Flusses ist das
Weber:
1 Wb = 1 T  m².
3.3.21 Ändert sich der magnetische Fluß durch eine
Leiterschleife, so wird eine Spannung U induziert. Die
Größe dieser Induktionsspannung erhält man mit Hilfe
des Faradayschen Gesetzes:
U  E  d   
C
dm
dt .
Die
Induktionsspannung
entspricht
einem
nichtkonservativen elektrischen Feld E, das tangential
zum Leiter verläuft. Integriert wird über die gesamte
Länge  des Leiters, also über die geschlossene Kurve
C.
Die Induktionsspannung und der daraus resultierende
Induktionsstrom wirken ihrer Ursache entgegen. Diese
Aussage heißt auch Lenzsche Regel.
3.3.22 In einem leitenden Draht oder Stab der Länge , der
sich mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu einem
Magnetfeld B bewegt, wird durch die Bewegung eine
Spannung induziert. Sie hat den Betrag
U 
dm
 Bv.
dt
3.3.23 Kreisströme, die in elektrischen Leitern aufgrund einer
magnetischen
Flußänderung
erzeugt
werden,
bezeichnet man als Wirbelströme.
3.3.24 In einer Spule, die mit der Winkelgeschwindigkeit  in
einem
Magnetfeld
rotiert,
entsteht
eine
Wechselspannung
U = Umax sin (t + ),
wobei Umax = NBA die Amplitude dieser Spannung ist.
3.3.25 Der magnetische Fluß durch einen Stromkreis ist
proportional zur Stromstärke I:
m = L I,
wobei man L die Selbstinduktivität des Kreises nennt.
Sie hängt lediglich von der Geometrie ab. Die SI-Einheit
der Induktivität ist das Henry (H):
1 H = 1 Wb/A = 1 T  m²/A.
Die Selbstinduktivität einer langen, eng gewickelten
Spule der Länge , Querschnittsfläche A und
Windungszahldichte n = N/ beträgt:
L
m
I
  0 n 2 A.
Befindet sich in der Nähe dieses Stromkreises ein
weiterer Stromkreis, der vom Strom I2 durchflossen
wird, so kommt zum bereits vorhandenen Fluß der
Anteil
m = MI2
hinzu. Die Größe M heißt Gegeninduktivität und hängt
nur von geometrischen Faktoren ab.
3.3.26 Ändert sich die Stromstärke in einem Stromkreis, so
wird eine Spannung
U 
d m
dI
 L
dt
dt
induziert.
3.3.27 In einem LR-Kreis, in dem ein Widerstand R, eine
Induktivität L und eine Spannungsquelle der Spannung
U0 in Reihe geschaltet sind, benötigt der Strom nach
dem Einschalten eine gewisse Zeit, um die maximale
Stärke zu erreichen. Fließt anfangs kein Strom, so
beträgt die Stromstärke zum Zeitpunkt t
I
U0
U
(1  e  Rt / L )  0 (1  e t /  ) ,
R
R
wobei man  = L/R die Zeitkonstante der Schaltung
nennt.
3.3.28 In einer Spule, die vom Strom I durchflossen wir, ist die
Energie
1
Wm  LI 2
2
gespeichert. Die Energie steckt im Magnetfeld, das die
Spule erzeugt. Im allgemeinen ist die Energiedichte des
Magnetfeldes durch
B2
wm 
2 0
gegeben.
3.3.29 Alle Materialien lassen sich gemäß ihres Verhaltens in
Magnetfeldern in die drei Hauptkategorien para-, ferround diamagnetisch einteilen; daneben gibt es noch die
Substanzklassen der ferri- und antiferromagnetischen
Materialien.
3.3.30 Ein magnetisiertes Material wird durch seinen
Magnetisierungsvektor M beschrieben, der definiert ist
als das resultierende magnetische Dipolmoment pro
Volumeneinheit des Materials:
M
dm m
.
dV
Das Magnetfeld eines homogen magnetisierten
Zylinders entspricht dem Feld, das der Zylinder
erzeugen würde, wenn auf seiner Oberfläche ein Strom
I pro Längeneinheit flösse, der die Magnetisierung M
erzeugt. Dieser Oberflächenstrom wird Ampèrescher
Strom genannt.
3.3.31 Betrachtet sei ein langer Zylinder aus magnetischem
Material, der in einer zylindrischen Spule mit der
Windungszahldichte n (Windungen pro Längeneinheit)
steckt, durch die ein Strom I fließt. Aufgrund des
Stromes in den Windungen und des magnetisierten
Materials ergibt sich das resultierende Magnetfeld
innerhalb der Spule (weit genug von ihren Enden
entfernt) zu
B = B0 + µ0M = µ0 (H + M),
wobei für das angelegte Feld gilt:
B0 = µ0H = µ0nI.
Für para- und ferromagnetische Materialien zeigen die
Magnetisierung M und die Feldstärke H des äußeren
Magnetfeldes
in
die
gleiche
Richtung;
für
diamagnetische Stoffe sind M und H entgegengesetzt.
3.3.32 In para- und diamagnetischen Materialien ist die Magnetisierung M proportional zum magnetisierenden Feld
H:
M = m H,
wobei m die magnetische Suszeptibilität ist. Für
paramagnetische Materialien nimmt m kleine, positive
Werte an und ist abhängig von der Temperatur. Diamagnetische Materialien (außer Supraleiter) weisen
ebenfalls kleine, negative Werte auf, allerdings ist m
hier unabhängig von der Temperatur. Für Supraleiter
gilt m = -1. Bei ferromagnetischen Materialien hängt die
Magnetisierung nicht nur vom äußeren Feld H, sondern
auch von der Vorgeschichte des Materials ab.
3.3.33 Das magnetische Moment eines Teilchens der Ladung
q und der Masse m ist mit seinem Drehimpuls L
verknüpft durch
mm 
q
q L
L
,
2m
2m 
wobei

