44. ÖSTERREICHISCHE MATHEMATIK-OLYMPIADE KURSWETTBEWERB FÜR FORTGESCHRITTENE BG/BRG FELDKIRCH 21. MÄRZ 2013 1. Löse wenigsten 2 der gegebenen Ungleichungen: a) Man zeige: Für alle positiven reellen Zahlen a und b gilt: b) Es seien a, b, c positive reelle Zahlen. Beweise: a b 1 1 2 2 a b b a (a b) 2 .(a c) 2 4abc.(a b c) c) Es sei x eine reelle Zahl. Beweise: Für alle x gilt: x 4 x 2 3x 4 0 2. a) Von einer Zahlenfolge ist das Anfangsglied Ermittle die ersten 4 Folgenglieder und die explizite Darstellung für Wie viele Quadratzahlen enthält die Folge Welches ist die kleinste? gegeben. b) Berechne die Summe: 3. Löse mindestens eine der beiden Geometrieaufgaben: a) Gegeben ist ein Kreis mit Radius r und eine Sehne AB mit der Länge . Man zeichne nun zwei weitere Sehnen AC und BD so, dass diese normal aufeinander stehen. Beweise: CD ist genauso lang wie AB. b) Im spitzwinkeligen, nicht gleichseitigen Dreieck ABC mit dem Winkel γ = 60° seien U der Umkreismittelpunkt, H der Höhenschnittpunkt und D der Schnittpunkt der Geraden AH und BC (Höhenfußpunkt der Höhe durch A). Man zeige, dass die Eulersche Gerade HU Winkelsymmetrale des Winkels <BHD ist. 4. Man bestimme alle Tripel (x;y;z) reeller Zahlen, die Lösungen des Gleichungssystems x2 + yz = 2 y2 + xz = 2 z2 + xy = 2 sind. Punkteverteilung: 6 / 6 /6 / 6 Kurswettbewerb für Fortgeschrittene - LÖSUNGEN 21. März 2013 1. Aufgabe: a) Man zeige: Für alle positiven reellen Zahlen a und b gilt: a b 1 1 2 2 a b b a a 3 b3 b a Lösung: Man bilde zuerst auf beiden Seiten gemeinsame Nenner: Dann erweitert a 2b2 ab a 3 b3 ab man zunächst mit a².b² und dividiert durch das Binom (a+b) und erhält: ( a b) 1 a 3 b3 a ² ab b² und somit die neue zu zeigende Dann gilt wegen der Formeln von Horner: (a b) Ungleichung: a² - ab +b² ≥ ab bzw. a² +b² ≥ 2ab was genau der AM – GM-Ungleichung entspricht. q.e.d. (3 Punkte) b) Es seien a, b, c positive reelle Zahlen. Beweise: (a b) 2 .(a c) 2 4abc.(a b c) Lösung: Man forme zuerst die Ungleichung durch ausrechnen in die folgende Form um: a 4 2a 3b a 2b2 2a 3c 2ab2 c 2abc 2 a 2 c 2 b2 c 2 0 und faktorisiere geschickt: a 2 (a 2 2ab b 2 ) c 2 .(a 2 2ab c 2 ) 2ac(a 2 b 2 ) 0 und umgestellt: [ a.(a b)] 2ac(a b)(a b) (c.(a b)) 2 0 und schließlich a.(a b) c.(a b)2 0 was ein positiver Ausdruck ist! 2 (3 Punkte) c) Es sei x eine reelle Zahl. Beweise: Für alle x gilt: x 4 x 2 3x 4 0 Lösung: Man forme zuerst die Ungleichung durch addieren und subtrahieren von x² um in die Form: x 4 2 x 2 1 x 2 3x 3 0 und fasse die Trinome wie folgt zusammen: 9 3 ( x 4 2 x 2 1) ( x ² 3x ) 0 Somit entstehen Binomenquadrate der Form 4 4 3 3 ( x 2 1) 2 ( x ) 2 0 und damit eine wahre Aussage für alle x! q.e.d. 2 4 (3 Punkte) 2. Aufgabe: a) Von einer Zahlenfolge ist das Anfangsglied Ermittle die ersten 4 Folgenglieder und die explizite Darstellung für Wie viele Quadratzahlen enthält die Folge Welches ist die kleinste? gegeben. Lösung: Es ergibt sich < a n > = <2013; 2014; 2017; 2022; 2029….> oder anders angeschrieben: <2013; 2013+1; 2013+4; 2013+9; 2013+16; …..> und man erkennt die explizite Darstellung: a n 2013 n für alle n ≥ 0 2 . 2 2 Falls ein Folgenglied zur Quadratzahl wird: an 2013 n x gilt auch x n 2013 2 2 bzw. ( x n ).