Document

3. POTENZ
1. Potenzen mit positiven ganzen Exponenten:
Definition:
a1= a; a  R
(Die erste Potenz einer jeden Zahl ist gleich der Zahl selbst.)
an=a˙ a˙ a˙ …˙a
(Jede Zahl, deren Exponent eine ganze Zahl größer als 1 ist,
wird so oft als Faktor genommen, wie das der Exponent
angibt.)
an heißt Potenz
a ist die Basis
n ist der Exponent
Potenzgesetze:
(1)
am˙a n = am+n
m  N+; n  N+; a  R
Beweis:
Wenn man zwei Potenzen von der Form am und
a n mitenander multipliziert, so sind im Produkt
am˙a n alle Faktoren gleich, und es gibt insgesamt
m+n Faktoren.
(2)
am
 a mn
n
a
m  N+; n  N+; a  R
(3)
a  =am˙˙n
m  N+; n  N+; a  R
(4)
(a˙b)n= an ˙ bn
m  N+; n  N+; a  R
(5)
an
a

 
bn
b
m n
n
m  N+; n  N+; a  R
2. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten:
Wir möchten den Potenzbegriff nicht nur auf positive ganze Exponenten beschränken. Dazu
definieren wir Potenzen mit dem Exponenten 0
und mit negativen ganzen Zahlen als
Exponenten.
Definition:
a0= 1; a  R\ 0
(Die nullte Potenz einer jeden von 0 verschiedenen reellen Zahl
ist gleich 1.)
1
a-n=
1
; a  0; n  N+
an
(Die Potenz einer jeden von 0 veschiedenen Zahl einer negativen
ganzen Zahl als Exponent ist gleich dem Kehrwert der Potenz
derselben Basis mit dem entgegengesetzten Exponenten. )
Es läßt sich beweisen, daß die Potenzgesetze gelten.
3. Potenzen mit gebrochenen Exponenten:
Definition:
Die
m
-te Potenz einer positiven Zahl a ist die n-te Wurzel aus der m-ten Potenz von a.
n
m
Also:
a n  n am ;
0<a;
m  Z;
n  (N+\ {1} )
Es läßt sich beweisen, daß die Potenzgesetze gelten.
Bemerkung:
Man kann auch Potenzen mit irrationalen Exponenten definieren.
4. Der Begriff des Logarithmus:
Im Laufe der Entwicklung der Mathematik wurde für den Potenzexponenten einer Zahl in
bezug auf eine gegebene Basis die Bezeichnung „Logarithmus” eingeführt.
Definition: Unter dem Logarithmus einer positiven Zahl b zur Basis a versteht man den
Exponenten, mit dem a potenziert b ergibt.
Bezeichnung:
a loga b  b ;
wobei a>0;
a  1;
b>0
Lies: logab: Logaritmus von b zur Basis a
5. Die Logarithmengesetze:
Satz:
Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.
logabc= logab+logac,
wobei a>0 und a  1 und b>0 und c>0
Beweis:
(1) b  a
(2)
loga b
Gemäß der Definition des Logarithmus
c  a loga c
(3) bc  a
loga bc
Wir multiplizieren (1) und (2)
log b
bc= a a a log c = a loga bloga c
a
a loga bc  a loga bloga c
Aus (3)
bc  a loga bc
logabc= logab+logac (Wir haben den Satz bewiesen)
2
Satz:
Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz aus dem Logarithmus des
Dividenden und dem Logarithmus des Divisors.
b
loga = logab-logac,
c
wobei a>0 und a  1 und b>0 und c>0
Satz:
Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Potenzexponenten und dem
Logarithmus der Potenzbasis.
wobei a>0 und a  1 und b>0
logabk= k ˙ logab
Bemerkung:
Ein Wurzelausdruck mit positiven Radikanden läßt sich in eine Potenz mit gebrochenem
1
Exponenten umformen:
n
b  bn
Nach dieser Umformung kann man den Logarithmus der Wurzel als den Logarithmus der
Potenz berechnen.
1
loga n b  log a b n =
1
˙ logab
n
wobei a>0 und a  1 und b>0
6. Der Begriff der Quadratwurzel:
Definition:
Die Quadratwurzel aus einer nichtnegativen Zahl a ist eine solche nichtnegative Zahl, deren
Quadrat gleich a ist.
Die Identitäten des Quadratwurzelziehens:
A./ Man darf aus einem Produkt faktorenweise die Quadratwurzel ziehen. (und umgekehrt)
a b  a  b ,
a  0 und b  0
B./ Für die Quadratwurzel eines Bruches darf man der Quotienten aus der Quadratwurzel des
Zählers und der Quadratwurzel des Nenners schreiben. (und umgekehrt)
a

b
a
b
a  0 und b > 0
,
C./ Die Quadratwurzel einer Potenz läßt sich als die Potenz der Quadratwurzel der Basis
schreiben. (und umgekehrt)
an 
 a ,
n
a  0 und n  Z
3
7. Begriff der n-ten Wurzel:
Definition:
Der Wurzelexponent ist eine gerade Zahl: 2k (k  N  )
I.
Die 2k-te Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl a ist eine nichtnegative Zahl, deren 2k-te
Potenz gleich a ist.
Bsp.: 4 625  5 ,
da 5>0 und 54=625
Der Wurzelexponent ist eine ungerade Zahl: 2k+1 (k  N  )
II.
Die 2k+1-ste Wurzel aus einer Zahl a ist eine Zahl, deren 2k+1-ste Potenz gleich a ist.
Bsp.: 3 125  5 ,
3
 125  5 ,
da 53=125
da (-5)3= -125
Die Identitäten des Wurzelziehens:
A./ Man darf aus einem Produkt faktorenweise die n-te Wurzel ziehen. (und umgekehrt)
n
ab  n a  n b
B./ Für die n-te Wurzel eines Bruches darf man als Quotienten aus der n-ten Wurzel des
Zählers und der n-ten Wurzel des Nenners schreiben. (und umgekehrt)
n
a

b
n
a
n
b
C./ Die n-te Wurzel einer Potenz läßt sich als die Potenz der
n-ten Wurzel der Basis
schreiben. (und umgekehrt)
n
ak 
 a
n
k
8. VERWENDUNG VON POTENZEN
A./ Mit Hilfe der Potenzen mit ganzzahligen Exponenten lassen sich sowohl sehr große als
auch sehr kleine Zahlen in einfacher Form schreiben.

Die Normalform einer positiven Zahl:
x=b ˙10k,
Bsp.: 5673=5,673 ˙103 oder die Avogadro-Zahl =
wobei 1  b <10 und k  Z
6,022·1023
(Ein Mol einer
Substanz beinhaltet NA = 6,022·1023 Atome oder Moleküle dieser Substanz. )

Wir können mit Zehnerpotenzen rechnen:
Bsp.: 2,8˙103+1,3˙103 =(2,8+1,3)˙103
4
B./ Zahlensysteme:
Dezimalsystem:
Basis: 10
Ziffern: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Bsp.: 85341910 = 8 ˙ 105 +5 ˙ 104 +3 ˙ 103 +4 ˙ 102 +1 ˙ 101 +9 ˙ 100
Dualsystem:
Basis: 2
Ziffern: 0,1
Bsp.: 110012= 1 ˙ 24+ 1 ˙ 23+ 0 ˙ 22+ 0 ˙ 21+ 1 ˙ 20
Készítette:
Dr. Johan Erzsébet (Schutzbach Mártonné)
2004
5