h
 1,05  10 34 J  s
2
eine praktische Einheit ist, um den Drehimpuls von
Elektronen
und
Atomen
auszudrücken.
Die
fundamentale Konstante
h = 6,63  10-34 J  s
wird
Plancksches
Wirkungsquantum
genannt.
Magnetische Momente von Elektronen und Atomen
drückt man bequemerweise in Einheiten des Bohrschen
Magnetons µB aus:
B 
e
 9,27  10  24 A  m 2  9,27  10  24 J / T .
2 me
Das magnetische Moment eines Elektrons ist ein
Bohrsches Magneton, das magnetische Moment eines
Atoms liegt in der Größenordnung einiger Bohrscher
Magnetonen.
3.3.34 Paramagnetische Materialien besitzen permanente
magnetische Momente, deren Orientierungen ohne
äußeres magnetisches Feld zufällig in alle Richtungen
verteilt sind. In einem äußeren Magnetfeld werden
einige Dipole ausgerichtet. Der Grad der Ausrichtung ist
klein, ausgenommen im Fall sehr starker Magnetfelder
und sehr geringer Temperatur. Bei Zimmertemperatur
wird die zufällige Orientierung durch die thermische
Bewegung aufrechterhalten. Bei schwachen Feldern ist
die Magnetisierung proportional zum äußeren Feld, und
es gilt das Curiesche Gesetz
1m B
M m 0 M s ,
3 k BT
wobei Ms die Sättigungsmagnetisierung und kB die
Boltzmann-Konstante ist.
3.3.35 Ferromagnetische Materialien weisen kleine Gebiete
auf, Weißsche Bezirke genannt, in denen die
magnetischen Momente bereits ausgerichtet sind. Im
unmagnetisierten Zustand zeigen die magnetischen
Momente benachbarter Weißscher Bezirke in
unterschiedliche Richtungen, so daß sie sich im Mittel
gegenseitig aufheben. Im magnetisierten Zustand sind
diese Bereiche orientiert und erzeugen ein sehr starkes
Magnetfeld zusätzlich zum äußeren Feld. Die
Ausrichtung kann zum Teil bestehenbleiben, wenn das
äußere Magnetfeld abgeschaltet wird – es entsteht ein
Permanentmagnet.
3.3.36 Trägt man das Magnetfeld eines ferromagnetischen
Materials gegen das magnetisierende Feld auf, so
erhält man eine Hysteresekurve. Auf der sogenannten
Neukurve zeigen M und H in dieselbe Richtung, und die
magnetische Suszeptibilität m läßt sich in diesem
Bereich für ferromagnetische Materialien in ähnlicher
Weise definieren wie für para- und diamagnetische
Materialien. In einer zylindrischen Spule gibt sich das
Magnetfeld
innerhalb
eines
ferromagnetischen
Materials zu
B = µ0 (H + M) = µ0 (H + mH) = µ0 (1 + m) H,
oder
B = µH,
wobei
µ = (1 + m) µ0
die Permeabilität des Materials ist. Die relative
Permeabilität µr ist eine dimensionslose Größe, die als
Verhältnis von Permeabilität zur magnetischen
Feldkonstante definiert ist:
r 

B
 1 m 
.
0
B0
Für ferromagnetische Materialien ist der maximale Wert
von µr sehr viel größer als eins.
3.3.37 In diamagnetischen Materialien besitzen alle Atome
abgeschlossene Elektronenschalen, so daß sich alle
atomaren
magnetischen
Momente
gegenseitig
aufheben. Durch ein äußeres Feld werden kleine
magnetische Momente induziert, die dem äußeren Feld
entgegen
gerichtet
sind.
Dieser
Effekt
ist
temperaturunabhängig. Supraleiter sind diamagnetisch
und haben eine Suszeptibilität von –1.
3.4. Wechselstromkreise
3.4.1
Der Effektivwert eines Wechselstroms ist diejenige
Stromstärke, die ein Gleichstrom haben müßte, um an
einem ohmschen Widerstand die gleiche mittlere
Leistung zu erbringen wie der Wechselstrom. Der
Effektivwert des Stroms ist die quadratisch gemittelte
Stromstärke
I eff 
1 2
I dt.

