Arbeitsblatt Mathematik

EXCEL - Arbeitsblätter Technik
Mathematik
Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeine Benutzungshinweise ....................................................................
1
Voraussetzungen
2 Aufbau und Nutzung der Arbeitsblätter .........................................................
1
3 Beschreibung der Arbeitsblätter .....................................................................
2
3.1 Quadratische Gleichungen (quad.xls) ....................................................
2
Nullstellen, Scheitelpunkt, Wertetabelle, Grafik
3.2 Rechnen mit komplexen Zahlen (komplex.xls) ......................................
4
verschiedene Darstellungsformen, Grundrechenarten
3.3 Matrizenrechnung (matrizen.xls) ...........................................................
7
3.4 Gaußscher Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme .......... 10
(gauss.xls)
3.5 Fehlerrechnung (fehler.xls) .................................................................... 12
Mittelwert, Standardabweichung, Vertrauensbereich, Gaußkurve
3.6 Lagrangeinterpolation (lagrange.xls) ..................................................... 14
3.7 Newtonsches Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung .................. 16
von Nullstellen einer Gleichung (newton_1.xls)
3.8 Vereinfachtes Newtonsches Verfahren (newton_2.xls) ......................... 19
3.9 Numerische Integration nach der Simpsonschen Regel (simpson.xls) ... 22
3.10 Punktweise Lösung einer Differentialgleichung 2. Ordnung nach ......... 24
dem Runge-Kutta-Verfahren (runge.xls)
3.11 Digitale Fourier-Transformation zur Erstellung eines Power-................ 26
Spektrums (dft.xls)
4 Übung ............................................................................................................. 28
Erstellung eines eigenen Arbeitsblatts (Vektorrechnung)
1 Allgemeine Benutzungshinweise
Die Arbeitsblätter Technik sind Berechnungsformulare auf der Grundlage des Tabellenkalkulationsprogramms EXCEL von MICROSOFT. Da es keine eigenständigen Programme sind, muß der Nutzer das Programm EXCEL (Vers. 5.0) bereits auf seinem Rechner
installiert haben. Mit ÖFFNEN kann das Arbeitsblatt eingelesen werden (sowohl von der
Diskette als auch von der Festplatte, wenn die einzelnen Dateien in ein entsprechendes
Unterverzeichnis kopiert wurden); weitere Angaben siehe EXCEL-HANDBUCH.
Voraussetzungen:
Hardware:
IBM-kompatibler PC, 386, besser 486, 4 MB Hauptspeicher empfohlen
Software:
MICROSOFT-EXCEL für Windows, Version 5.0
Anwender:
Grundkenntnisse in Tabellenkalkulationsprogrammen, vorzugsweise EXCEL
sowie Grundlagenkenntnisse der Mathematik
Hinweis: Die Arbeitsblätter sind für eine Bildschirmauflösung von 800x600 Bildpunkte gedacht. Bei einer gröberen Auflösung (z.B. 640x480) muß der Bildschirminhalt u.U. mittels Cursor in die jeweilige Arbeitslage verschoben oder
entsprechend verkleinert werden.
2 Aufbau und Nutzung der Arbeitsblätter
Die Arbeitsblätter sollen die Berechnungs- und Entwurfsarbeit im maschinenbaulichen und
ingenieurtechnischen Bereich erleichtern. Sie stellen bei entsprechenden Eingaben schnell,
einfach und übersichtlich die Ergebnisse zahlenmäßig oder in Form von Ergebnisgrafiken
dar. Die Auswirkungen einzelner Einflußgrößen zur qualitativen Beurteilung kann somit
rasch erkannt werden. Die sinnvolle Nutzung der Arbeitsblätter setzt somit entsprechende
fachliche Grundlagenkenntnisse voraus; sie sind nicht als Ersatz für Lehrbücher gedacht.
Die Arbeitsblätter stellen keine Programme konventioneller Art dar, sie beinhalten die logische und technisch sinnvolle Verknüpfung der einzelnen Gleichungen (Verknüpfungen
werden durch Anfahren der Zellen in der Menüzeile angezeigt). Der Komfort hinsichtlich
Eingabe, Umfang und Hilfestellung, Absicherung gegen unsinnige Eingaben etc. ist geringer
als bei aufwendigen Spezialprogrammen: Wer Unsinn eingibt, erhält auch unsinnige
Ergebnisse! Geübte Benutzer können in Anlehnung an die vorliegenden Arbeitsblätter neue
Formulare entwickeln, die dann auf eigene Belange zugeschnitten werden können. Alle angewandten Rechenverfahren, Gleichungen und Daten basieren auf anerkannten Lehrbüchern
der entsprechenden Fachgebiete. Grundlage bei der Erstellung der nachfolgende Arbeitsblätter sind die Lehr-und Arbeitsbücher von
Lothar Papula „Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler“
Band 1, 2 und 3 sowie Formelsammlung
Die für die Eingabe vorgesehenen Zellen sind optisch hervorgehoben. Die Eingabe der Berechnungsgrößen erfolgt „von oben nach unten“; mit jedem Eingabewert werden alle Ergebnisse automatisch berechnet. Eine nachträgliche Korrektur der Eingabe führt zu einer sofortigen Neuberechnung. Schalter [-?-] und Mappen stellen nach Anklicken eine optische
oder textliche Hilfe bereit. Alle Arbeitsblätter werden nachfolgend anhand eines Beispiels
erläutert.
Die einzelnenen Arbeitsblätter wurden mit größter Sorgfalt für die Ausbildung erstellt und
ausführlich getestet. Trotzdem kann, wie bei allen Softwareprodukten, keine Gewähr für
1
absolute Fehlerfreiheit übernommen werden. Für Hinweise auf eventuelle Fehler sowie für
Verbesserungsvorschläge sind der Herausgeber und die Autoren jederzeit dankbar.
2
3 Beschreibung der Arbeitsblätter
3.1 Quadratische Gleichungen (quad.xls)
Nullstellen, Scheitelpunkt, Wertetabelle, Grafik
Die hier behandelte, relativ einfache Aufgabe soll in erster Linie dazu dienen, den Umgang
mit den Arbeitsblättern einzuüben.
Theorie: Papula, L.:
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1, I, 3.2
sowie III, 5.3
Anwendungsbeispiele: Vermessungsprobleme (Satz des Pythagoras), Stereometrie,
Wurfparabel
Allgemeine Form:
ax² + bx + c = 0; teilen durch a führt zur
Normalform:
x² + px + q = 0
Lösung:
x1  
2
mit der Diskriminante: d 
p
p
 d
2
2
q
4
d > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen
d = 0: eine (doppelte) reelle Lösung
d < 0: keine reelle Lösung
y  d
b
x
2a
x 1  x  jy
[konjugiert komplexe Lösungen,
2
s. Arbeitsblatt 2]
Sonderfälle:
 jede Zahl ist eine Lösung
 keine Zahl ist eine Lösung
 eine reelle Lösung
1. a = b = c =0
2. a = b = 0
3. a = 0
x
c
b
Eine quadratische Funktion y = ax² + bx + c entspricht einer parallel verschobenen Normalparabel.
Berechnung des Scheitelpunkts der Parabel (falls zwei reelle Lösungen):
( x  x1 )
xs  2
2
y s  a  x s2  b  x s  c
3
Ablauf:
Beginn
Eingabe:
Gleichungskoeffizienten
a, b und c
für 4 quadratische Gleichungen
Berechnung der Lösungen unter Beachtung
der verschiedenen Fälle.
Normalfall (2 reelle Lösungen):
Berechnung des Scheitelpunkts der Parabel.
Ausgabe:
entweder: keine Lösung
oder:
eine Lösung x
oder:
zwei komplexe Lösungen x 1, x 2
oder:
zwei reelle Lösungen x 1, x 2 und
Scheitelpunkt der Parabel S = (X, Y)
Eingabe:
Startwert für x
Endwert für x oder
Schrittweite
Berechnung der Wertetabelle
Ausgabe:
Wertetabelle und Funktionsgraph
Ende
Aufgabe:
Wie lauten die Nullstellen der Funktion
y = -0,5x² - 2x - 2 ?
Wo liegt der Scheitelpunkt dieser Parabel ?
Lösung
Eingabe: a = -0,5; b = -2; c = -2
Ergebnis: x1 = x2 = -2 [doppelte Nullstelle]
xs = -2; ys = 0
Weitere Aufgaben: s. Papula
4
3.2 Rechnen mit komplexen Zahlen (komplex.xls)
Verschiedene Darstellungsformen, Grundrechenarten
Die quadratische Gleichung x² + 1 = 0 hat keine reelle Lösung. Durch Einführung der imaginären Einheit
j2 = -1
erhält man für obige Gleichung die Lösungen
x 1   j (siehe auch Arbeitsblatt 1)
2
Theorie: Papula, L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 2, III
Anwendungsbeispiele: Komplexe
Wechselstromrechnung,
Darstellung
Schwingungen im Zeigerdiagramm
Darstellungsarten komplexer Zahlen:
1. kartesisch:
z = x + jy [x, y reelle Zahlen, x = Realteil,y = Imaginärteil]
z = r (cos( ) + j sin( ) )
2. Polarform:
trigonometrische Darstellung:
von
[r = Betrag der komplexen Zahl]
z  r  e j
exponentielle Darstellung:
Umrechnungen:
2
1. Kartesisch  Polar: r  z 
x y
2
y
x
2. Polar  Kartesisch: x  r cos( )
y  r sin( )
tan( ) 
Konjugiert komplexe Zahl z* in kartesischer Form:
Re(z*) = Re(z) = x
Im(z*) = -Im(z) = -y
Betrag r einer komplexen Zahl: r 
2
x y
2
Grundrechenarten in der kartesischen Form:
z1 + z2  ( x1 + x2 ) + j ( y1 + y2 )
1. Summe:
2. Differenz
z1 - z2 = ( x1 - x2 ) + j ( y1 - y2 )
3. Produkt:
z1  z2 = ( x1 x2 - y1 y2 ) + j ( x1 y2 + x2 y1 )
4. Quotient
z1
z2

