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Experimentalphysik-Vorlesung für Chemiestudenten Elektrizität und Optik Prof. A. Tünnermann Dr. E. Glaser Übungen Dr. J.-P. Ruske Dr. H. Zellmer 3.1 Elektrostatik 3.1.1 Es gibt positive und negative elektrische Ladungen. Ladung tritt in der Natur immer als ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e auf. Die Ladung eines Elektrons ist –e, die eines Protons +e. Gegenstände werden durch Ladungsaustausch, meist durch die Übertragung von Elektronen, elektrostatisch aufgeladen. Ladung bleibt immer erhalten. Sie kann beim Prozeß der elektrostatischen Aufladung nicht erzeugt oder zerstört, sondern lediglich umverteilt werden. 3.1.2 Die Kraft, die eine Ladung auf eine andere ausübt, wirkt entlang der Verbindungslinie der Ladungen. Die Kraft ist proportional zum Produkt der Ladungen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstandes. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Dies wird durch das Coulombsche Gesetz beschrieben: F12 q1q2 r12 . 40 r122 r12 1 Der Proportionalitätsfaktor 1/40 hat den Wert 1 4 0 8,99 10 9 N m 2 / C 2 , wobei 0 = 8,854 . 10-12 C2 . N-1 . m-2 die elektrische Feldkonstante ist. 3.1.3 Jedes Ladungssystem erzeugt ein elektrisches Feld, das auf eine andere Ladungsverteilung an deren Ort gemäß dem Coulombschen Gesetz eine elektrostatische Kraft ausübt. Das elektrische Feld, das am Ort einer positiven Probeladung q0 herrscht, ist definiert als die Gesamtkraft, die auf diese Probeladung wirkt, dividiert durch die Größe der Probeladung: E 3.1.4 F . q0 Das elektrische Feld einer einzelnen positiven Punktladung qi lautet im Abstand ri (von der Punktladung) am Punkt P: Ei qi ri 0 , ri 20 ri 0 1 40 wobei ri0/ri0 den Einheitsvektor von qi in Richtung von P bezeichnet. Das elektrische Feld eines Ladungssystems ist die Vektorsumme der Felder der einzelnen Ladungen: E E i i 3.1.5 i 1 40 qi ri 0 . ri 20 ri 0 Ein elektrisches Feld kann graphisch durch elektrische Feldlinien wiedergegeben werden, wobei die Feldlinien bei positiven Ladungen beginnen und bei negativen Ladungen enden. Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Stärke des Feldes. 3.1.6 Ein elektrischer Dipol ist ein System zweier gleichgroßer, aber entgegengesetzter Ladungen, die durch einen kleinen räumlichen Abstand getrennt sind. Das Dipolmoment p ist ein Vektor, der von der negativen zur positiven Ladung zeigt und dessen Größe durch die Multiplikation von Ladung und Abstand bestimmt wird: p q. Weit entfernt vom Dipol ist das elektrische Feld proportional zum Betrag des Dipolmoments und fällt mit der dritten Potenz der Entfernung ab. 3.1.7 In einem homogenen elektrischen Feld ist zwar die gesamte, auf einen Dipol ausgeübte Kraft gleich null, aber es existiert ein Drehmoment M mit M = p x E, das den Dipol parallel zu den Feldlinien auszurichten versucht. Die potentielle Energie eines Dipols in einem elektrischen Feld ist durch Epot = -p E gegeben. Sie verschwindet, wenn Dipol und Feldlinien senkrecht zueinander stehen. In einem inhomogenen elektrischen Feld wirkt eine Gesamtkraft auf den Dipol. 3.1.8 Polare Moleküle, wie Wasser, besitzen ein permanentes Dipolmoment, da ihre positiven und negativen Ladungsschwerpunkte nicht zusammenfallen. Sie wirken wie einfache Dipole in einem elektrischen Feld. Nichtpolare Moleküle haben kein permanentes Dipolmoment. Aber durch äußere elektrische Felder können in ihnen Dipole induziert werden. 3.1.9 Das elektrische Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung kann direkt mit dem Coulombschen Gesetz berechnet werden: E V 1 dq r 40 r 2 r Dabei steht dq = dV für eine räumliche Ladungsverteilung in einem Volumen. Bei einer Ladungsverteilung auf einer Oberfläche geht die Integration über A, und es gilt dq = dA, entsprechend gilt bei einer Ladungsverteilung entlang einer Linie dq = d . 3.1.10 Der elektrische Fluß eines konstanten elektrischen Feldes durch eine Fläche A ist das Produkt der Fläche A und der zur Fläche senkrecht stehenden Feldkomponente: E n A EA cos En A. Für ein allgemeines, ortsabhängiges elektrisches Feld ist der Fluß durch ein Flächenelement dA gegeben durch d E n dA E cos dA En dA. 3.1.11 Der Gesamtfluß durch eine beliebig geformte geschlossene Oberfläche S ist 1/0 multipliziert mit der Gesamtladung innerhalb der Oberfläche. Dies ist das Gaußsche Gesetz: ges En dA S Qinnen 0 . Das Gaußsche Gesetz kann zur Berechnung des elektrischen Feldes hoch symmetrischer Ladungsverteilungen verwendet werden. 3.1.12 Auf einer Oberfläche mit der Flächenladungsdichte ist die zur Oberfläche senkrecht stehende Feldkomponente unstetig. Sie macht einen Sprung 0: E n 2 E n1 . 0 3.1.13 Ein Leiter im elektrostatischen Gleichgewicht trägt die gesamte elektrische Ladung auf seiner Oberfläche. Das elektrische Feld unmittelbar außerhalb des Leiters steht senkrecht zur Oberfläche und besitzt die Stärke 0, wobei die lokale Flächenladungsdichte in diesem Punkt des Leiters ist. 3.1.14 Die Potentialdifferenz b - a ist definiert als die von einem elektrischen Feld geleistete Arbeit pro Ladungseinheit, die nötig ist, um eine Probeladung vom Punkt a zum Punkt b zu bringen (wobei die Vorzeichen von Potentialdifferenz und Arbeit entgegengesetzt sind): b b a E d. a Für infinitesimale Verschiebungen wird dies in der Form d E d geschrieben. Da nur die Differenzen von Potentialen wichtig sind, nicht aber deren Absolutwerte, können wir den Nullpunkt des Potentials frei wählen. Das Potential an einem beliebigen Punkt ergibt sich aus der potentiellen Energie einer Ladung dividiert durch diese Ladung: E pot . q0 In der Technik und im Alltag wird die Potentialdifferenz häufig als Spannung bezeichnet. Die SI-Einheit von Potential und Spannung ist das Volt (V): 1 V = 1 J/C. Die Einheit der elektrischen Feldstärke lautet damit: V/m. 3.1.15 In der Atom- und Kernphysik ist die am häufigsten benutzte Einheit der Energie das Elektronenvolt (eV). Darunter versteht man die potentielle Energie eines Teilchens mit Ladung e an einem Punkt, an dem das Potential 1 V beträgt. Die Verknüpfung zur Einheit Joule ist: 1 eV = 1,6 10-19 J. 3.1.16 Das elektrische Potential im Abstand r von einer zentral angeordneten Punktladung q wird durch 1 q 0 40 r beschrieben. Hierbei ist 0 das Potential in unendlichem Abstand von der Punktladung. Setzt man das Potential im Unendlichen null, so erhält man für das durch die Punktladung hervorgerufene Potential 1 q . 40 r Für ein System von Punktladungen ist das Potential durch i qi 40 ri 0 1 gegeben. Hier wird über alle Ladungen summiert, und ri0 ist der Abstand der i-ten Ladung von Punkt P, an dem das Potential bestimmt werden soll. 3.1.17 Die elektrostatische potentielle Energie eines Punktladungssystems ist die Arbeit, die benötigt wird, um die Ladungen aus unendlichem Abstand an ihre Endposition zu bringen. 3.1.18 Bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung findet man das Potential durch Integration über die Ladungsverteilung: V 1 dq . 