T
I2 
Für sinusförmige Wechselströme der Form I = I0 cos t
ist die effektive Stromstärke
I eff 
I0
2
.
Hierbei steht I0 für den Scheitelwert (das Maximum) des
Stroms. Die mittlere Leistung, die in einem ohmschen
Widerstand dissipiert wird, ist
1
2
P  U 0 I 0  U eff I eff  I eff
R.
2
Dabei bedeutet U0 den Effektivwert der über dem
Widerstand R abfallenden Spannung, Ueff = U0/2.
3.4.2
Bei einer Spule der Induktivität L sind Strom und über
der Spule abfallende Spannung um 90 ° = /2 verschoben, die Spannung eilt dem Strom um 90 ° voraus. Ihre
Effektivwerte sind verknüpft durch
I eff 
U L ,eff
XL
,
wobei XL der induktive Blindwiderstand ist:
XL =  L.
Bei einem Kondensator der Kapazität C eilt der Strom
der Spannung um 90 ° = /2 voraus. Es gilt:
I
UC
,
XC
wobei XC der kapazitive Blindwiderstand ist:
XC 
1
.
C
Sowohl in einer Spule als auch in einem Kondensator
wird im zeitlichen Mittel keine Leistung dissipiert.
Blindwiderstände werden in Ohm angegeben.
3.4.3
Ein graphisches Hilfsmittel zur Ermittlung von
Wechselspannungen und –strömen sowie ihren
Phasenverschiebungen bietet das Zeigerdiagramm. Zur
Darstellung des Stroms und der über den einzelnen
Bauteilen der Schaltung (Widerstände, Spulen,
Kondensatoren) abfallenden Spannung verwendet man
analog zu Vektoren sog. Zeiger, die mit der
Kreisfrequenz  des Wechselstroms gegen den
Uhrzeigersinn rotieren. – Der Strom wird durch einen
Zeiger I dargestellt. Die Spannung über dem ohmschen
Widerstand (UR) ist mit dem Strom I in Phase.
Dementsprechend zeigen die Zeiger UR und I in die
gleiche Richtung, während der Zeiger UL, der die
Spannung über der Spule repräsentiert, im Winkel von
90 ° gegen den Uhrzeigersinn eingezeichnet wird (denn
die Spannung eilt dem Strom um 90 ° voraus). Der
Zeiger UC für die über dem Kondensator abfallende
Spannung bildet ebenfalls mit I einen rechten Winkel,
ist aber ihm Uhrzeigersinn gegenüber dem Zeiger I
gedreht (die am Kondensator abfallende Spannung
läuft dem Strom nach). Die Länge der Zeiger
repräsentiert die jeweiligen Scheitelwerte; die xKomponente der Zeiger gibt die Momentanwerte der
Spannungen bzw. des Stroms zu dem betrachteten
Zeitpunkt an.
3.4.4
Entlädt sich ein Kondensator über einer Spule, so
oszillieren Ladung und Spannung des Kondensators
mit der Kreisfrequenz
 0  2v0 
1
LC
.
Die Frequenz v0 ist die Eigenfrequenz dieses LCSchwingkreises. Der Strom hat die gleiche Frequenz,
eilt der Spannung um /2 = 90 ° voraus. Die elektrostatische potentielle Energie des Kondensators wird in
die Energie des Magnetfeldes der Spule umgewandelt
und umgekehrt, die Gesamtenergie bleibt konstant. Ein
solcher LC-Kreis kann als ein ungedämpfter harmonischer Oszillator beschrieben werden. Ist die Schaltung
nicht widerstandslos, so werden die Schwingungen gedämpft, da im Widerstand Energie in Joulsche Wärme
umgewandelt wird.
3.4.5
Ist ein LCR-Reihenschwingkreis mit den Klemmen einer
Wechselspannungsquelle verbunden, wird dem System
eine Schwingung mit der Kreisfrequenz  der erregenden Wechselspannung U = U0 cost aufgezwungen.
Der Strom
I
U0
cos(t   )
Z
ist gegenüber der erregenden
phasenverschoben. Für  gilt:
tan  
Spannung
um

XL  XC
.
R
Die Größe Z ist die Impedanz des Kreises,
Z  R 2  (X L  X C ) 2 .
Die mittlere Leistung, die ein solcher Schwingkreis in
Joulesche Wärmeleistung umwandelt, ist frequenzabhängig. Sie beträgt
P = Ueff Ieff cos ,
wobei cos  als Leistungsfaktor bezeichnet wird. Ist die
Erregerfrequenz gleich der Resonanzfrequenz, kommt
es zur Resonanz. Die Resonanzfrequenz liegt dicht bei
der Eigenfrequenz
v0 
1
2 LC
.
Bei der Resonanzfrequenz ist die Phasenverschiebung
 gleich null, der Leistungsfaktor gleich eins, induktiver
und kapazitiver Widerstand gleich groß und daher die
Impedanz Z gleich dem ohmschen Widerstand R.
3.4.6
Die Breite der Resonanz wird durch den Gütefaktor Q
charakterisiert. Q ist definiert durch
Q
0 L
R
.
Ist die Resonanz hinreichend schmal, so kann man
näherungsweise schreiben:
Q
 0 v0

