Allgemeine Regression

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April 17
Zweidimensionale Statistik – Regression
Teil 1:
Allgemeine Regression
101
Zufluss (r 228)
a) Die Abhängigkeit der Zuflussleistung durch ein Rohr vom Durchmesser d ist: Z(d) = a d 4 .
Durchmesser in m
Zuflussleistung in l/min
0,5
240
1
450
1,5
1.200
2
2.300
Berechnen Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate den Parameter a. Welchen Rohrdurchmesser muss
man vorsehen, wenn die Zuflussleistung 1.000 l/min betragen soll?
a = 153,3 d = 1,6 m
b) Der Zufluss Z(t) (Einheiten wie in a)) verläuft wie Z(t) = t2 (10 – t) . Berechnen Sie die Gleichung für die
Füllmenge M mit M(0) = 0. Wann ist der Beckeninhalt 800 l? 0,08333 t3 (40 – 3 t) t = 9,1 und t = 10,8
102
Straßenverkehr (r243)
Der Bremsweg x ist eine Funktion der Bremswirkung (phys. eine Beschleunigung) ist x = Error! ( a …
Beschleunigung in m/s2, v… Geschwindigkeit in km/h, x …Bremsweg in m). In einer Testserie wurden
folgende Werte ermittelt:
Geschwindigkeit in km/h
Bremsweg in m
20
2
30
3
40
6
50
12
Ermitteln Sie den Zusammenhang x = k · v2 durch Regression aus den obigen Zahlen und berechnen Sie
durch Vergleich die Wirksamkeit der Bremsen a in m/s2. k = 0,004406 a = 113,45
103
(r14)
a. Die Synthese eines Produktes verläuft so:
Zeit:
Produktionsleistung:
1
3
2
7
3
8
4
1
in h
in hl/h
Ermitteln Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion der Form
P(t)=at3 + b t2 .
P(t)= – 0,85t3+3,44t2
Rechnen Sie mit P(t)= –t3+10t2 im Bereich [0/10] weiter:
b. Wann ist die Produktionsleistung maximal?
6,7 h
c. Wie groß ist die produzierte Gesamtmenge nach 10 h?
833,3 hl
d. Wann ist die Produktion zu stoppen, wenn nur 400 hl produziert werden sollen? 6 h
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April 17
104
(r19)
a. Die Produktionsleistung P(t) eines Produktes verläuft wie P(t)=at 5+bt4+ct3 und zeigt folgende Wertepaare:
t
1
2
3
4
Stunden
P(t)
1
4
8
7
Hektoliter/St.
Berechnen Sie die Parameter a,b, und c mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate.
Rechnen Sie mit P(t)=t5-20t4+100t3 in [0 / 10] weiter:
b. Wann ist die Produktionsleistung maximal und wie groß ist diese Leistung?
c. Wie groß ist die gesamte Produktionsmenge nach 10 Stunden?
d. Zeichnen Sie die Funktionen P(t) und M(t) in ein Koordinatensystem.
Maßstab: Absz. 1:1 Ord. 1:2000
P(t)=0,015t5 – 0,29t4+1,03t3 Pmax(6)=3.456 hl/h M(10)=16.666,7 hl
105
(r140)
a. Die Synthese eines chemischen Produktes erfolgt so, daß die Funktion der synthetisierten Menge pro Stunde
S(t) an der Stelle t=0 eine zweifache und an der Stelle t=a eine Dreifachnullstelle besitzt.
Erstellen Sie einen allgemeinen Ansatz für S(t)!
(S(t)= kt2(t-a)3
b. Stellen Sie für den Ansatz S(t)=at4+bt3+ct2 die Bedingungsgleichungen für die Methode der kleinsten
Quadrate auf!