40 r Dieser Ausdruck kann nur verwendet werden, wenn sich die Ladungsverteilung innerhalb eines endlichen Volumens V befindet, so daß das Potential im Unendlichen null gesetzt werden kann. 3.1.19 Das elektrische Feld zeigt in die Richtung der größten Abnahme des Potentials. Die Komponente von E in Richtung einer Verschiebung d hängt mit dem Potential über d E d zusammen. Der Vektor, der in die Richtung der größten Änderung einer skalaren Funktion zeigt und dessen Größe gleich der Ableitung der Funktion in dieser Richtung ist, wird Gradient der Funktion genannt. Das elektrische Feld E ist der negative Gradient des Potentials . In Vektorschreibweise wird dieser Gradient als geschrieben, wobei der Gradientenoperator oft auch als Nabla-Operator bezeichnet wird. Für das elektrische Feld gilt also: E = -. Bei einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung ändert sich das Potential nur mit r, und das elektrische Feld hängt mit dem Potential über E d r dr r zusammen. In kartesischen Koordinaten gilt: E e ey e z . x y z 3.1.20 Durch Gradientenbildung wird ein Skalar in einen Vektor überführt. Das Skalarprodukt des NablaOperators mit einem Vektor heißt Divergenz. Die Divergenz macht aus einem Vektor eine skalare Größe: div a a , , (a x , a y , a z ) x y z a x a y a z . x y z Die Divergenz des elektrischen Feldes kontinuierlichen Ladungsverteilung beträgt div E E einer . 0 Diese Gleichung wird auch Poisson-Gleichung genannt. Die anschauliche Interpretation der Divergenz ist die einer Quelle, von der das Feld ausgeht. Beim elektrischen Feld ist 0 die Stärke der Quelle. Für den Zusammenhang des Potentials und der Ladungsverteilung gilt: div E div grad . 0 Dabei ist 2 2 2 div grad 2 2 2 x y z der sogenannte Laplace-Operator. Mit Hilfe der Poisson-Gleichung läßt sich das Gaußsche Gesetz für kontinuierliche Ladungsverteilungen schreiben als E n dA div E dV . S V Der durch diese Gleichung ausgedrückte Zusammenhang zwischen dem Oberflächenintegral auf der linken und dem Volumenintegral auf der rechten Seite der Gleichung ist als Gaußscher Integralsatz bekannt. 3.1.21 Auf einem Leiter beliebiger Form ist die Oberflächenladungsdichte in Punkten mit kleinstem Krümmungsradius am größten. 3.1.22 Ein Leiter kann nur bis zu einer maximalen Feldstärke aufgeladen werden. Danach tritt eine Entladung durch einen dielektrischen Durchschlag auf. In Luft beträgt diese kritische elektrische Feldstärke etwa Emax 3 106 V/m = 3 MV/m. Die elektrische Feldstärke, bei der ein dielektrischer Durchschlag in einem Material eintritt, heißt Durchschlagsfestigkeit des Materials. Die resultierende Entladung durch leitende Luft heißt Funkenentladung. 3.1.23 Kondensatoren dienen zur Speicherung elektrischer Ladung und Energie. Sie bestehen aus zwei Leiteroberflächen, die voneinander isoliert sind und die die gleiche negative bzw. positive Ladung Q tragen. Die Kapazität erhält man, wenn man diese Ladung Q durch die zwischen den Leitern liegende Spannung U teilt: Q C . U Die Kapazität hängt nur von der Bauform des Kondensators ab, nicht jedoch von der Spannung oder Potentialdifferenz. 3.1.24 Die Kapazität eines Plattenkondensators ist proportional zur Fläche einer der (gleich großen) Platten und umgekehrt proportional zum Plattenabstand: 0 A C S . Die Kapazität eines Zylinderkondensators ist gegeben durch: C 2 0 , ln( b / a ) wobei die Länge des Kondensators und a und b der Radius des inneren bzw. äußeren Leiters ist. 3.1.25 Einen Isolator, also ein elektrisch nicht leitendes Material, bezeichnet man als Dielektrikum. Führt man ein Dielektrikum in einen Kondensator ein, so wird die Ladungsverteilung der Atome und Moleküle des Dielektrikums im elektrischen Feld im Inneren des Kondensators verändert. Dieser Effekt heißt Polarisation, wobei zwei Formen unterschieden werden können: die Orientierungspolarisation, bei der die bereits vorhandenen polaren Moleküle sich in Feldrichtung drehen, und die Verschiebungspolarisation, bei der das äußere Feld eine Verschiebung der Ladungsschwerpunkte von Elektronen und Atomkern in jedem einzelnen Atom bewirkt. Durch die Polarisation baut sich im Dielektrikum ein Feld E auf, das sich dem äußeren Feld E0 überlagert und dieses schwächt; für E gilt: E E0 r , wobei r die Dielektrizitätszahl heißt. Die Abschwächung des Feldes führt zu einer Erhöhung der Kapazität um den Faktor r: C = rC0, C0 bezeichnet die Kapazität ohne Dielektrikum. Die Dielektrizitätskonstante oder Permittivität von Materie ist definiert als = r 0. Über die Kapazitätserhöhung hinaus erfüllen Dielektrika noch weitere Funktionen: Sie dienen als physikalische Abstandshalter und, besonders wichtig, erhöhen die Durchschlagsfestigkeit des Kondensators. 3.1.26 Die elektrische Energie in einem Kondensator mit der Ladung Q, der Potentialdifferenz U und der Kapazität C ist gegeben durch: 1 Q2 1 1 W QU CU 2 . 2 C 2 2 Diese Energie ist im elektrischen Feld gespeichert. Die elektrische Energiedichte beträgt: wel Energie 1 E 2. Volumen 2 3.1.27 Bei der Parallelschaltung von Kondensatoren addieren sich die Kapazitäten: Cers = C1 + C2 + C3 + ... Bei der Serienschaltung von Kondensatoren addieren sich die Kehrwerte der Einzelkapazitäten; für den Kehrwert der Ersatzkapazität gilt: 1 1 1 1 ... C ers C1 C 2 C3 3.2 Elektrischer Strom 3.2.1 Elektrischer Strom wird hervorgerufen durch bewegte Ladungen. Die elektrische Stromstärke ist definiert als die Ladung, die pro Zeitintervall durch eine bestimmte Querschnittsfläche fließt. Die konventionelle Stromrichtung zeigt in Flußrichtung der positiven Ladungsträger. In einem Draht entsteht ein elektrischer Strom durch das Anlegen einer Spannung. Im Innern des Leiters herrscht dann ein elektrisches Feld, dessen Stärke der Spannung proportional ist. Bei den fließenden Ladungen stellt sich ein Gleichgewicht zwischen Beschleunigung durch das elektrische Feld und Zusammenstößen mit den Gitterionen ein. Die resultierende Driftgeschwindigkeit liegt typischerweise in der Größenordnung von einigen hundertstel Millimetern pro Sekunde. 3.2.2 Der elektrische Widerstand ist der Quotient aus Spannung und Stromstärke. In den meisten Metallen ist der Widerstand eine von der Stromstärke und Spannung unabhängige Konstante. Dies ist die Aussage des Ohmschen Gesetzes: U = IR. Materialien, die diesem Gesetz gehorchen, bezeichnet man als ohmsche Widerstände. Der reziproke Wert des Widerstandes heißt Leitwert G: G = 1/R. 3.2.3 Der Widerstand eines Drahtes ist proportional zu seiner Länge und umgekehrt proportional zu seiner Querschnittsfläche: R , A wobei den spezifischen Widerstand des Materials bezeichnet. Der Kehrwert des spezifischen Widerstands heißt Leitfähigkeit : 3.2.4 1 . In allgemeiner, vektorieller Form lautet das Ohmsche Gesetz: j = E, wobei j die Stromdichte, definiert als Strom pro Fläche, ist. 3.2.5 Die elektrische Leistung in einem elektrischen Bauteil ergibt sich als Produkt aus Spannungsabfall und Stromstärke: P = IU. Spannungsquellen versorgen elektrische Schaltungen mit Energie. Die Leistung, die eine Spannungsquelle aufbringt, ist das Produkt aus Quellenspannung und Stromstärke: P = UQI. Die Leistung, die in einem Widerstand in Wärme umgewandelt wird, beträgt: U2 P IU I R . R 2 Bei einer idealen Spannungsquelle ist die Klemmenspannung unabhängig von der Stromstärke genauso groß wie die Quellenspannung. Bei einer realen Spannungsquelle ist das nicht der Fall. Man kann sie als Serienschaltung einer idealen Spannungsquelle und eines kleinen Widerstandes, des Innenwiderstandes, auffassen. 