,
 v
wobei v als Bandbreite bezeichnet wird.
3.4.7
Ein Transformator dient der nahezu verlustfreien
Umsetzung
von
Wechselströmen
vorgegebener
Spannung auf jeden gewünschten Spannungswert. Hat
die Primärentwicklung N1 Windungen und die
Sekundärwicklung N2 Windungen, so genügen Primärund Sekundärspannung der Beziehung
U2  
N2
U1.
N1
3.4.8
Eine Diode läßt elektrischen Strom nur in einer
Richtung passieren. Man kann Dioden verwenden, um
aus Wechselspannung Gleichspannung zu erzeugen.
Dies wird als Gleichrichtung bezeichnet.
3.4.9
In einer Triode hat eine geringe Änderung der
Gitterspannung große Änderungen des Anodenstroms
zur Folge. Man kann dies ausnutzen, um elektrische
Signale zu verstärken.
3.5
Maxwellsche Gleichungen
3.5.1
Das Ampèresche Gesetz läßt sich auf unterbrochene
Ströme verallgemeinern, indem der Leitungsstrom I
durch I + Iv ersetzt wird. Darin ist Iv der Maxwellsche
Verschiebungsstrom, der durch
Iv  0
d e
dt
definiert ist.
3.5.2
Die Gesetze der Elektrizität und des Magnetismus
lassen sich in den Maxwellschen Gleichungen zusammenfassen. In ihrer integralen Form lauten sie:
 En dA 
S
B
n
1
0
Qinnen
dA  0
Gaußsches Gesetz
Gaußsches Gesetz
S
[für Magnetismus (magnetischer
Monopol existiert nicht)]
 E  d  
C
d
Bn dA Faradaysches Induktionsgesetz
dt S
 B  d  0 I  0 0
C
d
En dA
dt S
Ampèresches Gesetz.
3.5.3
Die Maxwellschen Gleichungen können alternativ dazu
auch in einer differentiellen Form geschrieben werden:
E


B 0
 xE
B
t
 x B   0 j   0 0
3.5.4
E
.
t
Aus den Maxwellschen Gleichungen für den quellenfreien Raum lassen sich Wellengleichungen der Form
 2E 1  2E

x 2 c 2 t 2
ableiten, wobei
c
1
 0 0
die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist. Aus der
Tatsache, daß diese Geschwindigkeit mit der Lichtgeschwindigkeit übereinstimmt, schloß Maxwell folgerichtig, daß das Licht eine elektromagnetische Welle
ist.
3.5.5
In einer elektromagnetischen Welle stehen die E- und
B-Feldvektoren sowohl aufeinander als auch auf der
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle senkrecht. Es
gilt:
E = cB.
3.5.6
Elektromagnetische Wellen tragen Energie und Impuls.
Die mittlere Energiedichte einer elektromagnetischen
Welle ist
1 E0 B0 Eeff Beff
w 

.
2 0c
0c
Die Intensität der Welle ist gegeben durch
1 E0 B0 1 E02 1 cB02
I w c 


 S ,
2 0
2 0c 2 0
wobei S der Poynting-Vektor ist; er gibt die Richtung
des Energieflusses an:
S
3.5.7
ExB
0
.
Der Impuls einer elektromagnetischen Welle ist
gegeben durch ihre Energie W, dividiert durch die
Lichtgeschwindigkeit c:
p
W
.
c
Der Strahlungsdruck einer elektromagnetischen Welle
ist definiert als:
I
Ps  .
c
Trifft eine Welle senkrecht auf eine Oberfläche und wird
vollständig absorbiert, entspricht der auf die Oberfläche
ausgeübte Druck dem Strahlungsdruck der Welle. Trifft
die Welle senkrecht auf und wird reflektiert, so ist der
Druck zweimal so groß wie der Strahlungsdruck.
3.5.8
Elektromagnetische Wellen treten in Form von Radiowellen, Mikrowellen, Infrarotstrahlung, Licht, Röntgenstrahlung oder auch Gammastrahlung auf. Die verschiedenen Strahlungsarten unterscheiden sich nur
durch ihre Frequenz bzw. ihre Wellenlänge, die über
v
c

