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44. ÖSTERREICHISCHE MATHEMATIK-OLYMPIADE
KURSWETTBEWERB FÜR FORTGESCHRITTENE
BG/BRG FELDKIRCH
21. MÄRZ 2013
1. Löse wenigsten 2 der gegebenen Ungleichungen:
a) Man zeige: Für alle positiven reellen Zahlen a und b gilt:
b) Es seien a, b, c positive reelle Zahlen. Beweise:
a
b 1 1
 2  
2
a b
b
a
(a  b) 2 .(a  c) 2  4abc.(a  b  c)
c) Es sei x eine reelle Zahl. Beweise: Für alle x gilt:
x 4  x 2  3x  4  0
2. a) Von einer Zahlenfolge
ist das Anfangsglied
Ermittle die ersten 4 Folgenglieder und die explizite Darstellung für
Wie viele Quadratzahlen enthält die Folge
Welches ist die kleinste?
gegeben.
b) Berechne die Summe:
3. Löse mindestens eine der beiden Geometrieaufgaben:
a) Gegeben ist ein Kreis mit Radius r und eine Sehne AB mit der Länge
.
Man zeichne nun zwei weitere Sehnen AC und BD so, dass diese normal aufeinander stehen. Beweise:
CD ist genauso lang wie AB.
b) Im spitzwinkeligen, nicht gleichseitigen Dreieck ABC mit dem Winkel γ = 60° seien U der
Umkreismittelpunkt, H der Höhenschnittpunkt und D der Schnittpunkt der Geraden AH und BC
(Höhenfußpunkt der Höhe durch A).
Man zeige, dass die Eulersche Gerade HU Winkelsymmetrale des Winkels <BHD ist.
4.
Man bestimme alle Tripel (x;y;z) reeller Zahlen, die Lösungen des Gleichungssystems
x2 + yz = 2
y2 + xz = 2
z2 + xy = 2 sind.
Punkteverteilung: 6 / 6 /6 / 6
Kurswettbewerb für Fortgeschrittene - LÖSUNGEN
21. März 2013
1. Aufgabe: a) Man zeige: Für alle positiven reellen Zahlen a und b gilt:
a
b 1 1
 2  
2
a b
b
a
a 3  b3 b  a

Lösung: Man bilde zuerst auf beiden Seiten gemeinsame Nenner:
Dann erweitert
a 2b2
ab
a 3  b3 ab

man zunächst mit a².b² und dividiert durch das Binom (a+b) und erhält:
( a  b) 1
a 3  b3
 a ²  ab  b² und somit die neue zu zeigende
Dann gilt wegen der Formeln von Horner:
(a  b)
Ungleichung: a² - ab +b² ≥ ab bzw. a² +b² ≥ 2ab was genau der AM – GM-Ungleichung entspricht.
q.e.d.
(3 Punkte)
b) Es seien a, b, c positive reelle Zahlen. Beweise:
(a  b) 2 .(a  c) 2  4abc.(a  b  c)
Lösung: Man forme zuerst die Ungleichung durch ausrechnen in die folgende Form um:
a 4  2a 3b  a 2b2  2a 3c  2ab2 c  2abc 2  a 2 c 2 b2 c 2  0 und faktorisiere geschickt:
a 2 (a 2  2ab  b 2 )  c 2 .(a 2  2ab  c 2 )  2ac(a 2  b 2 )  0 und umgestellt:
[ a.(a  b)]
 2ac(a  b)(a  b)  (c.(a  b)) 2  0 und schließlich
a.(a  b)  c.(a  b)2  0 was ein positiver Ausdruck ist!
2
(3 Punkte)
c) Es sei x eine reelle Zahl. Beweise: Für alle x gilt:
x 4  x 2  3x  4  0
Lösung: Man forme zuerst die Ungleichung durch addieren und subtrahieren von x² um in die Form:
x 4  2 x 2  1  x 2  3x  3  0 und fasse die Trinome wie folgt zusammen:
9
3
( x 4  2 x 2  1)  ( x ²  3x  )   0 Somit entstehen Binomenquadrate der Form
4
4
3
3
( x 2  1) 2  ( x  ) 2   0 und damit eine wahre Aussage für alle x! q.e.d.
2
4
(3 Punkte)
2. Aufgabe:
a) Von einer Zahlenfolge
ist das Anfangsglied
Ermittle die ersten 4 Folgenglieder und die explizite Darstellung für
Wie viele Quadratzahlen enthält die Folge
Welches ist die kleinste?
gegeben.
Lösung: Es ergibt sich < a n > = <2013; 2014; 2017; 2022; 2029….> oder anders
angeschrieben: <2013; 2013+1; 2013+4; 2013+9; 2013+16; …..> und man erkennt die explizite
Darstellung: a n  2013  n für alle n ≥ 0
2
.
2
2
Falls ein Folgenglied zur Quadratzahl wird: an  2013  n  x gilt auch x  n  2013
2
2
bzw. ( x  n ).( x  n )  2013 . Somit müssen die 4 Teilerpaare: (1,2013); (3,671),(11,183);(33,61)
untersucht werden: (1) x – n = 1 und x + n = 2013 ergibt: x1 = 1007 und n1= 1006
(2) x – n = 3 und x + n = 671 ergibt: x2 = 337 und n2=334
(3) x – n = 11 und x + n = 183 ergibt: x3= 97 und n3= 86
(4) x – n = 33 und x + n = 61 ergibt: x4= 47 und n4= 14
Somit gibt es 4 Quadratzahlen, davon ist 47² die kleinste!
b) Berechne die Summe:
1
1
1
mittels Partialbruchzerlegung in
und

n n 1
n.( n  1)
1 1 1 1
1
1
1
1
erkennt dann die „Teleskopreihe“     ... 
und somit ergibt die



