Staatsexamensklausur für das Lehramt L 1 (Wahlfach)/L 2/L 5

Staatsexamensklausur für die Lehrämter L 1 (Wahlfach) / L 2 / L 5
Frühjahr 2005
Mathematik
Zugelassenes Hilfsmittel:
Einfacher nicht programmierbarer Taschenrechner
(ohne Lösemodule sowie sonstige Computeralgebrakomponenten und ohne Grafik)
Mathematischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Gewertet werden die drei besten Aufgaben.
1
Geometrie
a) Voraussetzungen (vgl. Zeichnung):
 Der Punkt C liegt auf der Strecke AB ,
wobei CA und CB.
 Die Dreiecke ACP und CBQ sind
gleichseitig.
 P und Q liegen beide in derselben
Halbebene von AB.
 E und K sind die Mittelpunkte der
Strecken AQ bzw. BP .
Q
P
A
Zeigen Sie:
(1) Es gilt: |AQ| = |BP|.
Hinweis: Betrachten Sie die Dreiecke ACQ und PCB.
K
E
C
B
(2) Die Dreiecke ACE und PCK sind zueinander kongruent.
(3) Dreieck ECK ist gleichseitig.
b) Gegeben ist das Dreieck ABC durch die Punkte A = (1 | 1), B = (9 | 1), C = (5 | 1 4 3 ).
(1) Zeichnen Sie das Dreieck in ein Koordinatensystem.
(2) Berechnen Sie die Längen der Dreiecksseiten.
(3) Stellen Sie die Geradengleichungen zweier Winkelhalbierenden des Dreiecks auf und
berechnen Sie die Koordinaten des Inkreismittelpunktes S des Dreiecks (mit
Begründung!).
1
2
Algebra
a) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in den Unbekannten x, y und z über R in
Abhängigkeit des Parameters b. Geben Sie jeweils die Lösungsmenge an:
x+ y–z=0
x – b·y
=0
x – b·y + z = 1
b) Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler t der Zahlen 2005 und 4333.
Bestimmen Sie ganze Zahlen a und b, so dass gilt:
t = 2005·a + 4333·b.
3
Analysis
a) Betrachten Sie die reellen Funktionen f und g definiert durch
1 2
f(x) =
·(x – 3)
2
1
g(x) =
·(3 – x2)
2



Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Flächenstückes, das zwischen den beiden
Kurven y = f(x) und y = g(x) liegt. (Sie können Wurzeln stehen lassen.)
Bestimmen Sie die Größen der Winkel, welche die beiden Kurven an ihren
Schnittpunkten „einschließen“.
Skizzieren Sie die Graphen der beiden Funktionen samt ihren Tangenten in den
Schnittpunkten.
b) Geben Sie die Menge { x 
1
1
1
: x   x  } als Vereinigung von Intervallen an.
x
x
x
c) In diesem Aufgabenteil ist (xn) = (xn)n1 die Zahlenfolge definiert durch
(1) die Anfangswerte x1 = 1, x2 = 3
(2) die Eigenschaft, dass jedes Folgenglied gleich dem arithmetischen Mittel seines
Vorgängers und seines Nachfolgers ist.