zusammenhängen.
3.5.9
Elektromagnetische Wellen werden durch beschleunigte Ladungen erzeugt. Oszillierende Ladungen in einer
elektrischen Dipolantenne strahlen elektromagnetische
Wellen ab, deren Intensität senkrecht zur Antenne
maximal und entlang der Antennenachse null ist.
3.6
Optik
3.6.1
Licht ist eine elektromagnetische Welle, die sich im
Vakuum mit der Geschwindigkeit c = 299 792 458 m/s
ausbreitet. In Materie ist die Lichtgeschwindigkeit
kleiner als im Vakuum.
3.6.2
Trifft Licht auf die Grenzfläche zweier Medien, in denen
die Lichtgeschwindigkeiten verschieden sind, dann tritt
ein Teil des Lichts in das andere Medium ein und wird
dabei gebrochen, und der andere Teil wird reflektiert.
Das Reflexionsgesetz besagt, daß Einfallswinkel 1und
Reflexionswinkel r gleich sind: r = 1. Der Brechungswinkel 2 ist abhängig vom Einfallswinkel 1 und von
den Brechzahlen n1 und n2 der beiden Medien. Das
Brechungsgesetz von Snellius lautet
n1 sin 1 = n2 sin 2.
Die Brechzahl eines Mediums ist gleich dem Quotienten
aus der Vakuumlichtgeschwindigkeit c und der Lichtgeschwindigkeit cm in diesem Medium:
n
3.6.3
c
.
cm
Wenn sich Licht in einem Medium mit der Brechzahl n1
ausbreitet und auf die Grenzfläche zu einem zweiten
Medium mit kleinerer Brechzahl n2 < n1 trifft, so wird der
Lichtstrahl total reflektiert, wenn der Einfallswinkel 1
größer ist als der kritische Winkel k der Totalreflexion.
Dieser ist gegeben durch
sin  k 
n2
.
n1
3.6.4
Als Dispersion bezeichnet man das Phänomen, daß die
Brechzahl eines Mediums von der Wellenlänge des
Lichts abhängt. Durch die Dispersion wird weißes Licht,
das durch ein Prisma hindurchgeht, spektral zerlegt. In
ähnlicher Weise erzeugen Reflexion und Brechung des
Sonnenlichts in Wassertröpfchen einen Regenbogen.
3.6.5
Licht ist wie alle elektromagnetischen Wellen eine
Transversalwelle und kann daher polarisiert werden.
Bilden die Transmissionsachsen zweier Polarisatoren
einen Winkel , so wird das vom ersten Polarisator
durchgelassene Licht durch den zweiten Polarisator um
den Faktor cos2  geschwächt. Dies ist das Gesetz von
Malus. Mit der Intensität I0 des Lichts zwischen den
beiden Polarisatoren ist die Intensität nach dem
Durchgang durch den zweiten Polarisator gegeben
durch
I = I0 cos2 .
3.6.6
Es gibt vier Effekte, mit denen man aus unpolarisiertem
Licht polarisiertes Licht erzeugen kann: Absorption,
Streuung, Reflexion und Doppelbrechung.
3.6.7
Bei der Abbildung eines Gegenstands durch einen
sphärischen Spiegel oder eine Linse sind Gegenstandsweite g, Bildweite b und Brennweite f folgendermaßen miteinander verknüpft:
1 1 1
  .
g b f
Die Brennweite f ist die Bildweite für einen unendlich
weit entfernten Gegenstand (g = ). Bei einem sphärischen Spiegel ist die Brennweite gleich dem halben
Krümmungsradius. Die Brennweite f einer dünnen
Linse, die beiderseits von Luft umgeben ist, ist mit der
Brechzahl n des Linsenmaterials und den Krümmungsradien r1 und r2 ihrer kugelförmigen brechenden
Flächen verknüpft durch
1 1
1
 (n  1)   .
f
 r1 r2 
In den beiden vorstehenden Gleichungen sind die
Größen g, b, f, r1 und r2 positiv anzusetzen, wenn der
Gegenstand, das Bild bzw. der Krümmungsmittelpunkt
auf der "reellen Seite" liegt. Diese Seite ist beim Spiegel
die Einfallsseite, aber bei der Linse für Gegenstände
die Einfallsseite und für Bildung und Krümmungsmittelpunkte die Transmissionsseite. Ist b positiv, dann
ist das Bild reell, so daß tatsächlich Lichtstrahlen vom
jeweiligen Bildpunkt ausgehen. Ein reelles Bild läßt sich
auf einem Schirm betrachten oder photographisch
aufnehmen. Ist b negativ, dann ist das Bild virtuell, so
daß kein Licht vom Bildpunkt ausgeht. In diesem Fall
kann man das Bild weder auf einem Schirm betrachten
noch in der Bildebene photographieren.
3.6.8
Der Abbildungsmaßstab (die Lateralvergrößerung) ist
definiert als
V
B
b
 .
G
g
Darin ist G die Gegenstandsgröße und B die Bildgröße.
Eine negative Vergrößerung bedeutet, daß das Bild
umgekehrt ist (gegenüber der Richtung des Gegenstands).
3.6.9
Bei einem ebenen Spiegel sind r und f unendlich, so
daß b = -g ist. Das Bild ist also virtuell, aufrecht und von
derselben Größe wie der Gegenstand.
3.6.10 Bildpunkte, die von sphärischen Spiegeln oder von
Linsen erzeugt werden, lassen sich nach einem
einfachen Verfahren konstruieren: Es werden mindestens zwei Hauptstrahlen gezeichnet, die vom
betreffenden Gegenstandspunkt ausgehen und sich im
zugehörigen Bildpunkt schneiden oder von diesem
auszugehen scheinen.
Bei sphärischen Spiegeln gibt es vier Hauptstrahlen:
den achsenparallelen Strahl (der nach der Reflexion
durch den Brennpunkt verläuft), den Brennpunktsstrahl
(der achsenparallel reflektiert wird), den in sich selbst
reflektierten radialen Strahl (durch den Krümmungsmittelpunkt des Spiegels) und den zentralen Strahl, der
auf den Scheitelpunkt des Spiegels gerichtet ist und im
gleichen Winkel zur Achse reflektiert wird.
Bei Linsen gibt es drei Hauptstrahlen: den achsenparallelen Strahl (der nach der Brechung durch den
Brennpunkt verläuft), den Brennpunktsstrahl (der
achsenparallel gebrochen wird) und den zentralen
Strahl (der durch den Mittelpunkt der Linse geht und
nicht gebrochen wird).
3.6.11 Eine positive Linse oder Sammellinse ist in der Mitte
dicker als am Rand. (Diese Aussage gilt nur, wenn die
Brechzahl über die ganze Linse hinweg konstant ist und
das umgebende Medium eine kleinere Brechzahl als
das Linsenmaterial hat.) Fällt paralleles Licht auf eine
Sammellinse, dann wird es auf den zweiten Brennpunkt
fokussiert, der sich auf der Transmissionsseite der
Linse befindet. Eine negative Linse oder Zerstreuungslinse ist am Rand dicker als in der Mitte. (Auch diese
Aussage ist nur unter den obengenannten Voraussetzungen gültig.) Fällt paralleles Licht auf eine
Zerstreuungslinse, dann scheint es vom zweiten Brennpunkt auszugehen, der sich auf der Einfallsseite der
Linse befindet.
3.6.12 Die Brechkraft D einer Linse ist gleich der reziproken
Brennweite D = 1/f. Die Einheit der Brechkraft D ist die
Dioptrie (dpt). Es ist 1 dpt = 1 m-1. Die Brechkräfte von
hintereinander auf derselben Achse angeordneten
Linsen addieren sich.
3.6.13 Die Bildweite b bei der Brechung an einer einzigen
sphärischen Oberfläche mit dem Radius r ist mit der
Gegenstandsweite g folgendermaßen verknüpft:
n1 n2 n2  n1


