Übungsblatt x – Diskrete Mathematik

Martin Klossek – [email protected]
07.04.2017
Übungsblatt 2 – Diskrete Mathematik
Abgabe 26.04.2000 in der Vorlesung
Aufgabe 5
a) Bestimmen der Restklassen von 499 944 und 2 027 651 281
Da es sich bei den Restklassen
Rechenoperationen
m
um einen kommutativen Ring handelt, sind die
a b  ab
a b  a b
(1.1)
erlaubt.
Für m = 9 gelten mit den Zehnerpotenzen folgende Kongruenzen:
1  10  100  1000  ...  10i mod 9
(1.2)
Für m = 11 kann man ein ähnliches Verhalten beobachten:
1  100  10000  ...  102i mod11 für i  0
10  1000  100000  ...  102i1 mod11 für i  0
(1.3)
Die gegebene Zahl 499 944 kann man in Summanden und Faktoren zerlegen und
mit den Verknüpfungen von m verrechnen:
499944  4 100000  9 10000  9 1000  9 100  4 10  4  1
 41  91  91  91  41  41
 499944
(1.4)
 39
3
Also gehört 499 944 bezüglich m = 9 der Restklasse 3 an. Für m = 11 berechnet sich
analog:
499944  4 100000  9 10000  9 1000  9 100  4 10  4  1
 4 10  9 1  9 10  9 1  4 10  4 1
 9  9  4  40  90  40
 22  170
(1.5)
 05
5
Bezüglich m = 11 gehört die Zahl 499 944 der Restklasse 5 an.
Für die zweite Zahl – 2 027 651 281 – ergibt sich eine analoge Rechnung zunächst
für m = 9...
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2027651281  2  0  2  7  6  5  1  2  8  1
 34
(1.6)
7
...und für m = 11:
2027651281  0  7  5  2  1  20  20  60  10  80
 15  190
(1.7)
 43
7
b) Warum keine Quadratzahlen?
Der Vorteil des Rechnens mit den Restklassen besteht darin, dass die Reste in der
Regel wesentlich kleiner als die eigentlichen Zahlen sind, sich die
Gesetzmäßigkeiten in gewissen Grenzen aber von den eigentlichen Zahlen auf die
Restklassen und umgekehrt übertragen lassen.
So auch bei der Überprüfung, ob eine gegebene Zahl keine Quadratzahl ist. Ist ihre
Restklasse keine Quadratzahl, so ist die eigentliche Zahl auch keine Quadratzahl.
Dazu notiert man sich sich zur Veranschaulichung einige Quadratzahlen der
Restklassen für m = 9:
1 1  1
22  4
33  0
44  7
55  7
66  0
77  4
(1.8)
88  1
99  0
10 10  1
11 11  4
12 12  0
Durch das Modul m teilbare Zahlen sind natürlich immer Nullteiler. Zudem wiederholt
sich die Periode der Quadratzahlen (rechte Zeit), da bei Modul m nur m Restklassen
gegeben sind und alle Vielfachen a‘ = a + z*m quadriert wieder dieselbe Quadratzahl
ergeben wie a*a.
Für m = 11 ergibt sich analog folgende Abfolge von Quadratzahlen:
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1 1  1
22  4
33  9
44  5
55  3
66  3
77  5
(1.9)
88  9
99  4
10 10  1
11 11  0
12 12  1
Die die eigentliche Zahl und ihre Restklasse bezüglich Modul m kongruent sind, muß
ihre Restklasse in der oben angegebenen Folge von Quadratzahlen enthalten sein.
Für 499 944 mit m = 9 ist das mit 3 nicht der Fall und mit m = 11 mit 5 gegeben.
Allerdings reicht es bereits aus, wenn eine Restklasse nicht Quadratzahl ist, so dass
die eigentliche Zahl auch keine Quadratzahl mehr ist.
Für 2 027 651 281 gilt analog, da die Restklasse 7 zwar Quadratzahl bei m = 9, aber
keine Quadratzahl für m = 11 ist, ist die Zahl selbst auch keine Quadratzahl, was zu
zeigen war.
Aufgabe 6
Für die Näherung von irrationalen Zahlen mit Kettenbrüchen entwickelt man um die
Zahl herum mit einem „Algorithmus für Näherungsbrüche“, der an den Euklidischen
Algorithmus angelehnt ist. Dabei gelten folgende Bedingungen und
Verfahrensanweisungen:
a
 sei irrationale Zahl und sei Näherungsbruch für 
(1.10)
b
1
1
 i =mi +
  i+1 =
(1.11)
 i+1
 i  mi
mi  i 
(1.12)
1   a1  b0  0 a0  b1  1
(1.13)
ai 1  mi 1  ai  ai 1
bi 1  mi 1  bi  bi 1
Für
3 ergibt sich gemäß dem Algorithmus folgende Ausgabe:
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(1.14)
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1    3
m1  1   1
2 
1
1

1  m1
3 1
m2   2   1
3 
1

 2  m2
m3   3   2
4 
1

 3  m3
m4   4   1
5 
1
1
1
3 1
1
1
1
1
3 1
1
1

 4  m4
1
1
m5   5   2
2
1
1
3 1
1
2
(1.15)
...
Die Werte für mi alternieren also ab m2 zwischen 1 und 2, da je nach
vorangegangenem mi-1 eine 1 oder 2 vom vorangegangenen i-1 abgezogen wird.
Für die daraus resultierende Kettenbruchentwicklung ergibt sich:
  m1 
1
1
1
1
...
m2  m3  m4  m5 
(1.16)
1 1 1 1
3  1
...
1 2  1 2 
Diese Entwicklung kann auch nochmal mit algebraischen Mitteln überprüft werden.
Es gilt
3  3  1 1
3 1 
2
3 1
(1.17)
Damit erhält man nach einigen Umformungen wieder die Kettenbruchentwicklung
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3  3 1 1  1 
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2
3 1
2
2
 1
2
3  1  1 1
2
3 1
1
1
 1
 1
1
1
1
1
2
3  1  1 1
2
3 1
1
1
 1
 1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3  1  1 1
2
3 1
1
 ...
 1
1
1
1
2
1
1
3  1  1 1
1 1 1 1
...
 1
1 2  1 2 
 1
(1.18)
Die Wurzel aus drei läßt sich also mit einem solchen Kettenbruch ausdrücken, der
die unendliche Periode 1 und 2 hat.
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