( x n ) 2013 . Somit müssen die 4 Teilerpaare: (1,2013); (3,671),(11,183);(33,61) untersucht werden: (1) x – n = 1 und x + n = 2013 ergibt: x1 = 1007 und n1= 1006 (2) x – n = 3 und x + n = 671 ergibt: x2 = 337 und n2=334 (3) x – n = 11 und x + n = 183 ergibt: x3= 97 und n3= 86 (4) x – n = 33 und x + n = 61 ergibt: x4= 47 und n4= 14 Somit gibt es 4 Quadratzahlen, davon ist 47² die kleinste! b) Berechne die Summe: 1 1 1 mittels Partialbruchzerlegung in und n n 1 n.( n 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 erkennt dann die „Teleskopreihe“ ... und somit ergibt die 1 2 2 3 2011 2012 2012 2013 2012 Summe = 2013 Lösung: Man zerlege zuerst den Term 3. Aufgabe: alternativ (a) oder (b) zu lösen! (a) Gegeben ist ein Kreis mit Radius r und eine Sehne AB mit der Länge . Man zeichne nun zwei weitere Sehnen AC und BD so, dass diese normal aufeinander stehen. Beweise: CD ist genauso lang wie AB. Lösung: In der Zeichnung verbindet man zunächst AD, BC und zeichnet auch AM, bzw. BM Weil die Sehne AB = beträgt, muss das Dreieck AMB rechtwinklig gleichschenklig sein, also die Winkel <MAB = <MBA = 45° und < AMB = 90°. Die Peripheriewinkel <ADB und <ACB sind somit ebenso 45° Da dadurch auch die rechtwinkligen Dreiecke AED bzw. BEC gleichschenklig rechtwinklig mit AE = ED und BE = CE sind, müssen die Dreiecke AEB und DEC kongruent sein! Q.e.d. (2) Im spitzwinkligen, nicht gleichseitigen Dreieck ABC mit dem Winkel = 60° seien U der Umkreismittelpunkt, H der Höhenschnittpunkt und D der Schnittpunkt der Geraden AH und BC (Höhenfußpunkt der Höhe durch A). Man zeige, dass die Eulersche Gerade HU Winkelsymmetrale des Winkels BHD ist. Lösung: Es sei E der Höhenfußpunkt von hb durch B und D der Höhenfußpunkt der Höhe ha durch A. Weiters ergeben die Schnittpunkte der Streckensymmetralen durch U die Seitenmittelpunkte P auf AC und Q auf BC. Weiters sei W der Schnittpunkt der Seitensymmetrale von a mit hb und V der Schnittpunkt der Seitensymmetrale von AC mit hb. Weil das rechtwinklige Dreieck ADC die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seite AC ist, gilt: CD = ½.AC = PC. Analoge Überlegung für rw. Dreieck BEC ergibt: EC = ½.CB = QC. Somit sind die Differenzen PC-EC und DC – QC gleich und damit gilt PE = QD. Weil nun UVHW ein Parallelogramm mit den Höhen QD = PE ist, handelt es sich um eine RAUTE! In der ist nun die Gerade UH Diagonale und somit Winkelsymmetrale! q.e.d. 4. Aufgabe: Man bestimme alle Tripel (x;y;z) reeller Zahlen, die Lösungen des Gleichungssystems (1) x2 + yz = 2 (2) y2 + xz = 2 (3) z2 + xy = 2 sind. Lösung: Subtrahiert man (2) – (1) : so ergibt sich die Gleichung: (y-x)(y+x) =z.(y-x) (*) (analog (3) – (2) und (3)-(2) (z-x)(z+x)=y.(z-x)) Für diese Gleichung (*) führe man die Fallunterscheidung durch: 1. Fall : y = x und 2. Fall: y ≠ x Eingesetzt in (1): x2 + xz = 2 aus (*) wird somit z = x+y (**) 2 in (3): x + z² = 2 setzt man (**) ein in (z-y)(z+y) = x.(z-y) so erhält durch Elimination von x² : z(z-x) = 0, man : x.(x+2y)=x² und 2xy = 0 mit 2 Unterfällen : was zu den 2 Unterfällen : 1.1 z = x bzw. 1.2 : z = 0 führt. 2.1 : x = 0 bzw. 2.2 : y = 0 Der Fall 1.1 liefert : x² + x² = 2x² = 2 und somit x = ± 1 und die Lösungen : (1/1/1) und (-1/-1/-1) Der Fall 2.1 liefert aus (1) und (2) : y² =2 und zy=2 die Lösungen : (0/ 2 / 2 ), (0, - 2 /- 2 ) 1.2 führt zu x² = 2 und x = ± ( 2 / 2 /0), (- 2 /- 2 /0) 2.2 liefert aus (2) und (3) z² = 2 und xz = 2 die Lösungen: ( 2 /0/ 2 ), (- 2 /0/- 2 ) 2 und Lösungen: Die Gesamtlösungen: L = {(1/1/1) ; (-1/-1/-1), ( 2 / 2 /0), (- 2 /- 2 /0), (0/ 2 / 2 ), (0, - 2 /- 2 ), : ( 2 /0/ 2 ), (- 2 /0/- 2 ) }