.
g
b
r
Darin ist n1 die Brechzahl des Mediums auf der
Einfallsseite und n2 die Brechzahl des Mediums auf der
Transmissionsseite. Bei dieser Brechung ist der Abbildungsmaßstab
V
n1b
.
n2 g
3.6.14 Ist eine Linse so dick, daß die einfache Konstruktion mit
den in der Linse einmal gebrochenen Hauptstrahlen
nicht zulässig ist, dann muß man mit zwei Hauptebenen
arbeiten, an denen die Brechung der Hauptstrahlen
formal vorgenommen wird.
3.6.15 Es gibt bei Linsen und Spiegeln prinzipielle Abbildungsfehler, die nicht auf Herstellungs- oder Materialfehler
zurückzuführen sind, sondern die allein davon herrühren, daß die Reflexions- und Brechungsgesetze, die
eigentlich nur für ebene Flächen gelten, auf sphärische
Flächen angewendet wurden. Dieses Verfahren liefert
nur bei kleinen Winkeln und achsennahen Strahlen
brauchbare Ergebnisse. Bei der sphärischen Aberration
werden achsenferne Strahlen näher an der Linse
fokussiert, als es der mit den einfachen Abbildungsgleichungen berechneten Brennweite entspricht. Dieser
Abbildungsfehler kann durch Ausblenden achsenferner
Strahlen vermindert werden. Dabei wird allerdings auch
die Helligkeit des Bildes herabgesetzt. Parabolspiegel
zeigen keine sphärische Aberration. Die chromatische
Aberration tritt nur bei Linsen, nicht aber bei Spiegeln
auf. Sie entsteht durch die Dispersion, d. h. die Abhängigkeit der Brechzahl von der Wellenlänge, und
kann vermindert werden, indem Linsen aus Materialien
mit verschieden starker Dispersion kombiniert werden.
Unter Astigmatismus schiefer Bündel versteht man den
Effekt, daß parallele Strahlen, die unter größeren
Winkeln zur Achse auf eine Linse fallen, nicht auf eine
Ebene, sondern auf eine gekrümmte Fläche fokussiert
werden. Dieser Abbildungsfehler kann nur durch
Ausblenden vermindert werden.
3.6.16 Die Hornhaut und die Linse des Auges fokussieren das
Licht auf die Netzhaut. Dort befinden sich spezielle
Sinneszellen (die Stäbchen und die Zäpfchen), die die
Licht- und Farbreize aufnehmen und über den Sehnerv
an das Gehirn weiterleiten. Wenn der Ziliarmuskel, der
die Krümmung der Linse steuert, entspannt ist, beträgt
die Brennweite des Systems Hornhaut – Linse etwa 2,5
cm; das ist der Abstand zwischen Linse und Netzhaut.
Bei dieser Einstellung werden weit entfernte Gegenstände scharf gesehen. Wird ein Gegenstand näher an
das Auge herangeführt, so erhöht der Ziliarmuskel die
Linsenkrümmung, so daß die Brennweite kleiner wird
und wiederum ein scharfes Bild auf der Netzhaut entsteht. Der dem Auge am nächsten gelegene Punkt,
dessen Bild die Linse noch auf die Netzhaut fokussieren kann, wird Nahpunkt genannt. Sein Abstand vom
Auge, die deutliche Sehweite s0, beträgt normalerweise
rund 25 cm, mit individuellen Abweichungen. Sie wird
wegen der abnehmenden Elastizität der Augenlinse mit
dem Alter länger und kann einige Meter betragen. Die
scheinbare Größe, in der ein Gegenstand wahrgenommen wird, ist gegeben durch die Größe seines Bildes
auf der Netzhaut. Dieses ist um so größer, je näher sich
der Gegenstand vor dem Auge befindet.
3.6.17 Eine Lupe ist eine Sammellinse, deren Brennweite
kleiner ist als der Abstand des Nahpunkts vom Auge.
Die Vergrößerung (oder Winkelvergrößerung) vL der
Lupe ist gegeben als Quotient aus Sehwinkel  mit
Lupe und Sehwinkel 0 im Abstand des Nahpunkts ohne
Lupe:
vL 