( x1 x 2  y1 y2 )
2
x2

2
y2
j
( x 2 y1  x1 y2 )
2
2
x 2  y2
[z2 darf nicht 0 sein]
5
Ablauf:
Beginn
Eingabe:
Form der Eingabe (kartesisch oder polar)
Falls polar: Winkel (Argument)
in Grad, Rad oder n * 
Eingabe:
zwei komplexe Zahlen entweder kartesisch
mit Real- und Imaginäranteil oder
polar mit Betrag und Winkel in Grad, Rad
oder n *  (siehe oben)
Umrechnung der beiden Zahlen in die beiden
übrigen Darstellungsformen
Berechnung (kartesisch):
a) Summe
b) Differenz
c) Produkt
d) Quotient
e) konjugiert komplexe Zahlen
f) Beträge
Ausgabe:
in allen drei Darstellungsformen (trigonometrische Form:
Winkel in Grad, expontielle Form: Winkel in Rad):
a) Summe
b) Differenz
c) Produkt
d) Quotient
e) konjugiert komplexe Zahlen
f) Beträge
Ende
Aufgabe 1:
Wie lautet die kartesische Form der beiden in trigonometrischer Form vorliegenden komplexen Zahlen ?
z1 = 2 (cos(30°) + j * sin(30°))
z2 = 4 (cos(-45°) + j * sin(-45°))
Lösung
Eingabe: p [für polar]
g [für Grad]
2 [Betrag der 1. Zahl]
30 [Winkel der 1. Zahl]
6
Aufgabe 2:
4 [Betrag der 2. Zahl]
-45 [Winkel der 2. Zahl]
Ergebnis: z1 = 1,73 + j
z2 = 2,83 - j 2,83
Wie lautet der Quotient der beiden komplexen Zahlen z 1 / z2 ?
z1 = 4 - j 8
z2 = 3 + j 4
Lösung
Eingabe: k [für kartesisch]
4 [Realteil der 1. Zahl]
-8 [Imaginärteil der 1. Zahl]
3 [Realteil der 2. Zahl]
4 [Imaginärteil der 2. Zahl]
z
Ergebnis: 1  0,8  j 1,6
[kartesisch]
z2
z1
 1,79 exp( j 111
, )
z2
z1
z2
[polar, exponentiell]
 1,79  cos ( 63,43 )  j sin ( 63,43 ) 
[polar, trigonometrisch]
Weitere Aufgaben: s. Papula
7
3.3 Matrizenrechnung (matrizen.xls)
Eine Matrix A ist ein rechteckiges Gebilde mit m Zeilen und n Spalten.
 a11

 a 21


A
a
i1



 a m1
a12

aik
a 22

a2 k

ai 2



a m2
aik


a mk
a1n 

 a2 n 


 [i = Zeilenindex; k = Spaltenindex]
 ain 

 

