wir diese Weise wurzeln behandeln

w i r diese Weise <ies Aufsucbens der Quadrat wurzeln behandeln.
Zu Grunde wollen w i r der Erlauterung den Beweis des Satzes
legen, dass es unmoglich ist, durch Zahlen ausdriickbare Wurzeln
fiir die Zahlen zu finden, die nur Ganze enthalten, wenn die
Wurzel nicht eine ganze Zahl ist. Das hat seinen Grund darin,
dass 1 eine Quadratzahl ist. D u weisst aber schon aus dem
8. Kap. des E u k l i d , Satz 14, dass wenn ein Quadrat ein Mass
einer andern ist, seine Seite ein Mass der Seite des andern sein
muss. Nun ist 1 das Mass einer jeden Zahl, und wenn diese
nun ein Quadrat ist, so muss 1 auch ein Mass fiir die Quadratwurzel aus der Zahl sein, wenn also 1 in der Quadratwurzel
nicht als F a k t o r vorhanden sein soil, so kann die Zahl keine
Quadratzahl sein. So ist bewiesen, dass die Zahl keine durch
Zahlen ausdriickbare Quadratwurzel haben kann. Beispiel dafiir:
Die Quadratwurzel aus 10 ist keine ganze Zahl, weil das Quad r a t von 3 gleich 9 ist und die Quadratwurzel aus 10 grosser
sein muss, als die aus 9, weil 10 grosser als 9 ist. Ebenso
zeigt man, dass die Quadratwurzel aus 10 kleiner als 4 sein
muss, weil das Quadrat von 4 gleich 16 ist, also ist die Quadratwurzel aus 10 keine ganze Zahl. 10 enthalt aber die Quadratzahl
1 als Faktor, wenn nun 10 eine Quadratzahl ware, so mtisste
die Quadratwurzel daraus die Quadratwurzel aus 1, die auch
gleich 1 ist, als Mass haben, das ist aber, wie bewiesen, nicht
der F a l l , also hat 10 keine durch eine gebrochene oder nicht
gebrochene Zahl ausdriickbare Quadratwurzel, deshalb w i r d die
Wurzel i r r a t i o n a l ) genannt. Richte dich in ahnlichen Fallen
danach.
Nachdem dieses beachtet ist, wollen w i r dir zeigen, in
welchen Stufen man aus Zahlen die Wurzeln ziehen kann, und in
welchen es nicht angangig ist. Siehe, die Quadrate der Zahlenreihe von 1 bis 10 sind 1, 4, 9,16, 2 5 , 3 6 , 4 9 , 8 4 , 8 1 , und da die
Einheiten der Stufen i n Proportion stehen und bei 1 beginnen
und die der zweiten, namlich 10, keine Quadratzahl ist, so finden sich Quadratzahlen in der ersten, d r i t t e n , fiinften u. s. w . in
ungeraden Stufen. I s t das beachtet, so ist es klar, dass jede
Quadratzahl, die sich in einer ungeraden R u b r i k befindet, eine
Quadratzahl ist,weil sie die E i n h e i t dieser Stufe, die j a eine Quadratzahl ist, so oft als F a k t o r enthalt, wie eine Quadratzahl angibt,
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