3.2.6 Der Ersatzwiderstand einer Widerständen ist gleich Einzelwiderstände: Rers = R1 + R2 + R3 + ... Serienschaltung der Summe von der Widerstände in Reihe. Bei der Parallelschaltung von Widerständen ist der Kehrwert des Ersatzwiderstandes gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände: 1 1 1 1 ... Rers R1 R2 R3 3.2.7 Widerstände parallel. Im mikroskopischen Modell der elektrischen Leitung bewegen sich die Elektronen frei in einem Ionengitter. Sie werden abwechselnd durch das elektrische Feld beschleunigt und durch Stöße mit den Gitterionen abgebremst. Dadurch stellt sich eine kleine konstante Driftgeschwindigkeit vd ein, die der elektrischen Feldstärke E proportional ist: vd = µE. Der Proportionalitätsfaktor genannt. µ Die Beweglichkeit ist gegeben als e me wird Beweglichkeit mit Elementarladung e, Masse des Elektrons me und der Zeit zwischen zwei Stößen (Relaxationszeit) . 3.2.8 Die Kirchhoffschen Regeln lauten: Knotenregel: Die Summe aller Ströme, die zu einem Knoten hinfließen, ist gleich der Summe der Ströme, die von diesem Knoten wegfließen. Maschenregel: Beim Durchlaufen einer Masche (also einer geschlossenen Schleife) in einem willkürlich festgelegten Umlaufsinn ist die Summe aller Spannungen gleich null. 3.2.9 Stromkreise mit vielen Schleifen analysiert man gemäß folgendem Schema: 1. Arbeiten Sie bei Stromkreisen mit mehreren hintereinanderoder parallelgeschalteten Widerständen mit den Ersatzwiderständen. 2. Wählen Sie eine bestimmte Stromrichtung für den gesamten Stromkreis und zeichnen Sie in einem Schaltplan in jedem Zweig die zugehörige Stromrichtung ein. Markieren Sie bei jedem Bauelement (Spannungsquelle, Widerstand oder Kondensator) die Seite mit höherem Potential durch ein Pluszeichen und entsprechend die Seite mit niedrigerem Potential durch ein Minuszeichen. 3. Wenden Sie auf jede Stromverzweigungsstelle die Knotenregel an. 4. Wenden Sie die Maschenregel so oft an, wie es nötig ist, um alle Teilströme berechnen zu können (bei n inneren Schleifen also mindestens n-mal). 5. Lösen Sie die sich aus den Punkten 3 und 4 ergebenden Gleichungen, und bestimmen Sie auf diese Weise alle Unbekannten. 6. Überprüfen Sie die Ergebnisse dadurch, daß einem Punkt des Stromkreises das Potential null zugewiesen wird und die errechneten Werte der Stromstärken dazu verwendet werden, die Potentiale an anderen Punkten des Stromkreises zu bestimmen. 3.2.10 Komplizierte Schaltungen kann man häufig durch Symmetriebetrachtungen vereinfachen. Punkte, die auf gleichem Potential liegen, kann man in einem vereinfachten Schaltbild miteinander verbinden. 3.2.11 Wird ein Kondensator über einen Widerstand entladen, so nehmen die Ladung und der Entladestrom exponentiell mit der Zeit ab. Die Zeitkonstante = RC ist die Zeit, in der die Ladung auf den e-ten Teil ihres Anfangswertes abgefallen ist. Wird ein Kondensator über einen Widerstand aufgeladen, so nimmt der Ladestrom wieder exponentiell mit der Zeit ab, und nach der Zeitspanne = RC hat die Ladung auf dem Kondensator 63 Prozent ihres Endwerts erreicht. 3.2.12 Ein Galvanometer ist ein Gerät zur Messung kleiner Ströme, wobei der Zeigerausschlag des Galvanometers proportional zum hindurchfließenden Strom ist. Ein Amperemeter ist auch zur Messung größerer Ströme geeignet. Es besteht aus einem Galvanometer und einem dazu parallel geschalteten Widerstand, dem sogenannten Shuntwiderstand. Zur Messung des Stroms durch einen Widerstand muß das Amperemeter in Reihe mit diesem Widerstand geschaltet werden. Da der Innenwiderstand des Amperemeters sehr klein ist, wird die Messung nur geringfügig verfälscht. Ein Voltmeter dient zur Messung von Potentialdifferenzen. Es ist aus einem Galvanometer und einem dazu in Reihe geschalteten großen Widerstand aufgebaut. Den Spannungsabfall über einem Widerstand mißt man, indem man das Voltmeter zum Widerstand parallelschaltet. Aufgrund des hohen Innenwiderstandes des Voltmeters ist der Fehler bei der Spannungsmessung sehr klein. Mit einem Ohmmeter werden Widerstände gemessen. Es besteht aus einer Spannungsquelle, einem Galvanometer und einem Widerstand, die alle in Reihe geschaltet sind. 3.3 Magnetfeld 3.3.1 Bewegte Ladungen wechselwirken miteinander durch magnetische Felder. Da elektrische Ströme nichts anderes als sich bewegende Ladungen sind, üben sie aufeinander magnetische Kräfte aus. Man kann sie beschreiben, indem man davon ausgeht, daß eine bewegte Ladung oder ein Strom ein magnetisches Feld erzeugt und dieses dann mit anderen bewegten Ladungen oder Strömen wechselwirkt. Magnetische Felder werden immer durch bewegte Ladungen verursacht. 3.3.2 Bewegt sich eine Ladung q mit der Geschwindigkeit v in einem Magnetfeld B, so wirkt auf sie die sogenannte Lorentz-Kraft: F = qv x B Die Kraft eines Magnetfeldes auf ein stromdurchflossenes Drahtstück ist gegeben durch dF = I d x B. Dabei ist ein Vektor, der die Länge des Drahtstückes hat und in Stromrichtung zeigt. Die SI-Einheit des magnetischen Feldes B ist das Tesla (T). Eine ältere, aber nach wie vor gebräuchliche Einheit ist das Gauß, das man wie folgt in Tesla umrechnet: = 104 G. 3.3.3 Ein Teilchen der Ladung q und Masse m, das sich senkrecht zu einem Magnetfeld B bewegt, beschreibt eine Kreisbahn, deren Radius durch r mv qB gegeben ist. Die Umlaufzeit T ist unabhängig vom Bahnradius und der Teilchengeschwindigkeit. Die Umlauffrequenz 1/T wird als Zyklotronfrequenz bezeichnet: f 1 qB . T 2m 3.3.4 Ein Geschwindigkeitsfilter besteht aus einem Magnetfeld und einem elektrischen Feld. Die Felder stehen aufeinander senkrecht (man spricht auch von gekreuzten Feldern), und ihre Kraftwirkung kompensiert sich für Teilchen mit der Geschwindigkeit v = E/B. 3.3.5 Das Verhältnis von Ladung zu Masse (q/m) eines Ions bekannter Geschwindigkeit kann man durch die Messung seines Bahnradius in einem bekannten Magnetfeld bestimmen (Massenspektrometrie). 3.3.6 Einer Leiterschleife in einem Magnetfeld läßt sich ein magnetisches (Dipol-)Moment mm zuschreiben: mm = NIA n, wobei N die Windungszahl, A die Schleifenfläche, I die Stromstärke und n der Normalenvektor der Fläche ist. Auf einen solchen Dipol wirkt in einem Magnetfeld ein Drehmoment M = mm x B, welches versucht, das magnetische Moment der Leiterschleife parallel zum Feld auszurichten. Ein homogenes Magnetfeld übt zwar ein Drehmoment, aber keine resultierende Kraft auf eine Leiterschleife aus. 3.3.7 Auf einen Stabmagneten wirkt in einem Magnetfeld ebenfalls ein Drehmoment. Durch die Beziehung M = mm x B kann man das magnetische Moment des Stabmagneten über das experimentell bestimmte Drehmoment definieren. Die Polstärke P des Stabmagneten wird über die Kraft definiert, die auf jeden der Pole wirkt: F = P B. Die Polstärke des Nordpols ist positiv, die des Südpols negativ. Drückt man das magnetische Moment durch die Polstärke aus, so ergibt sich mm = P , wobei der Verbindungsvektor zwischen Südpol und Nordpol ist. 3.3.8 Bringt man einen stromdurchflossenen Metallstreifen in ein Magnetfeld, so führt die Lorentz-Kraft zu einer Trennung der Ladungsträger. Dieser Effekt heißt HallEffekt. Die Trennung der Ladungsträger erzeugt eine meßbare Potentialdifferenz, die man als Hall-Spannung bezeichnet: U H vd Bb 1 IB B AH . nqd d Hier ist vd die Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger, B das Magnetfeld, b die Breite des Leiters, d die Dicke des Leiters, n die Ladungsträgerdichte, q die Ladung und AH = 1/nq die sogenannte Hall-Konstante. Man kann mit Hilfe des Hall-Effektes das Vorzeichen der Ladungsträger in einem Leiter, ihre Dichte sowie die Leitfähigkeit und die Elektronenbeweglichkeit des Materials ermitteln. Bei sehr tiefen Temperaturen und hohen Magnetfeldstärken ist der Hall-Widerstand quantisiert und kann nur die Werte RH U H RK I n annehmen, wobei n eine ganze Zahl ist und RK die VonKlitzing-Konstante, die den Wert RK h 25812,807 e2 hat. 3.3.9 Bewegt sich eine Ladung q mit der Geschwindigkeit v, so erzeugt sie ein Magnetfeld, das an einem Aufpunkt P im Abstand r durch die folgende Beziehung gegeben ist: qv r / r B 0 . 