Berechnen Sie eine Regression mit obigem Ansatz für
t
S(t)
1
1
2
3
3
5
4
2
in Stunden
in Liter pro Stunden (l/h)
S(t)=-0,095t4+0,241t3+0,68t2
Rechnen Sie die folgenden Punkte mit S(t)=t4-20t3+100t2 in [0/10] weiter:
c. Wann ist die produzierte Menge pro Stunde maximal und wie groß ist sie dann? S(5)=625 l/h
d. Berechnen Sie die Gleichung für die Gesamtproduktionsmenge M(t) in [0/10] und die Gesamtmenge nach 10
Stunden! M(10)=3.333 l
e. Wann ist die Produktion abzubrechen, wenn eine Menge von 3.000 l genügt? (Zeitpunkt auf Zehntelstunden
genau!) 7,5
f. Wie hoch ist der Anteil an brauchbarem Syntheseprodukt, wenn die erzeugte Menge in der ersten und letzten
Stunde des Produktionsvorganges unbrauchbar ist? 98,3 %
106
r164
a) Die abgesetzte Menge M eines Produktes hängt von den eingesetzten Werbemitteln x ab. Durch
Marktforschung ermittelt man:
x
100.000 200.000 300.000 400.000 €
M 10.000 30.000 60.000 70.000 Sück
Rechnen Sie eine allgemeine Regression mit dem Ansatz
M(x)=ax4+bx3+cx2.
Benutzen Sie dabei 100.000 € = 1 GE und 10.000 Stk. = 1 ME!
b) M(x) sei für diesen Punkt: M(x)=300x4-4.000x3+15.000x2 mit
x in GE und M in Stk.!
Berechnen Sie alle Extremwerte und Wendepunkte und zeichnen Sie die Funktion in ein Koordinatensystem
im Maßstab
Abszisse: 1 cm = 1 GE, Ordinate: 1 cm = € 10.000.
In welchem Bereich ist die Funktion ein vernünftiges Modell der Realität, wenn man annimmt, dass der
Absatzzuwachs sich nicht über eine Marktsättigung hinaus durch Werbung steigern läßt und die
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Marktsättigung sich durch kurzfristig gleichbleibende Absatzzahlen bei zunehmendem Einsatz von Werbung
bemerkbar macht?
Berechnen Sie mit M(x)=300x4-4.000x3+15.000x2 in [0/5]:
c) Welche Stückzahl läßt sich mit einem Werbeaufwand von € 500.000,- erzielen? Wie hoch muß der
Werbeaufwand sein, damit 40.000 Stück abgesetzt werden können?
d) Der Betrieb hat momentan ein Werbebudget von 4 GE. Wie stark läßt sich der Absatz durch eine geringfügige
Steigerung der Werbeausgaben vergrößern? Geben Sie den Wert in Stk./GE an!
-0,048x4+0,116x3+0,746x2 E(0/0)0 W(1,7/25463)22222 TE(5/62500)0
62500 234.600 4800
107
r171
Die Abhängigkeit der Tragfähigkeit eines Stahlträgers von seiner Höhe h und seiner Breite b ist: T(h)=ah 2 .
In einem Versuch werden folgende Werte ermittelt:
h
1
2
3
4
in dm
T(h)
0,2
1,4
2,5
4,6
in MN
a. Ermitteln Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion! T=0,288h 2
Rechnen Sie die folgenden Punkte mit T(h)=0,25.h2.
b. Wie groß ist die Tragfähigkeit eines 2,5 dm hohen Trägers?
c. Wie hoch muß ein Träger mit der Tragfähigkeit 8 MN sein? 1,56 MN 5,66 dm
108
r173
Abgasbelastung
An einer stark befahrenen Straße werden mittlere Geschwindigkeit der Fahrzeuge v und Schadstoffbelastungen S
gemessen:
v in km/h
S in ppm
80
1000
100
1500
120
2200
a) Ermitteln Sie durch die Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion der Form
S(v)=a.v2.
Berechnen Sie mit S(v)= 0,15v2 :
b) Bei welcher Durchschnittsgeschwindigkeit tritt eine Emission von 800 ppm auf?
c) Wie hoch ist die Emission bei v=130 km/h?
d) Um welchen Prozentsatz läßt sich die Belastung verringern, wenn es durch Kontrollen von Tempolimits
gelingt, die Geschwindigkeit um 15 % zu verringern
e) Die Verkehrsdichte V(t) geht mit V(t)= – 2,5t4 + 50t3 – 250t2 + 2000
mit t=0 ... 8:00 und t=10 ... 18:00 und V(t) in KFZ/h.