.
0
Dieser Quotient ist gleich dem Verhältnis des
Nahpunktabstands s0 zur Brennweite f der Linse, so
daß man schreiben kann:
vL 
s0
.
f
3.6.18 Eine Kamera besteht im Prinzip aus Objektiv (Sammellinse), variabler Blendenöffnung, Verschluß und einem
lichtdichten Behälter, an dessen Rückwand der Film
angebracht bzw. geführt wird. Wenn die Brennweite des
Objektivs nicht veränderlich ist, geschieht das
Scharfstellen durch Verschieben des Objektivs relativ
zur Filmebene. Die Blendenzahl (oder einfach Blende)
ist das Verhältnis der Objektivbrennweite f zum
nutzbaren Durchmesser d der Objektivöffnung:
f
Blendenzahl = .
d
3.6.19
Ein Mikroskop dient zum Betrachten sehr kleiner
Gegenstände in geringem Abstand. In seiner einfachsten Ausführung besteht es aus zwei Sammellinsen, die als Objektiv bzw. als Okular wirken. Der zu
betrachtende Gegenstand wird etwas außerhalb der
Brennweite des Objektivs plaziert. Dadurch entsteht ein
vergrößertes, reelles und umgekehrtes Bild des
Gegenstandes, und zwar am Brennpunkt des Okulars.
Das Okular wirkt wie eine Lupe, durch die das vom
objektiv entworfene Bild betrachtet wird. Die Vergrößerung vM des Mikroskops ist das Produkt aus dem
Abbildungsmaßstab VOb des Objektivs und der
Winkelvergrößerung vOk des Okulars:
vM  VOb vOk  
t
f Ob
s0
.
f Ok
Darin ist t die Tubuslänge, also der Abstand zwischen
zweitem Brennpunkt des Objektivs und erstem
Brennpunkt des Okulars.
3.6.20 Ein Teleskop dient zum Betrachten weit entfernter,
meist großer Gegenstände. Das Objektiv erzeugt ein
reelles, umgekehrtes Bild, das sehr viel kleiner ist als
der Gegenstand, jedoch sehr viel näher beim
Betrachter liegt. Das Okular wirkt wie eine Lupe, durch
die dieses Bild betrachtet wird. Bei einem Spiegelteleskop dient statt einer Sammellinse ein Konkavspiegel als Objektiv. Die Vergrößerung des Teleskops
ist das negative Verhältnis der Objektivbrennweite fOb
zur Okularbrennweite fOk:
vT 
f Ob
.
f Ok
Ein wichtiges Merkmal astronomischer Teleskope ist
ihre Lichtstärke, die proportional zur nutzbaren Objektivfläche ist.
3.6.21 Zwei Lichtstrahlen gleicher Wellenlänge  interferieren
konstruktiv, wenn ihre Phasendifferenz null oder ein
ganzzahliges Vielfaches von 360° (bzw. Gangunterschied ) beträgt. Sie interferieren destruktiv, wenn ihre
Phasendifferenz ein ungeradzahliges Vielfaches von
180° (bzw. Gangunterschied /2) beträgt. Eine
Phasendifferenz  kann durch einen Weg- oder Gangunterschied r zustande kommen. Dabei gilt folgender
Zusammenhang:
 
r

2 
r

360.
Ein Phasensprung um 180° tritt bei der Reflexion an der
Grenzfläche zu einem optische dichteren Medium auf,
beispielsweise wenn sich das Licht in Luft ausbreitet
und an Glas reflektiert wird.
3.6.22 Die Interferenz von Lichtwellen, die an der vorderen
und an der hinteren Grenzfläche einer dünnen Schicht
aus einem Medium mit abweichender optischer Dichte
reflektiert werden, führt zu farbigen Zonen (Streifen
oder Ringen), die beispielsweise an Seifenblasen oder
an Ölfilmen auf Wasser zu beobachten sind. Die
Phasendifferenz ergibt sich durch den Wegunterschied
(etwa gleich der doppelten Schichtdicke) des an der
Rückseite der Schicht reflektierten Strahls gegenüber
dem an der ersten Grenzfläche reflektierten Strahl. Zum
gesamten Gangunterschied tragen auch die Wellenlängenunterschiede in den verschiedenen Medien
sowie die bei den Reflexionen gegebenenfalls auftretenden Phasensprünge bei.
3.6.23 Im Michelson-Interferometer wird die Interferenz
ausgenutzt, um sehr kleine Abstände (in der Größenordnung der Lichtwellenlänge), kleine Unterschiede von
Brechzahlen (etwa bei Gasen) oder auch sehr kleine
Winkel zu messen.
3.6.24 Gehen Lichtstrahlen von zwei engen Spalten aus, die
den Abstand d voneinander haben, so ist bei einem
Winkel  zur Normalen auf der Spaltebene ihr Gangunterschied gleich d sin . Beträgt der Gangunterschied
ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge, dann
resultiert auf einem weit entfernten Schirm konstruktive
Interferenz, und die Intensität ist hier maximal. Wenn
der Gangunterschied gleich einem ungeradzahligen
Vielfachen von /2 ist, so tritt destruktive Interferenz
auf, und die Intensität am Schirm ist minimal. Es gilt
d sin  = m
m = 0, 1, 2, ... Maxima
1