4 r2 Dabei ist r/r ein Einheitsvektor, der von der Ladung zum Aufpunkt zeigt, und µ0 die sogenannte magnetische Feldkonstante. Sie hat den Betrag µ0 = 4 10-7 T m/A = 4 10-7 N/A2. 3.3.10 Für das Magnetfeld dB im Abstand r von einem Stromelement I d gilt: dB 0 I d r / r . 4 r2 Diese Beziehung heißt Biot-Savartsches Gesetz. Das Magnetfeld bildet sowohl mit dem Stromelement als auch mit dem Verbindungsvektor r vom Stromelement zum Aufpunkt einen rechten Winkel. 3.3.11 Die Kraft, die zwei bewegte Ladungen durch ihre Magnetfelder aufeinander ausüben, verletzt scheinbar das dritte Newtonsche Gesetz (actio = reactio), was bedeutet, daß der Impuls in diesem Zweiteilchensystem nicht erhalten bleibt. Zieht man allerdings den Impuls der elektrischen und magnetischen Felder in die Betrachtung mit ein, so bleibt der Gesamtimpuls des Systems aus den beiden Ladungen und diesen Feldern sehr wohl erhalten. 3.3.12 Das Magnetfeld auf der Achse eines ringförmigen, stromdurchflossenen Leiters (also eines Kreisstromes) ist gegeben durch 0 2R 2 I B ex 4 ( x 2 R 2 ) 3 / 2 , wobei ex ein Einheitsvektor in Richtung der Achse des Ringes ist. In großer Entfernung zum Ring geht das obige Magnetfeld in das Feld eines Dipols über: B 0 2m m 4 x 3 , wobei mm das magnetische Dipolmoment (oder einfach: das magnetische Moment) des Ringes ist. Das magnetische Moment ist das Produkt aus Stromstärke und Querschnittsfläche des Ringes und steht gemäß der Rechte-Hand-Regel senkrecht zum Ring. 3.3.13 Das Magnetfeld im Innern einer langen Spule, weit entfernt von ihren Enden, hat den Betrag B = µ0 nI, wobei n die Windungszahldichte (Zahl der Windungen pro Länge) der Spule ist. 3.3.14 Das Magnetfeld Leiterstücks beträgt B eines stromdurchflossenen 0 I (sin 1 sin 2 ) , 4 R wobei R der senkrechte Abstand des Aufpunktes zum Draht ist. 1 und 2 sind die Winkel zwischen dem vom Aufpunkt auf den Draht gefällten Lot und den Verbindungslinien zu den beiden Enden des Drahtes. Ist das Leiterstück sehr lang, so geht der obige Ausdruck über in B 0 2I . 4 R Die Richtung der Feldlinien wird durch die gekrümmten Finger der rechten Hand angegeben, wenn der Daumen in Richtung des Stromes zeigt. 3.3.15 Das Magnetfeld im Innern einer dicht gewickelten Ringspule hat den Betrag B 0 NI 2r , wobei r der Abstand vom Mittelpunkt der Ringröhre ist. 3.3.16 Ein Ampere ist definiert als die Stromstärke, bei der zwei parallele, vom gleichen Strom durchflossene Leiter im Abstand von einem Meter eine Kraft von 2 10-7 N/m aufeinander ausüben. 3.3.17 Das Ampèresche Gesetz verknüpft das Integral der Tangentialkomponente des Magnetfeldes entlang einer geschlossenen Kurve C mit dem gesamten Strom IC, der durch die von dieser Kurve begrenzte Fläche hindurchtritt: B d I , 0 C C für eine beliebige geschlossene Kurve C. Das Ampèresche Gesetz ist nur für geschlossene Stromkreise gültig. Es kann dann zur Berechnung des Magnetfeldes verwendet werden, wenn die betrachtete Anordnung einen hohen Grad an Symmetrie aufweist, wie beispielsweise dicht gewickelte Ring- oder Zylinderspulen. 3.3.18 Die Rotation eines Vektors a ist definiert als das Vektorprodukt des Nabla-Operators mit a: ex rot a a x ax ey y ay ez z az a a a a a a e x z y e y z x e z y x . z z y x y x 3.3.19 Bildet man die Rotation des Magnetfeldes B eines stromdurchflossenen Leiters, so erhält man rot B = µ0j. Diese Gleichung, die häufig als die differentielle Form des Ampèreschen Gesetzes bezeichnet wird, macht besonders deutlich, daß die Quelle des Magnetfeldes B eine Stromdichte j ist. Die Integralform des Ampèreschen Gesetzes kann man mit rot B = µ0j umformen und erhält dann eine neue Beziehung: B d rot B ndA. C A Rein formal gibt diese Gleichung eine Methode an, wie man ein Linienintegral in ein Integral über die von der Linie eingeschlossene Fläche überführen kann. Diese mathematische Methode ist als Stokesscher Integralsatz bekannt. 3.3.20 Im Falle eines homogenen Magnetfeldes ist der magnetische Fluß m durch eine Spule das Produkt aus der Spulenfläche A und dem Anteil Bn des Magnetfeldes, der senkrecht auf der Spulenebene steht. Allgemein gilt für eine Spule mit N Windungen m NBn dA. A Die SI-Einheit des magnetischen Flusses ist das Weber: 1 Wb = 1 T m². 3.3.21 Ändert sich der magnetische Fluß durch eine Leiterschleife, so wird eine Spannung U induziert. Die Größe dieser Induktionsspannung erhält man mit Hilfe des Faradayschen Gesetzes: U E d C dm dt . Die Induktionsspannung entspricht einem nichtkonservativen elektrischen Feld E, das tangential zum Leiter verläuft. Integriert wird über die gesamte Länge des Leiters, also über die geschlossene Kurve C. Die Induktionsspannung und der daraus resultierende Induktionsstrom wirken ihrer Ursache entgegen. Diese Aussage heißt auch Lenzsche Regel. 3.3.22 In einem leitenden Draht oder Stab der Länge , der sich mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu einem Magnetfeld B bewegt, wird durch die Bewegung eine Spannung induziert. Sie hat den Betrag U dm Bv. dt 3.3.23 Kreisströme, die in elektrischen Leitern aufgrund einer magnetischen Flußänderung erzeugt werden, bezeichnet man als Wirbelströme. 3.3.24 In einer Spule, die mit der Winkelgeschwindigkeit in einem Magnetfeld rotiert, entsteht eine Wechselspannung U = Umax sin (t + ), wobei Umax = NBA die Amplitude dieser Spannung ist. 3.3.25 Der magnetische Fluß durch einen Stromkreis ist proportional zur Stromstärke I: m = L I, wobei man L die Selbstinduktivität des Kreises nennt. Sie hängt lediglich von der Geometrie ab. Die SI-Einheit der Induktivität ist das Henry (H): 1 H = 1 Wb/A = 1 T m²/A. Die Selbstinduktivität einer langen, eng gewickelten Spule der Länge , Querschnittsfläche A und Windungszahldichte n = N/ beträgt: L m I 0 n 2 A. Befindet sich in der Nähe dieses Stromkreises ein weiterer Stromkreis, der vom Strom I2 durchflossen wird, so kommt zum bereits vorhandenen Fluß der Anteil m = MI2 hinzu. Die Größe M heißt Gegeninduktivität und hängt nur von geometrischen Faktoren ab. 3.3.26 Ändert sich die Stromstärke in einem Stromkreis, so wird eine Spannung U d m dI L dt dt induziert. 3.3.27 In einem LR-Kreis, in dem ein Widerstand R, eine Induktivität L und eine Spannungsquelle der Spannung U0 in Reihe geschaltet sind, benötigt der Strom nach dem Einschalten eine gewisse Zeit, um die maximale Stärke zu erreichen. Fließt anfangs kein Strom, so beträgt die Stromstärke zum Zeitpunkt t I U0 U (1 e Rt / L ) 0 (1 e t / ) , R R wobei man = L/R die Zeitkonstante der Schaltung nennt. 3.3.28 In einer Spule, die vom Strom I durchflossen wir, ist die Energie 1 Wm LI 2 2 gespeichert. Die Energie steckt im Magnetfeld, das die Spule erzeugt. Im allgemeinen ist die Energiedichte des Magnetfeldes durch B2 wm 2 0 gegeben. 3.3.29 Alle Materialien lassen sich gemäß ihres Verhaltens in Magnetfeldern in die drei Hauptkategorien para-, ferround diamagnetisch einteilen; daneben gibt es noch die Substanzklassen der ferri- und antiferromagnetischen Materialien. 