Geben Sie Rekursions- und die explizite Formel für die Folge (xn) an.
Berechnen Sie die Summe der ersten 500 Folgenglieder der Folge (xn).
Zeigen Sie, dass die Folge (yn)n1
2x n  3
definiert durch yn :=
x n1  5
konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert von (yn)n1.
Geben Sie eine Folge (un) explizit an, für welche die Folge (vn)n1
2un  3
definiert durch vn :=
un1  5
nicht konvergiert (mit Begründung).
2
4
Stochastik
Sybille behauptet, in die Zukunft ihrer Kunden (Besucher genannt) sehen zu können. In ihrer
großen Schale befinden sich – bunt durcheinandergewürfelt – 20 überdimensionale GummiBärchen. Jeweils fünf rote, grüne, weiße und goldene. Der Besucher darf mit verbundenen
Augen eine Handvoll (genau fünf Stück) Bärchen herausnehmen. Der Zufall entscheidet also,
welche Farbzusammenstellung er bekommt.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es für das Ergebnis dieser „Ziehung“, wenn den Besucher nur
interessiert, wie viele Bärchen von jeweils welcher Farbe in seinem Ziehungsergebnis
vorkommen? In wie viel Prozent dieser „Farbzusammenstellungen“ kommt die Farbe grün
genau dreimal vor?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher rein zufällig fünf Bärchen zieht, von
denen genau drei grün sind? (Wahrscheinlichkeitsangabe in Prozent!)
c) Der kleine Norbert kann nicht fünf Bärchen auf einmal aus der Schale nehmen. Er darf
ausnahmsweise die fünf Bärchen einzeln nacheinander ziehen und auf den Tisch legen.
Wie wahrscheinlich ist es, dass die ersten beiden Bärchen rot waren, wenn danach alle
weiteren Bärchen grün sind?
d) Im Laufe der Zeit kommen sehr viele Besucher zu Sybille. Da sie nach jedem Orakel stets
wieder die Ausgangssituation herstellt, haben die Besucher unabhängig voneinander
jeweils „dieselben Chancen“.
Wie viele Besucher müssen Sybilles Orakel mindestens befragen, damit es
wahrscheinlicher ist, dass die Farbzusammenstellung „3 grüne, 2 rote Bärchen“ mindestens
einmal auftritt, als dass diese Farbzusammenstellung nicht auftritt?
Paul ist noch nicht dran. Er hat in der Wartezeit damit begonnen, ein PASCAL’sches Dreieck auf
seinen Zeichenblock zu zeichnen.
e) Er stellt fest, dass in vielen Zeilen des PASCAL’schen Dreiecks jede Zahl genau zweimal
vorkommt. Geben Sie an, in welchen Zeilen dies der Fall ist. (Begründung!)
f) Finden Sie heraus, in welcher Zeile des PASCAL’schen Dreiecks die Zahl 252 nur genau
einmal auftritt und geben Sie die Summe der Zahlen in dieser Zeile an. Ist dies die einzige
Zeile mit dieser Eigenschaft?
3
Mathematikdidaktischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Beide Aufgaben sind zu bearbeiten.
5
Geometrieunterricht in den Klassen 5 bis 10
Beweisen lehren
a) Weshalb beweist man in der Mathematik und besonders in der Geometrie?
b) Erklären Sie knapp und für einen mathematischen Laien („den Mann auf der Straße“)
verständlich, was in der Mathematik ein Beweis ist und was nicht als Beweis gilt.
c) Zeigen Sie an einem selbst gewähltem Beispiel (aus der Schulmathematik oder aus dem
Alltag von Schülern), dass man die Richtigkeit einer Aussage, ihrer Umkehraussage und
deren Verneinungen jeweils gesondert überprüfen muss.
d) Geben Sie wichtige stoffübergreifende Lehrziele an, welche durch die Tätigkeit des
Beweisens im Mathematikunterricht erreicht werden sollen.
e) Geben Sie methodische Ratschläge, wie man im Mathematikunterricht
 Schüler zum Beweisen (Argumentieren, Begründen) motivieren kann,
 korrektes Schließen lehren sollte.
6
Algebraunterricht in den Klassen 5 bis 10
Positive und negative Zahlen
Die hessischen Lehrpläne Mathematik aller Schularten für die Jahrgangsstufen 5 bis 10
verlangen für einen erfolgreichen Abschluss der Jahrgangstufe 10 erworbene Qualifikationen
und Kenntnisse zu den Grundrechenarten mit rationalen (im Gymnasium auch mit reellen)
Zahlen.
Damit stellt sich die Frage: Welche (Grund-) Vorstellungen soll der Schüler zu positiven und
negativen Zahlen erwerben?
a) Was sollen im Mathematikunterricht Grundvorstellungen und didaktische Modelle zu einem
mathematischen Konzept leisten?
b) Beschreiben Sie stichwortartig didaktische Modelle zum Einführen
 positiver und negativer Zahlen,
 des Größenvergleichs positiver und negativer Zahlen,
 des Addierens und Subtrahierens positiver und negativer Zahlen.
Welche dieser didaktischen Modelle eignen sich für Grundvorstellungen?
c) Beschreiben Sie stichwortartig eine Einführung des Multiplizierens und Dividierens positiver
und negativer Zahlen.
d) Wie kann man dem Schüler klar machen, dass die Setzungen
Plus · Minus
= Minus
Minus · Plus
= Minus
Minus · Minus = Plus
vernünftig sind?
4