 a mn 

Theorie: Papula, L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 2, I, 1
Anwendungsbeispiele: Koeffizientenmatrix zur Lösung linearer Gleichungssysteme, div.
physikalische Probleme (u.a. Quantentheorie)
1. Transponierte einer Matrix:
AT erhält man durch Vertauschen von Zeilen und Spalten der Matrix A.
2. Matrizeneigenschaften:
a) Diagonalmatrix:
A ist quadratisch (m = n), und alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen (a11, a22, …, ann)
sind 0.
b) Einheitsmatrix:
wie a), jedoch besitzen alle Diagonalelemente den Wert 1.
c) Dreiecksmatrix:
A ist quadratisch, und alle Elemente unterhalb der Hauptdigonalen sind 0 (obere
Dreicksmatrix) oder alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind 0 (untere
Dreiecksmatrix).
d) Symmetrische Matrix:
Eine quadratische Matrix ist (spiegel)symmetrisch, wenn für alle i, k gilt: a ik = aki.
e) Schiefsymmetrische Matrix:
Eine quadratische Matrix ist schiefsymmetrisch, wenn für alle i, k gilt: aik = -aki .
f) Gleiche Matrizen:
Zwei gleichartige Matrizen (m, n) sind gleich, wenn für alle i, k gilt: a ik = bik .
3. Matrizenaddition:
Zwei gleichartige Matrizen (m, n) A und B lassen sich elementweise addieren: C = A + B
mit cik = aik + bik .
4. Matrizensubtraktion:
Zwei gleichartige Matrizen (m, n) A und B lassen sich elementweise subtrahieren: C = A - B
mit cik = aik - bik .
5. Skalarprodukt:
8
Jedes Element aik der Matrix A wird mit einem Skalar  multipliziert:
 * A =  * (aik) = ( * aik ), für alle i, k.
6. Matrizenmultiplikation:
Zwei Matrizen A und B lassen sich nur dann multiplizieren, wenn die Anzahl der Spalten
der Matrix A gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix B ist: C = A * B. Die Koeffizienten
der Produktmatrix C werden nach folgendem Algorithmus berechnet (im Pseudocode):
falls(na ungleich mb)
{
schreibe(" Multiplikation nicht möglich, da na ungleich mb");
}
sonst
{
Schleife über alle j von 1 bis ma
{
Schleife über alle l von 1 bis nb
{
c[j][l] = 0;
Schleife über alle k von 1 bis na
{
c[j][l] = av[j][l] + a[j][k] * b[k][l]
}
}
}
}
Ablauf:
Beginn
Eingabe:
Koeffizienten der Matrix A, Skalar  1
Koeffizienten der Matrix B, Skalar  2
Berechnung:
1. Transponierte AT und B T
2. Matrixeigenschaften für A und B (s.o.)
3. Skalarprodukte  1* A und  2* B
4. Summenmatrix A + B
5. Differenzmatrix A - B
6. Produktmatrizen A * B und B * A
Ausgabe:
obige Ergebnisse 1. bis 6.
Ende
9
Aufgabe: Gegeben seien die beiden Matrizen A und B sowie zwei Skalare 1 und 2 (Werte
siehe Eingabe).
Lösung
Eingabe:
1
A
4
4
0
2

3
1 = 5
 1 1 0


B   2 3 5


 0 1 4
2 = -5
Ergebnisse Matrix A:
Transponierte
Analyse
 1 4


 4 0


 2 3
- keine Diagonalmatrix, da nicht quadratisch
- keine Dreiecksmatrix, da nicht quadratisch
- keine Einheitsmatrix, da nicht quadratisch
- nicht symmetrisch, da nicht quadratisch
Skalarprodukt
 5 20 10


 20 0 15
Ergebnisse Matrix B:
Transponierte
Analyse
 1 2 0


 1 3 1


0 5 4 
- keine Diagonalmatrix
- keine Einheitsmatrix
Skalarprodukt
- keine Dreiecksmatrix
- nicht symmetrisch
0 
 5 5


 10 15 25


 0 5 20
Verknüpfungen von Matrix A und Matrix B:
- Nicht gleich, da Zeilen und Spalten ungleich lang
Summe A + B
Addition nicht erklärt, da ungleicher Matrizentyp
Differenz A - B Subtraktion nicht erklärt, da ungleicher Matrizentyp
Produkt A * B
7 15 28


 4 1 12 
Produkt B * A nicht möglich, da na ungleich mb
10
Weitere Aufgaben: s. Papula
3.4 Gaußscher Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme (gauss.xls)
Unter einem linearen Gleichungssystem versteht man ein System von m Gleichungen mit n
Unbekannten x1, x2, …, xn:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = c1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = c2