3.3.30 Ein magnetisiertes Material wird durch seinen Magnetisierungsvektor M beschrieben, der definiert ist als das resultierende magnetische Dipolmoment pro Volumeneinheit des Materials: M dm m . dV Das Magnetfeld eines homogen magnetisierten Zylinders entspricht dem Feld, das der Zylinder erzeugen würde, wenn auf seiner Oberfläche ein Strom I pro Längeneinheit flösse, der die Magnetisierung M erzeugt. Dieser Oberflächenstrom wird Ampèrescher Strom genannt. 3.3.31 Betrachtet sei ein langer Zylinder aus magnetischem Material, der in einer zylindrischen Spule mit der Windungszahldichte n (Windungen pro Längeneinheit) steckt, durch die ein Strom I fließt. Aufgrund des Stromes in den Windungen und des magnetisierten Materials ergibt sich das resultierende Magnetfeld innerhalb der Spule (weit genug von ihren Enden entfernt) zu B = B0 + µ0M = µ0 (H + M), wobei für das angelegte Feld gilt: B0 = µ0H = µ0nI. Für para- und ferromagnetische Materialien zeigen die Magnetisierung M und die Feldstärke H des äußeren Magnetfeldes in die gleiche Richtung; für diamagnetische Stoffe sind M und H entgegengesetzt. 3.3.32 In para- und diamagnetischen Materialien ist die Magnetisierung M proportional zum magnetisierenden Feld H: M = m H, wobei m die magnetische Suszeptibilität ist. Für paramagnetische Materialien nimmt m kleine, positive Werte an und ist abhängig von der Temperatur. Diamagnetische Materialien (außer Supraleiter) weisen ebenfalls kleine, negative Werte auf, allerdings ist m hier unabhängig von der Temperatur. Für Supraleiter gilt m = -1. Bei ferromagnetischen Materialien hängt die Magnetisierung nicht nur vom äußeren Feld H, sondern auch von der Vorgeschichte des Materials ab. 3.3.33 Das magnetische Moment eines Teilchens der Ladung q und der Masse m ist mit seinem Drehimpuls L verknüpft durch mm q q L L , 2m 2m wobei h 1,05 10 34 J s 2 eine praktische Einheit ist, um den Drehimpuls von Elektronen und Atomen auszudrücken. Die fundamentale Konstante h = 6,63 10-34 J s wird Plancksches Wirkungsquantum genannt. Magnetische Momente von Elektronen und Atomen drückt man bequemerweise in Einheiten des Bohrschen Magnetons µB aus: B e 9,27 10 24 A m 2 9,27 10 24 J / T . 2 me Das magnetische Moment eines Elektrons ist ein Bohrsches Magneton, das magnetische Moment eines Atoms liegt in der Größenordnung einiger Bohrscher Magnetonen. 3.3.34 Paramagnetische Materialien besitzen permanente magnetische Momente, deren Orientierungen ohne äußeres magnetisches Feld zufällig in alle Richtungen verteilt sind. In einem äußeren Magnetfeld werden einige Dipole ausgerichtet. Der Grad der Ausrichtung ist klein, ausgenommen im Fall sehr starker Magnetfelder und sehr geringer Temperatur. Bei Zimmertemperatur wird die zufällige Orientierung durch die thermische Bewegung aufrechterhalten. Bei schwachen Feldern ist die Magnetisierung proportional zum äußeren Feld, und es gilt das Curiesche Gesetz 1m B M m 0 M s , 3 k BT wobei Ms die Sättigungsmagnetisierung und kB die Boltzmann-Konstante ist. 3.3.35 Ferromagnetische Materialien weisen kleine Gebiete auf, Weißsche Bezirke genannt, in denen die magnetischen Momente bereits ausgerichtet sind. Im unmagnetisierten Zustand zeigen die magnetischen Momente benachbarter Weißscher Bezirke in unterschiedliche Richtungen, so daß sie sich im Mittel gegenseitig aufheben. Im magnetisierten Zustand sind diese Bereiche orientiert und erzeugen ein sehr starkes Magnetfeld zusätzlich zum äußeren Feld. Die Ausrichtung kann zum Teil bestehenbleiben, wenn das äußere Magnetfeld abgeschaltet wird – es entsteht ein Permanentmagnet. 3.3.36 Trägt man das Magnetfeld eines ferromagnetischen Materials gegen das magnetisierende Feld auf, so erhält man eine Hysteresekurve. Auf der sogenannten Neukurve zeigen M und H in dieselbe Richtung, und die magnetische Suszeptibilität m läßt sich in diesem Bereich für ferromagnetische Materialien in ähnlicher Weise definieren wie für para- und diamagnetische Materialien. In einer zylindrischen Spule gibt sich das Magnetfeld innerhalb eines ferromagnetischen Materials zu B = µ0 (H + M) = µ0 (H + mH) = µ0 (1 + m) H, oder B = µH, wobei µ = (1 + m) µ0 die Permeabilität des Materials ist. Die relative Permeabilität µr ist eine dimensionslose Größe, die als Verhältnis von Permeabilität zur magnetischen Feldkonstante definiert ist: r B 1 m . 0 B0 Für ferromagnetische Materialien ist der maximale Wert von µr sehr viel größer als eins. 3.3.37 In diamagnetischen Materialien besitzen alle Atome abgeschlossene Elektronenschalen, so daß sich alle atomaren magnetischen Momente gegenseitig aufheben. Durch ein äußeres Feld werden kleine magnetische Momente induziert, die dem äußeren Feld entgegen gerichtet sind. Dieser Effekt ist temperaturunabhängig. Supraleiter sind diamagnetisch und haben eine Suszeptibilität von –1. 3.4. Wechselstromkreise 3.4.1 Der Effektivwert eines Wechselstroms ist diejenige Stromstärke, die ein Gleichstrom haben müßte, um an einem ohmschen Widerstand die gleiche mittlere Leistung zu erbringen wie der Wechselstrom. Der Effektivwert des Stroms ist die quadratisch gemittelte Stromstärke I eff 1 2 I dt. T I2 Für sinusförmige Wechselströme der Form I = I0 cos t ist die effektive Stromstärke I eff I0 2 . Hierbei steht I0 für den Scheitelwert (das Maximum) des Stroms. Die mittlere Leistung, die in einem ohmschen Widerstand dissipiert wird, ist 1 2 P U 0 I 0 U eff I eff I eff R. 2 Dabei bedeutet U0 den Effektivwert der über dem Widerstand R abfallenden Spannung, Ueff = U0/2. 3.4.2 Bei einer Spule der Induktivität L sind Strom und über der Spule abfallende Spannung um 90 ° = /2 verschoben, die Spannung eilt dem Strom um 90 ° voraus. Ihre Effektivwerte sind verknüpft durch I eff U L ,eff XL , wobei XL der induktive Blindwiderstand ist: XL = L. Bei einem Kondensator der Kapazität C eilt der Strom der Spannung um 90 ° = /2 voraus. Es gilt: I UC , XC wobei XC der kapazitive Blindwiderstand ist: XC 1 . C Sowohl in einer Spule als auch in einem Kondensator wird im zeitlichen Mittel keine Leistung dissipiert. Blindwiderstände werden in Ohm angegeben. 3.4.3 Ein graphisches Hilfsmittel zur Ermittlung von Wechselspannungen und –strömen sowie ihren Phasenverschiebungen bietet das Zeigerdiagramm. Zur Darstellung des Stroms und der über den einzelnen Bauteilen der Schaltung (Widerstände, Spulen, Kondensatoren) abfallenden Spannung verwendet man analog zu Vektoren sog. Zeiger, die mit der Kreisfrequenz des Wechselstroms gegen den Uhrzeigersinn rotieren. – Der Strom wird durch einen Zeiger I dargestellt. Die Spannung über dem ohmschen Widerstand (UR) ist mit dem Strom I in Phase. Dementsprechend zeigen die Zeiger UR und I in die gleiche Richtung, während der Zeiger UL, der die Spannung über der Spule repräsentiert, im Winkel von 90 ° gegen den Uhrzeigersinn eingezeichnet wird (denn die Spannung eilt dem Strom um 90 ° voraus). Der Zeiger UC für die über dem Kondensator abfallende Spannung bildet ebenfalls mit I einen rechten Winkel, ist aber ihm Uhrzeigersinn gegenüber dem Zeiger I gedreht (die am Kondensator abfallende Spannung läuft dem Strom nach). Die Länge der Zeiger repräsentiert die jeweiligen Scheitelwerte; die xKomponente der Zeiger gibt die Momentanwerte der Spannungen bzw. des Stroms zu dem betrachteten Zeitpunkt an. 3.4.4 Entlädt sich ein Kondensator über einer Spule, so oszillieren Ladung und