Wie hoch ist die Maximalbelastung dieser Straße ? Wann tritt diese Belastung auf?
f) Wie hoch ist das Gesamtverkehrsaufkommen zwischen 8:00 und 18:00 Uhr ?
S(v)=0,15239v2 73 km/h 2535 ppm -28 % 2000 KFZ/h um 8:00 und 18:00 Uhr 11.667 KFZ
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April 17
109
r180 Lös
Luftwiderstand
a) Die Leistung gegen den Luftwiderstand ist P = k · v3 . Ermitteln Sie den Proportionalitätsfaktor k aus den
Daten einer Versuchsserie mittels der Methode der kleinsten Quadrate:
v in km/h
P in W
20
5.000
30
17.000
40
44.000
50
83.000
(0,667)
b) Ermitteln Sie die Bestimmungsgleichungen für a und b für die Methode der kleinsten Quadrate bei dem
Ansatz: y = a x3 + b x.
(a  x6 + b  x4 =  (yx3) a  x4 + b  x2 =  xy)
110
r186
4. Der Bremsweg hängt von der Geschwindigkeit mit BW = Error!v 2 ab. a ist die Bremsverzögerung in m/s2
, wenn v in m/s und der Bremsweg in m gemessen werden. Berechnen Sie aufgrund der folgenden Daten eine
Regression BW = k · v 2 und a:
v in m/s
Bremsweg in m
BW = 0,0775 v²
5
1,8
10
7,5
15
15,8
20
32
a = 6,45 m/s2
111
r192
Ermitteln Sie die Bestimmungsgleichungen für den Ansatz Y(x) = ax4 + b mittels der Methode der kleinsten
Quadrate. Rechnen Sie die Regression für folgende Werte:
x
2
4
5
y
3
7
9
a = 0,0095 b = 3,5
112
Die Kosten für eine industriellen Prozeß sind von der Stückzahl abhängig, u. zw. so
K(x) = ax3 . Die Firma ermittelt folgende Zahlen:
x in Stk.:
300
500
800
K in EUR:
3.500
5.000
12.700
Rechnen Sie die Regression mit 100 Stk = 1 ME und EUR 1.000 = 1 GE.
a = 0,0259
Welche Kosten treten bei einer Stückzahl von 1.200 Stk. auf?
44.810 €
113
r207
Der Wärmeverlust durch eine Wand hängt von der Wandstärke mit W(s) = Error! ab. Ermitteln Sie aus
folgenden Daten den Faktor r:
s
in cm
10
20
30
W
in geeigneten Einheiten
150
550
800
r = 1,026
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Teil 2:
201
r241
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Exponentielle Regression
Population
a) Eine Population vermehrt sich zumindest am Anfang exponentiell mit A(t) = A0 · ekt. Bestimmen Sie die
Parameter A0 und k so, dass eine Verdopplung alle 8 Jahre stattfindet und A(10) = 5.000 ist!
(k= 0,0866 A0 = 2.102)
b) Erstellen Sie für die folgenden Zahlen eine exponentielle Regression:
t
1
2
3
4
A
10
15
33
56
A(t) = 5,1755 · e0,5957 t
Zeit in Jahren
Anzahl in Tausend
c) Die Weltbevölkerung entwickelt sich momentan nach P(t) = 4 · 1,02 t , t in Jahren nach 1980, P in Mrd.
Menschen. Wie groß ist die Verdopplungszeit. Wann hätten nach dieser Formel erstmals über 500 Mio.
Menschen gelebt. Wann wird die Weltbevölkerung 10 Mrd. betragen. Wie hoch ist der tägliche Zuwachs per
Ende 2001?