am1x1 + am2x2 + … + amnxn = cm
Die Koeffizienten aij sind reelle Zahlen, ebenso wie die Absolutglieder ci. Verschwinden alle
Absolutglieder c1, c2, …, cm, so nennt man das Gleichungssystem homogen, anderenfalls
inhomogen.
Homogene Systeme besitzen entweder genau die triviale Lösung xi = 0 oder unendlich
viele Lösungen
Inhomogene Systeme besitzen entweder genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen
oder überhaupt keine Lösung
Das für das vorliegende Arbeitsblatt programmierte Gaußsche Eliminationsverfahren geht
von einem quadratischen Aussehen (m = n) aus.
Theorie: Papula, L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1, I, 5
Anwendungsbeispiele: Berechnung der Ströme in einem elektrischen Netzwerk,
Berechnung von Stabkräften in Fachwerken, diverse
Denksportaufgaben.
Programmierte Algorithmen (vgl. Papula):
a) Gaußsches Eliminationsverfahren
[Achtung: die Absolutglieder ci werden hier mit a[i][n+1] bezeichnet]
Schleife über die Zeilen (Gleichungen) s von 2 bis n
{
Schleife über die noch nicht eliminierten Zeilen i = s bis (n-1)
{
fak = -(a[i][s-1] / a[s-1][s-1])
[Faktoren berechnen: -a21/a11, -a31/a11, ..., -a32/a22, ...]
Schleife über alle Koeffizienten j von (s-1) bis (n+1)
[Zeile 1 * Faktor zu Zeile 2 addieren, usw.]
{
vek[j] = a[s-1][j] * fak
a[i][j] = a[i][j] + vek[j]
}
}
}
b) Sukzessive Bestimmung der Unbekannten aus dem gestaffelten System
Schleife über alle gestaffelten Gleichungen i von n herunter bis 1
{
sum = 0
Schleife über alle Koeffizienten j von 1 bis n
11
{
falls(j ungleich i) sum = sum + a[i][j]
}
sum = a[i][n+1] - sum
12
[falls a[i][i]=0, Gleichungssystem nicht
lösbar
oder unendlich viele Lösungen]
l[i] = sum / a[i][i]
[die l[i] sind die Lösungen]
Schleife über alle Gleichungen s von (n-1) herunter bis 1
{
a[s][i] = a[s][i] * l[i]
}
}
Ablauf:
Beginn
Eingabe:
Eingabe aller Koeffizienten
Berechnung:
1. des gestaffelten Systems (s. Papula)
2. des Lösungsvektors
Ausgabe:
1. des gestaffelten Systems
2. des Lösungsvektors
Ende
Aufgabe: Es soll das folgende inhomogene Gleichungssystem (4 Gleichungen mit 4
Unbekannten) gelöst werden:
x1 - 3 x2 + 1,5 x3 x4 = -10,4
-2 x1 +
x2 + 3,5 x3 + 2 x4 = -16,5
x1 - 2 x2 + 1,2 x3 + 2 x4 =
0
3 x1 +
x2 x3 - 3 x4 = - 0,7
Lösung
Eingabe: [Gleichungskoeffizienten]
Ergebnis: Gestaffeltes System der Gleichungen:
1
2
3
4
1 2
3
4
1 -3 1,5 -1
-2 1 3,5 2
1 -2 1,2 2
3 1 -1 -3
Lösungsvektor: X1 = 0,8080
Weitere Aufgaben: s. Papula
1
=
=
=
=
-10,4
-16,5
0
-0,7
1
2
3
4
X2 = -0,1840
13
1
0
0
0
X3 = -5,8800
2
3
4
5
-3 1,5
-1 -10,4
-5 6,5
0 -37,3
0
1
3
2,94
0
0 -22,5 -66,15
X4 = 2,9400
3.5 Fehlerrechnung (fehler.xls)
Mittelwert, Standardabweichung, Vertrauensbereich, Gaußkurve
Zur Ermittlung einer physikalischen Größe X führt man häufig zahlreiche Messungen durch.
Die einzelnen Meßwerte weichen voneinander ab, d.h. sie sind fehlerbehaftet. Man unterscheidet systematische (z.B. instrumentbedingte) und zufällige Fehler. Mit letzteren befaßt
sich die Fehlerrechnung.
Theorie: Papula, L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 3, IV, 3
Anwendungsbeispiele: Ermittlung von Temperatur, Helligkeit, Druck, Durchmesser, ...
Der Mittelwert x (arithmetisches Mittel) ist der beste Schätzwert einer Meßgröße X.
Mittelwert einer Meßreihe von n Meßwerten:
x
n
 x1  x 2    x n    x i
n
n
1
1
i 1
Die Standardabweichung s ist ein Maß für die Streuung der Einzelmessungen x i.
Standardabweichung der Einzelmessungen:
s
n
 x
n 1
1
i
 x
2
i 1
Die Varianz ist das Quadrat von s:
v = s2
Die Standardabweichung der Meßreihe sx ist ein Maß für die Streuung verschiedener
Mittelwerte x aus verschiedenen gleichartigen (fiktiven) Meßreihen.
Standardabweichung des Mittelwertes:
sx 
s
n
Der Vertrauensbereich beschreibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein errechneter
Mittelwert x in einem bestimmten Intervall um den wahren Wert X liegt.
Vertrauensbereich:
v  x  t  sx
Dabei ist t der "Vertrauensparameter". Er wird mit Hilfe der Tabelle in Papula, Bd. 3, IV, 3.2
bestimmt.
12
Ablauf:
Beginn
Eingabe:
Liste der Meßwerte
Berechnung von x, s, v, s x
Berechnung der Vertrauensbereiche
jeweils für die Vertrauensniveaus
68,3%, 90%, 95% und 99%
Berechnung der Gaußkurve für die graphische
Darstellung
Ausgabe:
Mittelwert x
Standardabweichung s
Varianz v
Standardabweichung der Meßreihe s x
68,3 % Vertrauensbereich
90 % Vertrauensbereich
95 % Vertrauensbereich
99 % Vertrauensbereich
Ausgabe:
Liste der Meßwerte x und deren jeweiliger Abstand vom
Mittelwert xi - x sowie ( x i - x )2
Grafik:
Darstellung der Gaußkurve
Ende
Aufgabe:
Für die Schwingungsdauer T eines Fadenpendels ergaben sich folgende sechs
Meßwerte: 1,254 s; 1,260 s; 1,250 s; 1,251 s; 1,245 s; 1,258 s
Gesucht sind der Mittelwert, die Standardabweichung sowie das 95%
Vertrauensintervall.
Lösung
Eingabe: obige Meßwerte
s x = 0,0023 s
Ergebnis: T = 1,2530 s
s = 0,0055 s
v = 0,0000 s2
95% Vertrauensbereich von 1,2472 s bis 1,2588 s
Weitere Aufgaben: s. Papula
13
3.6 Lagrangeinterpolation (lagrange.xls)
Es liege eine Anzahl Wertepaare (xi ,yi), z.B. Meßwerte, vor. Durch Interpolation soll an
beliebiger Stelle x der zugehörige Wert y = f(x) ermittelt werden. Das Interpolationspolynom
von Lagrange Pn(x) verläuft exakt durch alle Stützpunkte (x0, y0), (x1,y1), ..., (xn,yn).
Theorie: Späth, H.: Numerik. Kap. 2. Vieweg Braunschweig/Wiesbaden 1994
Papula, L.: Mathematische
Formelsammlung
für
Ingenieure
und
Naturwissenschaftler
Anwendung: Universelle Interpolationsaufgaben bei linear bis sehr "wellig" verlaufenden
"Meßwerten".
Mit Hilfe der Lagrangeschen Polynome
Li ( x ) 
(x - x 0 )(x - x1 )  (x - x i-1 )(x - x i+1 )  (x - x n )
(x1 - x 0 )(x i - x1 )  (x i - x i-1 )(x i - x i+1 )  (x i - x n )
für i = 0, 1, ..., n
berechnet man das Interpolationspolynom von Lagrange:
y = f(x)  Pn(x) = L0(x)y0 + L1(x)y1 + ... + Ln(x)yn
Programmierter Algorithmus:
y = 0
n = (Anzahl der Werte) - 1
Schleife über alle i von 0 bis n
{
L[i] = 1.
Schleife über alle j von 0 bis n
{
falls (j ungleich i) L[i] = L[i] * (xl - x[j]) / (x[i] - x[j])
}
y = y + L[i] * y[i]
}
14
Ablauf:
Beginn
Eingabe:
Liste der Meßwerte
Eingabe:
Interpolationsstelle x
Berechnung von y = f(x)  Pn(x) gemäß dem
oben angegebenen Algorithmus
Ausgabe:
Interpolationsstelle x
Interpolierter Wert y
Grafik:
Darstellung der "Meßkurve"
neuer
x-Wert
Ende
Aufgabe:
Gegeben seien folgende Meßwerte:
i
1
2
3
4
5
x
0
2
3
5
7
y
2
0
0
1
4
Wie lauten die interpolierten Funktionswerte y an den Stellen
a) x = 1
b) x = 5 [entspricht einem Meßpunkt]
c) x = 6
d) x = 9 [Extrapolation !]
Lösung
Eingabe: obige Meßwerte
jeweilige Interpolationsstelle x