Spannung des Kondensators mit der Kreisfrequenz 0 2v0 1 LC . Die Frequenz v0 ist die Eigenfrequenz dieses LCSchwingkreises. Der Strom hat die gleiche Frequenz, eilt der Spannung um /2 = 90 ° voraus. Die elektrostatische potentielle Energie des Kondensators wird in die Energie des Magnetfeldes der Spule umgewandelt und umgekehrt, die Gesamtenergie bleibt konstant. Ein solcher LC-Kreis kann als ein ungedämpfter harmonischer Oszillator beschrieben werden. Ist die Schaltung nicht widerstandslos, so werden die Schwingungen gedämpft, da im Widerstand Energie in Joulsche Wärme umgewandelt wird. 3.4.5 Ist ein LCR-Reihenschwingkreis mit den Klemmen einer Wechselspannungsquelle verbunden, wird dem System eine Schwingung mit der Kreisfrequenz der erregenden Wechselspannung U = U0 cost aufgezwungen. Der Strom I U0 cos(t ) Z ist gegenüber der erregenden phasenverschoben. Für gilt: tan Spannung um XL XC . R Die Größe Z ist die Impedanz des Kreises, Z R 2 (X L X C ) 2 . Die mittlere Leistung, die ein solcher Schwingkreis in Joulesche Wärmeleistung umwandelt, ist frequenzabhängig. Sie beträgt P = Ueff Ieff cos , wobei cos als Leistungsfaktor bezeichnet wird. Ist die Erregerfrequenz gleich der Resonanzfrequenz, kommt es zur Resonanz. Die Resonanzfrequenz liegt dicht bei der Eigenfrequenz v0 1 2 LC . Bei der Resonanzfrequenz ist die Phasenverschiebung gleich null, der Leistungsfaktor gleich eins, induktiver und kapazitiver Widerstand gleich groß und daher die Impedanz Z gleich dem ohmschen Widerstand R. 3.4.6 Die Breite der Resonanz wird durch den Gütefaktor Q charakterisiert. Q ist definiert durch Q 0 L R . Ist die Resonanz hinreichend schmal, so kann man näherungsweise schreiben: Q 0 v0 , v wobei v als Bandbreite bezeichnet wird. 3.4.7 Ein Transformator dient der nahezu verlustfreien Umsetzung von Wechselströmen vorgegebener Spannung auf jeden gewünschten Spannungswert. Hat die Primärentwicklung N1 Windungen und die Sekundärwicklung N2 Windungen, so genügen Primärund Sekundärspannung der Beziehung U2 N2 U1. N1 3.4.8 Eine Diode läßt elektrischen Strom nur in einer Richtung passieren. Man kann Dioden verwenden, um aus Wechselspannung Gleichspannung zu erzeugen. Dies wird als Gleichrichtung bezeichnet. 3.4.9 In einer Triode hat eine geringe Änderung der Gitterspannung große Änderungen des Anodenstroms zur Folge. Man kann dies ausnutzen, um elektrische Signale zu verstärken. 3.5 Maxwellsche Gleichungen 3.5.1 Das Ampèresche Gesetz läßt sich auf unterbrochene Ströme verallgemeinern, indem der Leitungsstrom I durch I + Iv ersetzt wird. Darin ist Iv der Maxwellsche Verschiebungsstrom, der durch Iv 0 d e dt definiert ist. 3.5.2 Die Gesetze der Elektrizität und des Magnetismus lassen sich in den Maxwellschen Gleichungen zusammenfassen. In ihrer integralen Form lauten sie: En dA S B n 1 0 Qinnen dA 0 Gaußsches Gesetz Gaußsches Gesetz S [für Magnetismus (magnetischer Monopol existiert nicht)] E d C d Bn dA Faradaysches Induktionsgesetz dt S B d 0 I 0 0 C d En dA dt S Ampèresches Gesetz. 3.5.3 Die Maxwellschen Gleichungen können alternativ dazu auch in einer differentiellen Form geschrieben werden: E B 0 xE B t x B 0 j 0 0 3.5.4 E . t Aus den Maxwellschen Gleichungen für den quellenfreien Raum lassen sich Wellengleichungen der Form 2E 1 2E x 2 c 2 t 2 ableiten, wobei c 1 0 0 die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist. Aus der Tatsache, daß diese Geschwindigkeit mit der Lichtgeschwindigkeit übereinstimmt, schloß Maxwell folgerichtig, daß das Licht eine elektromagnetische Welle ist. 3.5.5 In einer elektromagnetischen Welle stehen die E- und B-Feldvektoren sowohl aufeinander als auch auf der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle senkrecht. Es gilt: E = cB. 3.5.6 Elektromagnetische Wellen tragen Energie und Impuls. Die mittlere Energiedichte einer elektromagnetischen Welle ist 1 E0 B0 Eeff Beff w . 2 0c 0c Die Intensität der Welle ist gegeben durch 1 E0 B0 1 E02 1 cB02 I w c S , 2 0 2 0c 2 0 wobei S der Poynting-Vektor ist; er gibt die Richtung des Energieflusses an: S 3.5.7 ExB 0 . Der Impuls einer elektromagnetischen Welle ist gegeben durch ihre Energie W, dividiert durch die Lichtgeschwindigkeit c: p W . c Der Strahlungsdruck einer elektromagnetischen Welle ist definiert als: I Ps . c Trifft eine Welle senkrecht auf eine Oberfläche und wird vollständig absorbiert, entspricht der auf die Oberfläche ausgeübte Druck dem Strahlungsdruck der Welle. Trifft die Welle senkrecht auf und wird reflektiert, so ist der Druck zweimal so groß wie der Strahlungsdruck. 3.5.8 Elektromagnetische Wellen treten in Form von Radiowellen, Mikrowellen, Infrarotstrahlung, Licht, Röntgenstrahlung oder auch Gammastrahlung auf. Die verschiedenen Strahlungsarten unterscheiden sich nur durch ihre Frequenz bzw. ihre Wellenlänge, die über v c zusammenhängen. 3.5.9 Elektromagnetische Wellen werden durch beschleunigte Ladungen erzeugt. Oszillierende Ladungen in einer elektrischen Dipolantenne strahlen elektromagnetische Wellen ab, deren Intensität senkrecht zur Antenne maximal und entlang der Antennenachse null ist. 3.6 Optik 3.6.1 Licht ist eine elektromagnetische Welle, die sich im Vakuum mit der Geschwindigkeit c = 299 792 458 m/s ausbreitet. In Materie ist die Lichtgeschwindigkeit kleiner als im Vakuum. 3.6.2 Trifft Licht auf die Grenzfläche zweier Medien, in denen die Lichtgeschwindigkeiten verschieden sind, dann tritt ein Teil des Lichts in das andere Medium ein und wird dabei gebrochen, und der andere Teil wird reflektiert. Das Reflexionsgesetz besagt, daß Einfallswinkel 1und Reflexionswinkel r gleich sind: r = 1. Der Brechungswinkel 2 ist abhängig vom Einfallswinkel 1 und von den Brechzahlen n1 und n2 der beiden Medien. Das Brechungsgesetz von Snellius lautet n1 sin 1 = n2 sin 2. Die Brechzahl eines Mediums ist gleich dem Quotienten aus der Vakuumlichtgeschwindigkeit c und der Lichtgeschwindigkeit cm in diesem Medium: n 3.6.3 c . cm Wenn sich Licht in einem Medium mit der Brechzahl n1 ausbreitet und auf die Grenzfläche zu einem zweiten Medium mit kleinerer Brechzahl n2 < n1 trifft, so wird der Lichtstrahl total reflektiert, wenn der Einfallswinkel 1 größer ist als der kritische Winkel k der Totalreflexion. Dieser ist gegeben durch sin k n2 . n1 3.6.4 Als Dispersion bezeichnet man das Phänomen, daß die Brechzahl eines Mediums von der Wellenlänge des Lichts abhängt. Durch die Dispersion wird weißes Licht, das durch ein Prisma hindurchgeht, spektral zerlegt. In ähnlicher Weise erzeugen Reflexion und Brechung des Sonnenlichts in Wassertröpfchen einen Regenbogen. 3.6.5 Licht ist wie alle elektromagnetischen Wellen eine Transversalwelle und kann daher polarisiert werden. Bilden die Transmissionsachsen zweier Polarisatoren einen Winkel , so wird das vom ersten Polarisator durchgelassene Licht durch den zweiten Polarisator um den Faktor cos2 geschwächt. Dies ist das Gesetz von Malus. Mit der Intensität I0 des Lichts zwischen den beiden Polarisatoren ist die Intensität nach dem Durchgang durch den zweiten Polarisator gegeben durch I = I0 cos2 . 3.6.6 Es gibt vier Effekte, mit denen man aus unpolarisiertem Licht polarisiertes Licht erzeugen kann: Absorption, Streuung, Reflexion und Doppelbrechung. 