Diskrete Mathematik
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Martin Klossek – [email protected] – 1729843 08.04.2017 Übungsblatt 6 – Diskrete Mathematik Abgabe 26.05.2000 Aufgabe 24 Der Integritätsbereich 6 x y 6 x, y ist gemäß Zahlentheorie faktorieller Ring. Die Gleichung 71 29 6 71 29 6 1 6 1 6 5 5 (1.1) mit irreduziblen Faktoren erscheint auf den ersten Blick nicht den Forderungen eines faktoriellen Ringes zu genügen, da sich jeder Faktor der rechten Seite als ein Teiler eines Faktors der linken Seite herausstellt, was im Folgenden gezeigt wird. Das entspräche aber nicht der Forderung der Aufgabenstellung, dass die Faktoren irreduzibel sind, außer ein weiterer Faktor wäre eine Einheit. Durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich kann man die Teiler bestimmen 71 29 6 1 6 a b 6 a b 6 a 6 6b a 6b 6 a b I . 71 a 6b (1.2) II . 29 a b a 49, b 20 71 29 6 1 6 49 20 6 Entsprechend ergibt sich für die beiden anderen Faktoren 6 mit 49 20 6 erhält man 49 20 6 49 20 6 1 71 29 6 1 6 49 20 6 Multipliziert man 49 20 (1.3) (1.4) Einheiten. Somit ist wegen q1 q2 p1 p2 q2 e1 q1 e2 1 6 49 20 6 1 6 49 20 6 1 6 1 6 1 71 29 6 71 29 6 Seite 1 / 8 (1.5) Martin Klossek – [email protected] – 1729843 08.04.2017 6 ist faktorieller Ring. die Gleichung kein Widerspruch und Aufgabe 25 Beim „Faktorisieren mit Sieben“ versucht man ausgehend von der Wurzel der zu faktorisierenden Zahl n geeignete Teiler zu finden. Während des Verfahrens müssen beständig Wurzeln berechnet werden, um zu prüfen, ob ein aktueller Wert als Teiler in Frage kommt. Da dies bei großen Zahlen rechenaufwändig ist, wird bei diesem Verfahren die Überprüfung auf Quadratzahl modular durchgeführt. Hier sollen die Teiler von n 95.873.797 (1.6) n t s t s t 2 s2 (1.7) Den ersten Wert für t wegen bestimmt man durch Wurzelziehen von n, Anwenden der Gaußschen Klammer und Inkrementieren um 1. Im Laufe des Verfahrens wird solange jede ganze Zahl ab diesem Startwert geprüft, bis sie die auf Quadratzahleigenschaft erfüllt und so ein Teiler für n gefunden ist. t0 n 1 95873797 1 9791 1 9792 t1 n 2 9791 2 9793 ... (1.8) Für das modulare Quadratzahlbestimmen wählt man einige Moduln aus, hier sollen mi = 3,5,7,8 und 11 verwendet werden. Dazu bestimmt man die möglichen Reste bezüglich modulo mi, die quadratischen Reste, die möglichen Reste für t2-n modulo mi sowie die möglichen Kongruenzen für t im Fall t2-n = s2 = Quadratzahl. Die Werte für n modulo mi sind m1 3 n mod m1 1 m2 5 n mod m2 2 m3 7 n mod m3 5 m4 8 n mod m4 5 m5 11 n mod m5 8 Die Siebtabelle für n gestaltet sich folgendermaßen mi t mod mi t2 mod mi (t2-n) mod mi t für s2 mod mi 3 0,1,2 0,1 0,2 1,2 5 0,1,2,3,4 0,1,4 2,3,4 1,4 7 0,1,2,3,4,5,6 0,1,2,4 2,3,4,6 0,3,4 8 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,4 3,4,7 1,3,5,7 11 0,1,...,9,10 0,1,3,4,5,9 1,3,4,6,7,8 0,1,3,8,10 Seite 2 / 8 (1.9) Martin Klossek – [email protected] – 1729843 08.04.2017 In der letzten Spalte stehen die Kongruenzen bezüglich modulo mi, für die t 2-n Quadratzahl ist. Ist t2-n für eine dieser Moduln keine Quadratzahl, so ist sie auch keine in . Sind allerdings bei allen fünf Moduln die Kongruenzen erfüllt, dann muß die Wurzel von t2-n auf herkömmliche Art bestimmt werden und wenn