m



d sin  =
2


m = 0, 1, 2, ... Minima.
Wenn die Intensität der Welle von einem einzelnen
Spalt am Schirm gleich I0 ist, so ist sie bei zwei Spalten
an Punkten konstruktiver Interferenz gleich 4I0 und an
Punkten destruktiver Interferenz null. Wenn sehr viele
äquidistante Spalte verwendet werden, liegen die
Hauptmaxima bei den gleichen Winkeln wie bei zwei
Spalten; jedoch ist ihre Intensität sehr viel größer, und
sie sind schmaler. Bei N Spalten ergibt sich die
Intensität der Hauptmaxima zu N2I0, und zwischen
benachbarten Hauptmaxima liegen jeweils N – 2 Nebenmaxima.
3.6.25 Beugung tritt immer dann auf, wenn ein Teil einer
Wellenfront durch ein Hindernis oder eine Öffnung
begrenzt wird. Die Lichtintensität an irgendeinem
Raumpunkt läßt sich mit Hilfe des Huygensschen
Prinzips bestimmen, indem jeder Punkt einer
Wellenfront als Punktquelle einer Elementarwelle
angesehen und das dabei resultierende Interferenzmuster berechnet wird. Fraunhofer-Beugungsmuster
werden bei großen Abständen vom Hindernis oder von
der Öffnung beobachtet, so daß die auf den Schirm
treffenden Strahlen näherungsweise parallel verlaufen.
Sie können auch durch eine Sammellinse fokussiert
und direkt betrachtet werden. Beugungseffekte sind oft
nicht sichtbar, weil die Wellenlänge zu klein gegen die
Abmessung des Gegenstands oder der Öffnung ist.
Zudem sind die meisten Lichtquellen räumlich zu ausgedehnt und emittieren auch kein kohärentes Licht.
Fresnel-Beugungsmuster lassen sich in der Nähe des
Hindernisses oder der Öffnung beobachten.
3.6.26 Trifft Licht auf einen Spalt der Breite a, so weist das auf
einem weit entfernten Schirm entstehende Intensitätsmuster ein breites zentrales Beugungsmaximum auf. Es
wird begrenzt durch die erste Nullstelle der Intensität;
diese liegt bei einem Winkel , für den gilt:
a sin  = .
Die Breite des zentralen Maximums ist also umgekehrt
proportional zur Spaltbreite. Weitere Nullstellen der
Intensität sind bei der Beugung an einem einzelnen
Spalt gegeben durch

sin  = m
a
m = 1, 2, 3, ...
Auf beiden Seiten des zentralen Maximums existieren
Nebenmaxima, allerdings mit wesentlich geringerer
Intensität.
3.6.27 Das Muster der Fraunhoferschen Interferenz und
Beugung an einem Doppelspalt entspricht dem
Interferenzmuster zweier einzelner enger Spalte, das
mit dem Beugungsmuster eines Einfachspalts moduliert
ist.
3.6.28 Wenn Licht aus zwei eng beieinanderstehenden
Punktquellen durch eine Öffnung tritt, so überlagern
sich die Beugungsmuster der beiden Quellen. Wenn
der Überlappungsbereich zu groß ist, sind die beiden
Quellen nicht getrennt wahrzunehmen. Sie lassen sich
nur dann als getrennte Quellen erkennen oder abbilden,
wenn der Abstand der Beugungsbilder voneinander
mindestens so groß ist, daß das zentrale
Beugungsmaximum der einen Quelle in das erste
Beugungsminimum der anderen fällt. Dies ist das
Rayleighsche Kriterium der Auflösung. Bei einer
kreisförmigen Öffnung mit dem Durchmesser d ist der
kritische Winkel k, unter dem zwei Quellen noch zu
trennen sind, gegeben durch
k = 1,22

.
d
Darin ist  die Wellenlänge des Lichts.
3.6.29 Ein Beugungsgitter besteht aus einer großen Zahl eng
beieinanderliegender, äquidistanter Linien oder Spalte;
es dient unter anderem zur Wellenlängenmessung. Die
Interferenzmaxima beim Beugungsgitter liegen bei
Winkeln , für die gilt:
g sin  = m
m = 0, 1, 2, ...
Hierin ist g die Gitterkonstante (der Abstand der Spalte
oder Linien voneinander), und m ist die Ordnung. Das
Auflösungsvermögen eines Gitters ist
A

 mN.

Darin ist N die Anzahl aller beleuchteten Spalte oder
Linien.