Ergebnis: a) y = 0,542857143
b) y = 1
c) y = 2,114285714
15
d) y = 12,2
16
3.7 Newtonsches Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen einer
Gleichung (newton_1.xls)
Gesucht werden die Nullstellen (Lösungen) einer Funktion y = f(x). Ein Verfahren zur
numerischen näherungsweisen Bestimmung der reellen Nullstellen ist das
Tangentenverfahren von Newton. Dieses iterative Verfahren geht von einem Startwert
(Schätzwert) x0 aus. Mit jeder Iteration (Rechenschleife) wird ein verbesserter Wert x i
berechnet. Die so entstehende Folge x0 , x1 , …, xi , … konvergiert gegen die exakte
Nullstelle . Voraussetzung ist ein geeigneter Startwert, der das Konvergenzkriterium (s.u.)
erfüllt.
Theorie: Papula, L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1, IV, 3
Anwendung: universell, eine der Hauptaufgaben der praktischen Mathematik
Prinzip: An der Stelle x0 (Startwert) wird eine Tangente an die zu untersuchende Funktion
angelegt. Der Schnittpunkt dieser Tangente mit der X-Achse ergibt den
verbesserten "Schätzwert" x1. Nun wird an der Stelle x1 eine Tangente angelegt, die
in analoger Weise zu x2 führt. Sofern das Konvergenzkriterium (s.u.) erfüllt ist,
erzielt man durch mehrfache Wiederholung (Iteration) eine beliebige Annäherung
an die wahre Nullstelle . Gefunden wird jeweils nur die Nullstelle, die dem
Startwert am nächsten liegt.
f ( xi 1 )
xi  xi 1 
Iterationsvorschrift:
[i = 1, 2, 3, …]
f ' ( xi 1 )
Konvergenzkriterium:
f ( x0 )  f "( x0 )
 f '( x0 ) 2
1
[muß strenggenommen für alle xi gelten!]
Ist das Konvergenzkriterium nicht erfüllt, so ist die Konvergenz nicht
sichergestellt. Man sollte dann einen besseren Startwert x0 suchen.
Nachteil des Verfahrens: Neben der Funktion selbst muß zusätzlich deren 1. und 2.
Ableitung bekannt sein. Eine Tabelle mit den Ableitungen
elementarer Funktionen findet man z.B. bei Papula, Band 1, IV,
1.
Programmierte Algorithmen:
a) Prüfung des Konvergenzkriteriums für x0
xkonv = (f(x0) * f"(x0)) / (f'(x0) * f'(x0))
falls(xkonv < 1.0) Konvergenzkriterium erfüllt
sonst Konvergenzkriterium nicht erfüllt
[x0 = Startwert]
b) Nullstellensuche durch Iteration
i = 0
xneu = 0
wiederhole
{
i = i + 1
falls(i == 1) xalt = x0
sonst xalt = xneu
xneu = xalt - f(xalt) / f'(xalt)
17
[x0
= Startwert]
absol = abs(xneu - xalt)
}
solange(absol > gen)
[gen = angestrebte Genauigkeit]
18
Ablauf:
Beginn
Eingabe:
f (x), f´ (x), f´´ (x)
Eingabe:
Startwert des Suchintervalls zur Bestimmung
eines geeigneten Schätzwerts.
Endwert des Suchintervalls zur Bestimmung
eines geeigneten Schätzwerts.
Berechnung:
Funktionstabelle (x, y)
von x = Startwert bis
x = Endwert
Ausgabe:
obige Funktionstabelle
nein
ausreichend
zur Bestimmung eines
Startwerts
ja
Eingabe:
Schätzwert x0
Genauigkeit
Berechnung:
Konvergenzkriterium für x 0
Ausgabe:
Konvergenzkriterium für x 0
nein
Konvergenzkriterium
erfüllt
ja
Berechnung:
x i bis gewünschte Genauigkeit erreicht
Ausgabe:
Liste der x i und Grafik x als f(i)
Ende
19
Aufgabe:
Gesucht ist die (einzige) reelle Nullstelle der Funktion
f(x) = 2,2x3 - 7,854x² + 6,23x - 22,2411 = 0
Lösung
Eingabe: 2,2*x^3-7,854*x^2+6,23*x-22,2411
[f(x)]
6,6*x^2-15,708*x+6,23
[f'(x)]
13,2*x-15,708
[f"(x)]
-100
[Suchintervall Anfang]
100
[Suchintervall Ende]
Ausgabe:
Funktionstabelle
x
1
-100
2
-80
3
-60
4
-40
5
-20
6 0,00E+00
7
20
8
40
9
60
10
80
11
100
y
-2279185,241
-1177186,241
-503870,4411
-153637,8411
-20888,4411
-22,2411
14560,7589
128460,5589
447277,1589
1076610,559
2122060,759
Eingabe: 10
[Startwert für Iteration]
0,000001
[gewünschte Genauigkeit]
Ausgabe: 0,652481698 [Konvergenzwert]
Konvergenzkriterium erfüllt
Iterationen
Schritt
1
2
3
4
5
6
7
8
x
7,142965924
5,308615522
4,218715865
3,706028818
3,577803909
3,57E+00
3,57
3,57
dx
2,857034076
1,834350402
1,089899656
5,13E-01
1,28E-01
7,78E-03
2,78E-05
3,54E-10
Weitere Aufgaben: s. Papula
20
3.8 Vereinfachtes Newtonsches Verfahren (newton_2.xls)
Gesucht werden die Nullstellen (Lösungen) einer Funktion y = f(x).
Diese Aufgabe läßt sich mit Hilfe des Newtonschen Verfahrens (s. Arbeitsblatt 7) lösen. Es
ist ein Nachteil dieses Verfahrens, daß neben der Funktion selbst auch deren 1. und 2.
Ableitung bekannt sein müssen. Er kann vermieden werden, indem das Newton-Verfahren in
diskretisierter Form verwendet wird. Hierbei wird mit einer festen oder an xi angepaßten
Iterations-Schrittweite h gearbeitet.
Theorie: Späth, H.:Numerik. Braunschweig/Wiesbaden Vieweg 1994. Kap. 8
(siehe auch Arbeitsblatt 7)
Anwendung: universell, eine der Hauptaufgaben der praktischen Mathematik
Iterationsvorschrift:
xi 1  xi 
2 hi  f ( xi )
f ( xi  hi )  f ( xi  hi )
Festlegung von h:
0,0001
falls | xi | <0,01
0,01 | xi |
falls | xi | 0,01
Nachteil des Verfahrens: Ein Konvergenzkriterium kann nicht angegeben werden.
Häufig sind mehr Iterationsschritte als beim NewtonVerfahren in der "Normalform" notwendig.
Programmierter Algorithmus:
i = 0
xneu = 0
wiederhole
{
i = i + 1
falls(i == 1) xalt = x0
[x0 = Startwert]
sonst xalt = xneu
xm = abs(xalt)
falls xm < 0,01 h = 0,0001
sonst h = 0,01 * xm
xneu = xalt - (2 * h * f(xalt)) / (f(xalt + h) - f(xalt - h))
absol = abs(xneu - xalt)
}
solange(absol > gen)
[gen = angestrebte Genauigkeit]
21
Ablauf:
Beginn
Eingabe:
f (x)
Eingabe:
Startwert des Suchintervalls zur Bestimmung
eines geeigneten Schätzwerts.
Endwert des Suchintervalls zur Bestimmung
eines geeigneten Schätzwerts.
Berechnung:
Funktionstabelle (x, y)
von x = Startwert bis
x = Endwert
Ausgabe:
obige Funktionstabelle
nein
ausreichend
zur Bestimmung eines
Startwerts
ja
Eingabe:
Schätzwert x 0
Genauigkeit
Berechnung:
x i bis gewünschte Genauigkeit erreicht
Ausgabe:
Liste der x i und Grafik x als f(i)
Ende
22
Aufgabe:
Gesucht ist die (einzige) reelle Nullstelle der Funktion
f(x) = x² + 2,0 - ex = 0
Lösung
Eingabe: x^2+2-exp(x)
[f(x)]
-10 [Suchintervall Anfang]
10 [Suchintervall Ende]
Ausgabe:
Funktionstabelle
x
1
-10
2
-8
3
-6
4
-4
5
-2
6 0,00E+00
7
2
8
4
9
6
10
8
11
10
y
101,9999546
65,99966454
37,99752125
17,98168436
5,864664717
1
-1,389056099
-36,59815003
-365,4287935
-2914,957987
-21924,46579
Eingabe:
1
0,000001
Ausgabe: Iterationen
Schritt
1
2
3
4
5
xi
1,389751654
1,323237638
1,319087769
1,319073678
1,319073677
[Startwert für Iteration]
[gewünschte Genauigkeit]
dx
0,389751654
0,068948817
0,004149869
1,41E-05
1,54E-09
Weitere Aufgaben: s. Papula
23
3.9 Numerische Integration nach der Simpsonschen Regel (simpson.xls)
Häufig ist die analytische Integration einer Funktion zu aufwendig oder nicht möglich. In
solchen Fällen wendet man numerische Integrationsverfahren an.
Theorie: Papula, L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1, V, 8
x