3.6.7 Bei der Abbildung eines Gegenstands durch einen sphärischen Spiegel oder eine Linse sind Gegenstandsweite g, Bildweite b und Brennweite f folgendermaßen miteinander verknüpft: 1 1 1 . g b f Die Brennweite f ist die Bildweite für einen unendlich weit entfernten Gegenstand (g = ). Bei einem sphärischen Spiegel ist die Brennweite gleich dem halben Krümmungsradius. Die Brennweite f einer dünnen Linse, die beiderseits von Luft umgeben ist, ist mit der Brechzahl n des Linsenmaterials und den Krümmungsradien r1 und r2 ihrer kugelförmigen brechenden Flächen verknüpft durch 1 1 1 (n 1) . f r1 r2 In den beiden vorstehenden Gleichungen sind die Größen g, b, f, r1 und r2 positiv anzusetzen, wenn der Gegenstand, das Bild bzw. der Krümmungsmittelpunkt auf der "reellen Seite" liegt. Diese Seite ist beim Spiegel die Einfallsseite, aber bei der Linse für Gegenstände die Einfallsseite und für Bildung und Krümmungsmittelpunkte die Transmissionsseite. Ist b positiv, dann ist das Bild reell, so daß tatsächlich Lichtstrahlen vom jeweiligen Bildpunkt ausgehen. Ein reelles Bild läßt sich auf einem Schirm betrachten oder photographisch aufnehmen. Ist b negativ, dann ist das Bild virtuell, so daß kein Licht vom Bildpunkt ausgeht. In diesem Fall kann man das Bild weder auf einem Schirm betrachten noch in der Bildebene photographieren. 3.6.8 Der Abbildungsmaßstab (die Lateralvergrößerung) ist definiert als V B b . G g Darin ist G die Gegenstandsgröße und B die Bildgröße. Eine negative Vergrößerung bedeutet, daß das Bild umgekehrt ist (gegenüber der Richtung des Gegenstands). 3.6.9 Bei einem ebenen Spiegel sind r und f unendlich, so daß b = -g ist. Das Bild ist also virtuell, aufrecht und von derselben Größe wie der Gegenstand. 3.6.10 Bildpunkte, die von sphärischen Spiegeln oder von Linsen erzeugt werden, lassen sich nach einem einfachen Verfahren konstruieren: Es werden mindestens zwei Hauptstrahlen gezeichnet, die vom betreffenden Gegenstandspunkt ausgehen und sich im zugehörigen Bildpunkt schneiden oder von diesem auszugehen scheinen. Bei sphärischen Spiegeln gibt es vier Hauptstrahlen: den achsenparallelen Strahl (der nach der Reflexion durch den Brennpunkt verläuft), den Brennpunktsstrahl (der achsenparallel reflektiert wird), den in sich selbst reflektierten radialen Strahl (durch den Krümmungsmittelpunkt des Spiegels) und den zentralen Strahl, der auf den Scheitelpunkt des Spiegels gerichtet ist und im gleichen Winkel zur Achse reflektiert wird. Bei Linsen gibt es drei Hauptstrahlen: den achsenparallelen Strahl (der nach der Brechung durch den Brennpunkt verläuft), den Brennpunktsstrahl (der achsenparallel gebrochen wird) und den zentralen Strahl (der durch den Mittelpunkt der Linse geht und nicht gebrochen wird). 3.6.11 Eine positive Linse oder Sammellinse ist in der Mitte dicker als am Rand. (Diese Aussage gilt nur, wenn die Brechzahl über die ganze Linse hinweg konstant ist und das umgebende Medium eine kleinere Brechzahl als das Linsenmaterial hat.) Fällt paralleles Licht auf eine Sammellinse, dann wird es auf den zweiten Brennpunkt fokussiert, der sich auf der Transmissionsseite der Linse befindet. Eine negative Linse oder Zerstreuungslinse ist am Rand dicker als in der Mitte. (Auch diese Aussage ist nur unter den obengenannten Voraussetzungen gültig.) Fällt paralleles Licht auf eine Zerstreuungslinse, dann scheint es vom zweiten Brennpunkt auszugehen, der sich auf der Einfallsseite der Linse befindet. 3.6.12 Die Brechkraft D einer Linse ist gleich der reziproken Brennweite D = 1/f. Die Einheit der Brechkraft D ist die Dioptrie (dpt). Es ist 1 dpt = 1 m-1. Die Brechkräfte von hintereinander auf derselben Achse angeordneten Linsen addieren sich. 3.6.13 Die Bildweite b bei der Brechung an einer einzigen sphärischen Oberfläche mit dem Radius r ist mit der Gegenstandsweite g folgendermaßen verknüpft: n1 n2 n2 n1 . g b r Darin ist n1 die Brechzahl des Mediums auf der Einfallsseite und n2 die Brechzahl des Mediums auf der Transmissionsseite. Bei dieser Brechung ist der Abbildungsmaßstab V n1b . n2 g 3.6.14 Ist eine Linse so dick, daß die einfache Konstruktion mit den in der Linse einmal gebrochenen Hauptstrahlen nicht zulässig ist, dann muß man mit zwei Hauptebenen arbeiten, an denen die Brechung der Hauptstrahlen formal vorgenommen wird. 3.6.15 Es gibt bei Linsen und Spiegeln prinzipielle Abbildungsfehler, die nicht auf Herstellungs- oder Materialfehler zurückzuführen sind, sondern die allein davon herrühren, daß die Reflexions- und Brechungsgesetze, die eigentlich nur für ebene Flächen gelten, auf sphärische Flächen angewendet wurden. Dieses Verfahren liefert nur bei kleinen Winkeln und achsennahen Strahlen brauchbare Ergebnisse. Bei der sphärischen Aberration werden achsenferne Strahlen näher an der Linse fokussiert, als es der mit den einfachen Abbildungsgleichungen berechneten Brennweite entspricht. Dieser Abbildungsfehler kann durch Ausblenden achsenferner Strahlen vermindert werden. Dabei wird allerdings auch die Helligkeit des Bildes herabgesetzt. Parabolspiegel zeigen keine sphärische Aberration. Die chromatische Aberration tritt nur bei Linsen, nicht aber bei Spiegeln auf. Sie entsteht durch die Dispersion, d. h. die Abhängigkeit der Brechzahl von der Wellenlänge, und kann vermindert werden, indem Linsen aus Materialien mit verschieden starker Dispersion kombiniert werden. Unter Astigmatismus schiefer Bündel versteht man den Effekt, daß parallele Strahlen, die unter größeren Winkeln zur Achse auf eine Linse fallen, nicht auf eine Ebene, sondern auf eine gekrümmte Fläche fokussiert werden. Dieser Abbildungsfehler kann nur durch Ausblenden vermindert werden. 3.6.16 Die Hornhaut und die Linse des Auges fokussieren das Licht auf die Netzhaut. Dort befinden sich spezielle Sinneszellen (die Stäbchen und die Zäpfchen), die die Licht- und Farbreize aufnehmen und über den Sehnerv an das Gehirn weiterleiten. Wenn der Ziliarmuskel, der die Krümmung der Linse steuert, entspannt ist, beträgt die Brennweite des Systems Hornhaut – Linse etwa 2,5 cm; das ist der Abstand zwischen Linse und Netzhaut. Bei dieser Einstellung werden weit entfernte Gegenstände scharf gesehen. Wird ein Gegenstand näher an das Auge herangeführt, so erhöht der Ziliarmuskel die Linsenkrümmung, so daß die Brennweite kleiner wird und wiederum ein scharfes Bild auf der Netzhaut entsteht. Der dem Auge am nächsten gelegene Punkt, dessen Bild die Linse noch auf die Netzhaut fokussieren kann, wird Nahpunkt genannt. Sein Abstand vom Auge, die deutliche Sehweite s0, beträgt normalerweise rund 25 cm, mit individuellen Abweichungen. Sie wird wegen der abnehmenden Elastizität der Augenlinse mit dem Alter länger und kann einige Meter betragen. Die scheinbare Größe, in der ein Gegenstand wahrgenommen wird, ist gegeben durch die Größe seines Bildes auf der Netzhaut. Dieses ist um so größer, je näher sich der Gegenstand vor dem Auge befindet. 3.6.17 Eine Lupe ist eine Sammellinse, deren Brennweite kleiner ist als der Abstand des Nahpunkts vom Auge. Die Vergrößerung (oder Winkelvergrößerung) vL der Lupe ist gegeben als Quotient aus Sehwinkel mit Lupe und Sehwinkel 0 im Abstand des Nahpunkts ohne Lupe: vL . 