1 2 2 3
2011 2012 2012 2013
2012
Summe =
2013
Lösung: Man zerlege zuerst den Term
3. Aufgabe: alternativ (a) oder (b) zu lösen!
(a) Gegeben ist ein Kreis mit Radius r und eine Sehne AB mit der Länge
.
Man zeichne nun zwei weitere Sehnen AC und BD so, dass diese normal aufeinander stehen.
Beweise: CD ist genauso lang wie AB.
Lösung: In der Zeichnung verbindet man zunächst AD, BC und
zeichnet auch AM, bzw. BM
Weil die Sehne AB =
beträgt, muss das Dreieck AMB
rechtwinklig gleichschenklig sein, also die Winkel <MAB =
<MBA = 45° und < AMB = 90°.
Die Peripheriewinkel <ADB und <ACB sind somit ebenso 45°
Da dadurch auch die rechtwinkligen Dreiecke AED bzw. BEC
gleichschenklig rechtwinklig mit AE = ED und BE = CE sind,
müssen die Dreiecke AEB und DEC kongruent sein!
Q.e.d.
(2) Im spitzwinkligen, nicht gleichseitigen Dreieck ABC mit dem Winkel  = 60° seien U der
Umkreismittelpunkt, H der Höhenschnittpunkt und D der Schnittpunkt der Geraden AH
und BC (Höhenfußpunkt der Höhe durch A).
Man zeige, dass die Eulersche Gerade HU Winkelsymmetrale des Winkels BHD ist.
Lösung: Es sei E der Höhenfußpunkt von hb durch B und D der Höhenfußpunkt der Höhe ha durch
A. Weiters ergeben die Schnittpunkte der
Streckensymmetralen durch U die
Seitenmittelpunkte P auf AC und Q auf BC.
Weiters sei W der Schnittpunkt der
Seitensymmetrale von a mit hb und V der
Schnittpunkt der Seitensymmetrale von AC mit
hb. Weil das rechtwinklige Dreieck ADC die
Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seite
AC ist, gilt: CD = ½.AC = PC.
Analoge Überlegung für rw. Dreieck BEC ergibt:
EC = ½.CB = QC. Somit sind die Differenzen
PC-EC und DC – QC gleich und damit gilt PE =
QD. Weil nun UVHW ein Parallelogramm mit
den Höhen QD = PE ist, handelt es sich um eine
RAUTE! In der ist nun die Gerade UH
Diagonale und somit Winkelsymmetrale!
q.e.d.
4. Aufgabe: Man bestimme alle Tripel (x;y;z) reeller Zahlen, die Lösungen des
Gleichungssystems
(1) x2 + yz = 2
(2) y2 + xz = 2
(3) z2 + xy = 2 sind.
Lösung: Subtrahiert man (2) – (1) : so ergibt sich die Gleichung: (y-x)(y+x) =z.(y-x) (*)
(analog (3) – (2)  und (3)-(2)  (z-x)(z+x)=y.(z-x))
Für diese Gleichung (*) führe man die Fallunterscheidung durch:
1. Fall : y = x
und 2. Fall: y ≠ x
Eingesetzt in (1): x2 + xz = 2
aus (*) wird somit z = x+y (**)
2
in (3): x + z² = 2
setzt man (**) ein in (z-y)(z+y) = x.(z-y) so erhält
durch Elimination von x² : z(z-x) = 0,
man : x.(x+2y)=x² und 2xy = 0 mit 2 Unterfällen :
was zu den 2 Unterfällen :
1.1 z = x bzw. 1.2 : z = 0 führt.
2.1 : x = 0 bzw. 2.2 : y = 0
Der Fall 1.1 liefert : x² + x² = 2x² = 2
und somit x = ± 1 und die Lösungen :
(1/1/1) und (-1/-1/-1)
Der Fall 2.1 liefert aus (1) und (2) : y² =2 und zy=2
die Lösungen : (0/ 2 / 2 ), (0, - 2 /- 2 )
1.2 führt zu x² = 2 und x = ±
( 2 / 2 /0), (- 2 /- 2 /0)
2.2 liefert aus (2) und (3) z² = 2 und xz = 2 die
Lösungen: ( 2 /0/ 2 ), (- 2 /0/- 2 )
2 und Lösungen:
Die Gesamtlösungen: L = {(1/1/1) ; (-1/-1/-1), ( 2 / 2 /0), (- 2 /- 2 /0), (0/ 2 / 2 ),
(0, - 2 /- 2 ), : ( 2 /0/ 2 ), (- 2 /0/- 2 ) }