Anwendungsbeispiel: Berechnung des Integrals F  e t dt
2
0
Aufgabe: Berechnung des angenäherten numerischen (zahlenmäßigen) Wertes des
bestimmten Integrals
b
F
 f ( x) dx
a
Methode: Das Integrationsintervall a  x  b wird in 2n gleichlange Teilintervalle
(x0  x  x1, ..., x2n-1  x  x2n) aufgeteilt. Die Kurve der Funktion y = f(x) wird in
diesen Teilintervallen durch Parabelbögen beschrieben, die durch jeweils drei
Punkte, z.B. P0 = (x0, y0), P1 = (x1, y1) sowie P2 = (x2, y2) verlaufen. Die Stellen xi
sind jeweils um die Schrittweite h voneinander getrennt (xi+1 = xi + h). Es werden
also stets Doppelstreifen betrachtet. Der erste Doppelstreifen (s.Papula) besitzt
näherungsweise den Flächeninhalt
A1   y 0  4 y1  y 2 
h
3
Die übrigen n-1 Dopelstreifen werden entsprechend berechnet, so daß man für den gesamten
Flächeninhalt folgenden Näherungswert erhält:
b
 f ( x) dx  A
1
 A2    An
a
Simpsonsche Formel:
b
 f ( x) dx    y
a