die Wurzel ganzzahlig ist, dann ist t ein Teiler von n. Das prüft man für t0, t1,... bis ein Teiler gefunden ist. Dabei kann man Zahlen überspringen, die bezüglich eines Moduls in der gleichen Restklasse liegen und die keine Quadratzahlen sind. So zum Beispiel bei m i = 3 für alle durch 3 teilbaren Zahlen, da hier für t kongruent zu 0 keine Quadratzahl ist. Oder Zahlen, deren letzte Zahl ungleich 1,4,6 oder 9 ist, da hier für m i = 5 keine Quadratzahl vorliegt. tk mi tk mod mi Quadratzahl 9792 3 0 nein 9794 3 2 ja 5 4 ja 7 1 nein 3 1 ja 5 1 ja 7 3 ja 8 4 nein 3 1 ja 5 4 ja 7 6 nein 3 2 ja 5 1 ja 7 6 nein 3 2 ja 5 4 ja 7 2 nein 3 1 ja 5 1 ja 9796 9799 9806 9809 9811 Seite 3 / 8 Martin Klossek – [email protected] – 1729843 7 4 ja 8 3 ja 11 10 ja 08.04.2017 An dieser Stelle liegen für die Moduln Quadratzahlen vor. Jetzt ist zu prüfen, ob t 2-n mit t = 9811 eine ganzzahlige Wurzel hat und damit tatsächlich Quadratzahl in ist. t 2 n s2 98112 n 381924 6182 s 618 (1.10) Somit haben wir ein ganzzahliges s und Teiler von n sind gefunden mit n (t s) (t s) (9811 618) (9811 618) (1.11) 10429 9193 Da 10429 Primzahl ist, wird 9193 weiterfaktorisiert. Der Algorithmus beginnt von neuem, jetzt mit n = 9193. Hier ist zunächst wieder die Siebtabelle aufzustellen. Die Reste von 9193 bezüglich mi sind m1 3 n mod m1 1 m2 5 n mod m2 3 m3 7 n mod m3 2 m4 8 n mod m4 1 m5 11 n mod m5 8 und die Tabelle mi t mod mi t2 mod mi (t2-n) mod mi t für s2 mod mi 3 0,1,2 0,1 0,2 1,2 5 0,1,2,3,4 0,1,4 1,2,3 2,3 7 0,1,2,3,4,5,6 0,1,2,4 0,2,5,6 2,3,4,5 8 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,4 0,3,7 1,3,5,7 11 0,1,...,9,10 0,1,3,4,5,9 1,3,4,6,7,8 0,1,3,8,10 Damit lassen sich jetzt wieder inkrementell die tks bestimmen, für die t2-n Quadratzahl ist. Startwert ist t0 n 1 9193 1 95 1 96 tk mi tk mod mi Quadratzahl 96 3 0 nein Seite 4 / 8 (1.12) Martin Klossek – [email protected] – 1729843 97 98 103 107 3 1 ja 5 2 ja 7 6 nein 3 2 ja 5 3 ja 7 0 nein 3 1 ja 5 3 ja 7 5 ja 8 7 ja 11 4 nein 3 2 ja 5 2 ja 7 2 ja 8 3 ja 11 8 ja wurzel? 112 113 118 nein 3 1 ja 5 2 ja 7 0 nein 3 2 ja 5 3 ja 7 1 nein 3 1 ja 5 3 ja 7 6 nein Seite 5 / 8 08.04.2017 Martin Klossek – [email protected] – 1729843 122 127 128 133 137 142 143 3 2 ja 5 2 ja 7 3 ja 8 0 nein 3 1 ja 5 2 ja 7 1 nein 3 2 ja 5 3 ja 7 2 ja 8 0 nein 3 1 ja 5 3 ja 7 0 nein 3 2 ja 5 2 ja 7 4 ja 8 1 ja 11 5 nein 3 1 ja 5 2 ja 7 2 ja 8 6 nein 3 2 ja 5 3 ja 7 3 ja Seite 6 / 8 08.04.2017 Martin Klossek – [email protected] – 1729843 8 7 ja 11 0 ja wurzel? 148 152 157 nein 3 1 ja 5 3 ja 7 1 nein 3 2 ja 5 2 ja 7 5 ja 8 0 nein 3 1 ja 5 2 ja 7 3 ja 8 5 ja 11 3 ja wurzel? 158 163 167 nein 3 2 ja 5 3 ja 7 4 ja 8 6 nein 3 1 ja 5 3 ja 7 2 ja 8 3 ja 11 9 nein 3 2 ja Seite 7 / 8 08.04.2017 Martin Klossek – [email protected] – 1729843 172 173 5 2 ja 7 6 nein 3 1 ja 5 2 ja 7 4 ja 8 4 nein 3 2 ja 5 3 ja 7 5 ja 8 5 ja 11 8 ja 08.04.2017 Hier ist wieder eine Überprüfung nötig. Dabei erhält man t 2 n s2 1732 n 20736 1442 s 114 (1.13) Und damit lassen sich die Teiler von n = 9193 berechnen n (t s) (t s) (173 144) (173 144) (1.14) 317 29 Da sowohl 317 als auch 29 Primzahlen sind, ist n = 95873797 vollständig und eindeutig in seine Primteiler zerlegt n 29 317 10429 Seite 8 / 8 (1.15)