0 Dieser Quotient ist gleich dem Verhältnis des Nahpunktabstands s0 zur Brennweite f der Linse, so daß man schreiben kann: vL s0 . f 3.6.18 Eine Kamera besteht im Prinzip aus Objektiv (Sammellinse), variabler Blendenöffnung, Verschluß und einem lichtdichten Behälter, an dessen Rückwand der Film angebracht bzw. geführt wird. Wenn die Brennweite des Objektivs nicht veränderlich ist, geschieht das Scharfstellen durch Verschieben des Objektivs relativ zur Filmebene. Die Blendenzahl (oder einfach Blende) ist das Verhältnis der Objektivbrennweite f zum nutzbaren Durchmesser d der Objektivöffnung: f Blendenzahl = . d 3.6.19 Ein Mikroskop dient zum Betrachten sehr kleiner Gegenstände in geringem Abstand. In seiner einfachsten Ausführung besteht es aus zwei Sammellinsen, die als Objektiv bzw. als Okular wirken. Der zu betrachtende Gegenstand wird etwas außerhalb der Brennweite des Objektivs plaziert. Dadurch entsteht ein vergrößertes, reelles und umgekehrtes Bild des Gegenstandes, und zwar am Brennpunkt des Okulars. Das Okular wirkt wie eine Lupe, durch die das vom objektiv entworfene Bild betrachtet wird. Die Vergrößerung vM des Mikroskops ist das Produkt aus dem Abbildungsmaßstab VOb des Objektivs und der Winkelvergrößerung vOk des Okulars: vM VOb vOk t f Ob s0 . f Ok Darin ist t die Tubuslänge, also der Abstand zwischen zweitem Brennpunkt des Objektivs und erstem Brennpunkt des Okulars. 3.6.20 Ein Teleskop dient zum Betrachten weit entfernter, meist großer Gegenstände. Das Objektiv erzeugt ein reelles, umgekehrtes Bild, das sehr viel kleiner ist als der Gegenstand, jedoch sehr viel näher beim Betrachter liegt. Das Okular wirkt wie eine Lupe, durch die dieses Bild betrachtet wird. Bei einem Spiegelteleskop dient statt einer Sammellinse ein Konkavspiegel als Objektiv. Die Vergrößerung des Teleskops ist das negative Verhältnis der Objektivbrennweite fOb zur Okularbrennweite fOk: vT f Ob . f Ok Ein wichtiges Merkmal astronomischer Teleskope ist ihre Lichtstärke, die proportional zur nutzbaren Objektivfläche ist. 3.6.21 Zwei Lichtstrahlen gleicher Wellenlänge interferieren konstruktiv, wenn ihre Phasendifferenz null oder ein ganzzahliges Vielfaches von 360° (bzw. Gangunterschied ) beträgt. Sie interferieren destruktiv, wenn ihre Phasendifferenz ein ungeradzahliges Vielfaches von 180° (bzw. Gangunterschied /2) beträgt. Eine Phasendifferenz kann durch einen Weg- oder Gangunterschied r zustande kommen. Dabei gilt folgender Zusammenhang: r 2 r 360. Ein Phasensprung um 180° tritt bei der Reflexion an der Grenzfläche zu einem optische dichteren Medium auf, beispielsweise wenn sich das Licht in Luft ausbreitet und an Glas reflektiert wird. 3.6.22 Die Interferenz von Lichtwellen, die an der vorderen und an der hinteren Grenzfläche einer dünnen Schicht aus einem Medium mit abweichender optischer Dichte reflektiert werden, führt zu farbigen Zonen (Streifen oder Ringen), die beispielsweise an Seifenblasen oder an Ölfilmen auf Wasser zu beobachten sind. Die Phasendifferenz ergibt sich durch den Wegunterschied (etwa gleich der doppelten Schichtdicke) des an der Rückseite der Schicht reflektierten Strahls gegenüber dem an der ersten Grenzfläche reflektierten Strahl. Zum gesamten Gangunterschied tragen auch die Wellenlängenunterschiede in den verschiedenen Medien sowie die bei den Reflexionen gegebenenfalls auftretenden Phasensprünge bei. 3.6.23 Im Michelson-Interferometer wird die Interferenz ausgenutzt, um sehr kleine Abstände (in der Größenordnung der Lichtwellenlänge), kleine Unterschiede von Brechzahlen (etwa bei Gasen) oder auch sehr kleine Winkel zu messen. 3.6.24 Gehen Lichtstrahlen von zwei engen Spalten aus, die den Abstand d voneinander haben, so ist bei einem Winkel zur Normalen auf der Spaltebene ihr Gangunterschied gleich d sin . Beträgt der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge, dann resultiert auf einem weit entfernten Schirm konstruktive Interferenz, und die Intensität ist hier maximal. Wenn der Gangunterschied gleich einem ungeradzahligen Vielfachen von /2 ist, so tritt destruktive Interferenz auf, und die Intensität am Schirm ist minimal. Es gilt d sin = m m = 0, 1, 2, ... Maxima 1 m d sin = 2 m = 0, 1, 2, ... Minima. Wenn die Intensität der Welle von einem einzelnen Spalt am Schirm gleich I0 ist, so ist sie bei zwei Spalten an Punkten konstruktiver Interferenz gleich 4I0 und an Punkten destruktiver Interferenz null. Wenn sehr viele äquidistante Spalte verwendet werden, liegen die Hauptmaxima bei den gleichen Winkeln wie bei zwei Spalten; jedoch ist ihre Intensität sehr viel größer, und sie sind schmaler. Bei N Spalten ergibt sich die Intensität der Hauptmaxima zu N2I0, und zwischen benachbarten Hauptmaxima liegen jeweils N – 2 Nebenmaxima. 3.6.25 Beugung tritt immer dann auf, wenn ein Teil einer Wellenfront durch ein Hindernis oder eine Öffnung begrenzt wird. Die Lichtintensität an irgendeinem Raumpunkt läßt sich mit Hilfe des Huygensschen Prinzips bestimmen, indem jeder Punkt einer Wellenfront als Punktquelle einer Elementarwelle angesehen und das dabei resultierende Interferenzmuster berechnet wird. Fraunhofer-Beugungsmuster werden bei großen Abständen vom Hindernis oder von der Öffnung beobachtet, so daß die auf den Schirm treffenden Strahlen näherungsweise parallel verlaufen. Sie können auch durch eine Sammellinse fokussiert und direkt betrachtet werden. Beugungseffekte sind oft nicht sichtbar, weil die Wellenlänge zu klein gegen die Abmessung des Gegenstands oder der Öffnung ist. Zudem sind die meisten Lichtquellen räumlich zu ausgedehnt und emittieren auch kein kohärentes Licht. Fresnel-Beugungsmuster lassen sich in der Nähe des Hindernisses oder der Öffnung beobachten. 3.6.26 Trifft Licht auf einen Spalt der Breite a, so weist das auf einem weit entfernten Schirm entstehende Intensitätsmuster ein breites zentrales Beugungsmaximum auf. Es wird begrenzt durch die erste Nullstelle der Intensität; diese liegt bei einem Winkel , für den gilt: a sin = . Die Breite des zentralen Maximums ist also umgekehrt proportional zur Spaltbreite. Weitere Nullstellen der Intensität sind bei der Beugung an einem einzelnen Spalt gegeben durch sin = m a m = 1, 2, 3, ... Auf beiden Seiten des zentralen Maximums existieren Nebenmaxima, allerdings mit wesentlich geringerer Intensität. 3.6.27 Das Muster der Fraunhoferschen Interferenz und Beugung an einem Doppelspalt entspricht dem Interferenzmuster zweier einzelner enger Spalte, das mit dem Beugungsmuster eines Einfachspalts moduliert ist. 3.6.28 Wenn Licht aus zwei eng beieinanderstehenden Punktquellen durch eine Öffnung tritt, so überlagern sich die Beugungsmuster der beiden Quellen. Wenn der Überlappungsbereich zu groß ist, sind die beiden Quellen nicht getrennt wahrzunehmen. Sie lassen sich nur dann als getrennte Quellen erkennen oder abbilden, wenn der Abstand der Beugungsbilder voneinander mindestens so groß ist, daß das zentrale Beugungsmaximum der einen Quelle in das erste Beugungsminimum der anderen fällt. Dies ist das Rayleighsche Kriterium der Auflösung. Bei einer kreisförmigen Öffnung mit dem Durchmesser d ist der kritische Winkel k, unter dem zwei Quellen noch zu trennen sind, gegeben durch k = 1,22 . d Darin ist die Wellenlänge des Lichts. 3.6.29 Ein Beugungsgitter besteht aus einer großen Zahl eng beieinanderliegender, äquidistanter Linien oder Spalte; es dient unter anderem zur Wellenlängenmessung. Die Interferenzmaxima beim Beugungsgitter liegen bei Winkeln , für die gilt: g sin = m m = 0, 1, 2, ... Hierin ist g die Gitterkonstante (der Abstand der Spalte oder Linien voneinander), und m ist die Ordnung. Das Auflösungsvermögen eines Gitters ist A mN. Darin ist N die Anzahl aller beleuchteten Spalte oder Linien.