0

 y 2n   4  y1  y 3    y 2n1   2  y 2  y 4    y 2n2  

0
 4

1
 2

2
  h3
h
3
Programmierter Algorithmus:
a) Berechnung des Integrationsintervalls h
h = (b - a) / (2 * n)
[a, b = Integrationsgrenzen]
[n = Anzahl der Doppelstreifen]
b) Berechnung der Summe der Teilflächen
x = a
Schleife über alle i von 0 bis (2 * n)
{
y = fkt(x)
[Berechnung des Funktionswerts Y an der Stelle X]
falls((i = 0) oder (i = (2 * n))
24
sum0 = sum0 + y
sonst falls (((i % 2) ungleich 0) oder (i <= ((n * 2) - 1)))
sum1 = sum1 + y
[% steht hier für Restwert der Division i/2]
sonst falls (((i % 2) = 0) oder (i <= ((n * 2) - 2)))
sum2 = sum2 + y
x = x + h
}
F = (sum0 + 4 * sum1 + 2 * sum2) * h / 3
Ablauf:
Beginn
Eingabe:
Zu integrierende Funktion in der Form y = ....
Untere Grenze des Intervalls
Obere Grenze des Intervalls
Anzahl der Doppelstreifen
Berechnung:
1. des Integrationsintervalls h
2. der Stützflächen
3. des Integrals F
Ausgabe:
Liste der Stützflächen
Wert des Integrals
Grafik: Fläche unter der Kurve
Ende
Aufgabe:
Es soll der näherungsweise Flächeninhalt unter der Kurve
y  f ( x)  1  e
0 ,5 x
2
im Intervall 1  x  2,6 für 2n = 8 Streifen berechnet
werden.
Lösung
Eingabe: =wurzel(1+exp(0,5*x^2))
[Funktion]
Bemerkung: Bei der Eingabe der Funktion muß ein Gleichheitszeichen (=) als
erstes Zeichen eingegeben werden.
1
[a]
2,6 [b]
4
[n]
Ergebnis:
[Stützflächen]
Stützstelle
0
1
2
3
x
1
1,2
1,4
1,6
y
1,627489254
1,747693683
1,91427695
2,143977548
Wert des Integrals = 4,492589005
25
4
5
6
7
8
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,460302891
2,896386732
3,499408424
4,337542297
5,510968256
Weitere Aufgaben: s. Papula
24
3.10 Punktweise Lösung einer Differentialgleichung 2. Ordnung nach dem RungeKutta-Verfahren (runge.xls)
Wenn zwischen einer Funktion und einigen ihrer Ableitungen ein funktionaler
Zusammenhang besteht, spricht man von einer Differentialgleichung (DGL). Die
Lösungsfunktionen nennt man Lösung oder Integral.
Ordnung einer DGL: wird
bestimmt
durch
die
höchste
Ordnung
der
Differentialquotienten y(n) . Tritt als höchste Ordnung y" auf, so
handelt es sich um eine DGL 2. Ordnung.
Theorie: Papula, L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 2, V, 5
Anwendungsbeispiele: Bewegungsgleichung eines freifallenden Körpers ohne
Luftwiderstand,
mechanische
und
elektromagnetische
Schwingungen, stationäre Schrödingergleichung.
Allgemeine Form einer linearen DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
y" + ay' + by = g(x)
[g(x)  0: Gleichung ist inhomogen]
[g(x) = 0: Gleichung ist homogen]
Beispiel für eine lineare DGL 2. Ordnung mit variablen Koeffizienten:
x y" + x²y' + xy = ex
Beispiel für eine nichtlineare DGL 2. Ordnung:
y" + y' + y² = 0
[2. Grades wegen y², homogen]
Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung zur numerischen Integration einer DGL 2.
Ordnung:
berechnet die Lösungskurve y = y(x) einer DGL vom Typ y" = f(x, y, y'), Lösungsschema s.
Papula.
Programmierter Algorithmus:
zuvor Eingabe: DGL in der Form: y" = f(y',y,x)
Schrittweite h und Anzahl der Integrationsschritte rp
Anfangsbedingungen für x(0), y(x(0)), y'(x(0))
Schleife über alle Integrationsschritte i von 0 bis (rp-1)
{
x[i]
= x[0] + i*h
yss[i]
= y"(x[i], y[i], y'[i])
[y"[i] für Tabelle und Grafik]
k1
m1
k2
m2
k3
m3
k4
m4
=
=
=
=
=
=
=
=
h*y'[i]
h*y"(x[i], y[i],
h*(y'[i] + m1/2)
h*y"(x[i] + h/2,
h*(y'[i] + m2/2)
h*y"(x[i] + h/2,
h*(y'[i] + m3)
h*y"(x[i] + h/2,
y[i+1]
y'[i+1]
= y[i] + (k1+2*k2+2*k3+k4)/6
= y'[i] + (m1+2*m2+2*m3+m4)/6
y'[i])
y[i] + k1/2, y'[i] + m1/2)
y[i] + k2/2, y'[i] + m2/2)
y[i] + k3, y'[i] + m3)
}
25
[Bezeichnungen wie bei Papula]
[y" ist als Funktion zu programmieren, die y" = ... zurückliefert]
Ablauf:
Beginn
Eingabe:
Differentialgleichung 2. Ordnung
Schrittweite
Anzahl der Integrationsschritte
Anfangswerte für x(0), y(0) und y´(0)
Berechnung:
der y(i) und y´(i) für alle Integrationsstützstellen
Ausgabe:
1. Grafik und Tabelle y(i)
2. Grafik und Tabelle y´(i)
3. Grafik und Tabelle y´´(i)
Ende
Aufgabe:
Es soll die folgende Schwingungsgleichung gelöst werden:
..
.
x  6 x  8,75 x  0
(s. Papula Bd. 2, V, 4)
Schrittweite:
0,01
Anfangswerte: t(0) = 0; x(0) = 0; x(0) = 80
Lösung
Eingabe:
[immer in der Form y" = f(y', y, x)]
[also t -> x; x -> y]
a) Gleichung
-6 * y' - 8,75 * y
[y" = ...]
b) Anfangswerte
x[0] = 0
y[0] = 0
y'[0] = 80
c) Schrittweite
h = 0,01
d) Anzahl der Schritte
500
Ergebnis: Grafik und Tabelle einer aperiodischen Schwingung (Kriechfall)
Weitere Aufgaben: s. Papula
26
3.11 Digitale Fourier-Transformation zur Erstellung eines Power-Spektrums (dft.xls)
Einfache periodische Vorgänge sind häufig sinus- bzw. cosinusförmig. Solche
Schwingungen nennt man harmonisch. Aber auch nicht harmonische, im Intervall T
periodische Schwingungen lassen sich in eine unendliche Summe von sinus- und
cosinusförmigen "Einzelschwingungen" entwickeln. Selbst physikalische Messungen, die als
endlicher Datensatz vorliegen, können näherungsweise analysiert werden.
Theorie: Papula, L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 2, II
Anwendungsbeispiele: Analyse
eines
Tangentialkraftdiagramms
einer
Kolbenkraftmaschine, von elektrischen Schwingungen, von
Erdbebenwellen,
Ermittlung
von
Sonnenfleckenzyklen.
Fragestellung: welche Periode ist mit welcher Amplitude in einem
Satz von Meßwerten enthalten?
Fourierreihe einer mit der Periode 2  periodischen Funktion f(x)
(f(x) = f(x + 2  )):
f ( x) 
a0


2
a
n
 cos( n x )  bn  sin( n x ) 
n 1
an ,bn sind die Fourierkoeffizienten:
1
a0  

2
 f ( x) dx
0
;
1
an 

2
 f ( x)  cos(nx) dx
0
;
1
bn 

2
 f ( x)  sin(nx) dx
0
Liegen anstelle einer analytischen Funktion diskrete (Meß)werte vor, so ist man gezwungen,
die unendlichen Integrale näherungsweise durch Summen über alle N Werte zu ersetzen. Es
sei hier nur der praktisch verwendete Algorithmus im Pseudocode vorgestellt:
Schleife über alle m von 0 bis (N-1)
{
real_sum = 0
[an ]
imag_sum = 0
[bn ]
Schleife über alle n von 0 bis (N-1)
{
real_sum = real_sum + x[n] * cos(2 * PI * m *n / N) / N
imag_sum = imag_sum + x[n] * sin(2 * PI * m *n / N) / N
}
power = real_sum ^ 2 + imag_sum ^ 2
rms = 2 * Wurzel(power)
Ausgabe rms
}
In der Praxis ist meist ein getrennter Aufschluß über Sinus- und Cosinusanteile unwichtig.
Deshalb faßt man beide Anteile zur "Power" zusammen: P n = an2 + bn2 . Diese oder deren
Wurzel (rms) wird als Maß für die Größe eines bestimmten Periodenanteils im Meßsignal
(Datensatz) verwendet.
Wegen der Doppelschleife ist der Algorithmus äußerst rechenaufwendig. Die Verarbeitung
von 1024 Meßwerten dauert auf einem modernen PC (Pentium, 90 MHz) etwa 7 Sekunden,
wenn man eine geeignete Compilersprache (Fortran, Pascal, C) verwendet. Der ExcelInterpreter benötigt 1 Stunde!
27
Hier werden die Grenzen von Excel bei rechenintensiven Verfahren sichtbar. Arbeiten Sie
also mit möglichst kurzen Datensätzen.
Ablauf:
Beginn
Eingabe:
Anzahl der Werte N
Funktion in analytischer Form f(x) = ....
oder
Meßwerte y(x)
(Schrittweite x ist 1)
Berechnung der N Powerwerte
(bzw. RMS-Werte)
Ausgabe:
Grafik und Tabelle RMS(n)
Ende
Aufgabe:
Analysieren Sie die Funktion
f(x) = sin(2 *  * n / N) + 2 * cos(4 *  * n / N)- 0.5 * cos(6 *  * n / N)
+ 1.5 * sin(8 *  * n / N)
die in 24 diskreten Punkte f(0) bis f(N-1) vorliegen soll.
Lösung
Eingabe: obige Funktion
24 [Anzahl der Werte]
Ergebnis: Liste der RMS-Werte und Grafik (Powerspektrum). Da die
Funktion mit ihren Sinus- und Cosinusanteilen analytisch vorliegt,
können Sie die Richtigkeit des Verfahrens kontrollieren:
Die Perioden 2, 4, 6 und 8 finden sich erwartungsgemäß mit den
Amplituden 1, 2, 0,5 und 1,5 wieder. Informationen über die
Phasen sind im Powerspektrum nicht enthalten. Bitte beachten Sie,
daß das Powerspektrum stets um die Nyquistfrequenz
n 
1
2  x
herum symmetrisch ist. Im Prinzip hätte man also bei dieser
Grenzfrequenz die Berechnung stoppen können, um die
Rechenzeit (quadratisch mit N) zu verkürzen (um einen Faktor 4).
Weitere Aufgaben: Analyse von diskreten Werten (Meßwerten)
28
4 Übung: Erstellung eines eigenen Arbeitsblatts (Vektorrechnung)
Die vorliegenden 11 Arbeitsblätter sollen nicht zuletzt Anregungen zur Erstellung eigener
Arbeitsblätter geben. Als Einstiegsübung eignen sich einige Probleme der Vektorrechnung
im 3-dimensionalen Raum.
Theorie: Papula, L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1, II, 3
Anwendungsbeispiele: Physikalische Probleme mit gerichteten Größen (Kraft,
Geschwindigkeit, Drehmoment, ... ), Geometrie (Abstand einer
Geraden von einer Ebene, ...)
Komponentendarstellung eines Vektors im Raum:
ax 
 



 


a  a x  a y  a z  a x e x  a y e y  a z ez   a y 
 
 az 

[ai Vektorkomponenten von a ]

[ e i Komponenten des Einheitsvektors]
Aufgabe:
Erstellen Sie ein Arbeitsblatt, das die Eingabe zweier Vektoren in
Komponentendarstellung verlangt. Folgende Größen sollen berechnet
werden:
a) Beträge der beiden Vektoren
b) Richtungswinkel zwischen den Vektoren und den Koordinatenachsen
c) Summenvektor
d) Betrag des Summenvektors
e) Differenzvektor
f) Betrag des Summenvektors
g) Skalarprodukt
h) Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
i) Betrag des Vektorprodukts
j) Winkel zwischen den beiden Vektoren
Algorithmen im Pseudocode:
[Betrag eines Vektors]
absv = Wurzel(vx * vx + vy * vy + vz *vz)
[Richtungswinkel zwischen Vektor und Koordinatenachsen]
alpha = deg(arccos(vx / absv))
[deg = Funktion, die Rad in
beta = deg(arccos(vy / absv))
Grad umwandelt:
gamma = deg(arccos(vz / absv))
rad * 180 / PI]
[arccos = ArcuscosinusFunktion]
[Addition zweier Vektoren]
vaddx = v1x + v2x
29
vaddy = v1y + v2y
vaddz = v1z + v2z
[Subtraktion zweier Vektoren]
vsubx = v1x - v2x
vsuby = v1y - v2y
vsubz = v1z - v2z
[Skalarprodukt zweier Vektoren]
pskal = v1x * v2x + v1y * v2y + v1z * v2z
[Kreuzprodukt
vkreuzx = v1y
vkreuzy = v1z
vkreuzz = v1x
zweier Vektoren]
* v2z - v1z * v2y
* v2x - v1x * v2z
* v2y - v1y * v2x
[Winkel zwischen den beiden Vektoren]
phi = arccos(pskal / (absv1 * absv2))
Test: Bei Eingabe von v1x = 3, v1y = -1, v1z = 2
und v2x = 1, v2y = 2, v1z = 4
muß man erhalten:
absv1
=3,7417
absv2
=4,5826
alpha1
beta1
gamma1
=36,700°
=105,501°
=57,689°
alpha2
beta2
gamma2
=77,396°
=64,124°
=29,207°
vaddx
vaddy
vaddz
= 4,000
= 1,000
= 6,000
abs
=
7,2801
vsubx
vsuby
vsubz
= 2,000
=-3,000
=-2,000
abs
=
4,1231
pskal
= 9,000
vkreuzx
vkreuzy
vkreuzz
=-8,000 abs
=-10,000
= 7,000
=
14,5947
phi
=58,3397°
30
Diverse Aufgaben: s. Papula
Musterlösung: als Excel-Arbeitsblatt vektor.xls auf der beiliegenden Diskette
31