35 Jahre
1875
2026 328.931 Menschen/Tag
202
r236
Industrielle Fertigung
Kristalle für die Halbleiterfertigung werden aus einer Schmelze gezogen. Die folgende Tabelle zeigt den
Temperaturverlauf :
t
0
10
20
30
40
Zeit in Minuten
T
880
530
420
380
350
Temperatur in °C
Die Temperatur dieser Schmelze konvergiert gegen 120 °C. Berechnen Sie eine möglichst gut passende
Exponentialfunktion für diesen Vorgang. Wie hoch ist der Korrelationskoeffizient. Wann hat die Schmelze
eine Temperatur von 300 °C? Wie hoch ist die Halbierungszeit für den Teil über der Konvergenztemperatur?
Wie heiß ist die Schmelze nach einer Stunde? (626,15 · e–0,0285t + 120 –94,1 % 43,7 min 24,3 min
233,2 °C)
203
r232
Die Verschmutzung von Abwasser läuft mit folgenden Daten:
t
9:00
11:00
13:00
16:00
18:00
20:00 Uhrzeit
y
4
4
35
19
8
6
in l/m3h
Offensichtlich ist zum Zeitpunkt 13:00 ein Störfall eingetreten. Berechnen Sie die Gleichung der
Verschmutzung nach 13:00 (mit t = 0, Zeitintervall Stunden). Berechnen Sie die Gleichungen für die
Gesamtverschmutzung (ab 9:00 und mit 13:00 ist t = 0)und die Gesamtverschmutzung um 20:00! Wie hoch
ist die Halbierungszeit der zusätzlichen Verschmutzung. Wann ist die Verschmutzung nur mehr um 10 %
über dem Grundpegel?
(36,11 · e–0,408t + 4 mit –98,2 %
4t +16
104,5 – 88,5 · e–0,408t + 4t
127,4 1,7 h
11 h)
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April 17
204
r226
Epidemie
a) Die Anzahl der Kranken am Beginn einer Epidemie erhöht sich exponentiell. Berechnen Sie für die
folgenden Werte eine exponentielle Regression und geben Sie den Korrelationskoeffizienten an.
Verwenden Sie: 7. April (Ende) … t = 0
1 t-Intervall = 1 Tag:
Datum
12. 4.
14. 4.
18. 4
20. 4
Anzahl der Kranken
220
310
690
2.600
Wie hoch ist die relative Änderungsrate pro Tag und pro Woche? Wie groß ist die Verdopplungszeit und
wann (Datum) ist mit einer Krankenzahl von 6.000 zu rechnen?
K(t) = 44,693 · e0,287 t mit r = 95,5 % 33,2 % pro Tag und 646 % pro Woche 2,4 Tage 24. April
b) Berechnen Sie für N1(t)= 40 · e0,2 t in [0 / 8] (N(t) ist die Anzahl der Neuerkrankungen pro Tag) ein N2(t) mit
folgenden Bedingungen aus: N2(t) ist quadratisch, der Übergang zwischen N1(t) und N2(t) erfolgt beim
Zeitpunkt t = 8 stetig, N2(t) hat eine Nullstelle bei t = 20 und ein Maximum bei t = 10.
Berechnen Sie anschließend die Gleichungen für die Anzahl der Kranken K(t) als Integral über N(t) mit der
Bedingung K(0) = 0. Wann sind die meisten Leute krank und wieviele sind das? Wann ist die Epidemie zu
Ende?
N2(t) = – 2,06 t2 + 41,275 t K1(t) = 200 e0,2 t – 200
K2(t) = – 0,687 t3 + 20,64 t2 – 178,6 K(20) = 2.581,4
Ende = t = 29,7
205
r213
Schädlingsbefall
a) Schädlingen vermehren sich in einer Monokultur in den ersten Tagen exponentiell. Berechnen Sie für die
folgenden Werte eine exponentielle Regression und geben Sie den Korrelationskoeffizienten an. Verwenden
Sie: 10. April (Ende) … t = 0, 1 t-Intervall = 1 Tag:
Datum
12. 4.
14. 4.
30. 4
15. 5
30. 5
Schädlingszahl
350
720
1.850
2.600
4.500
Die Schädlingszahl ist dabei in Schädlingen pro Flächeneinheit angegeben.
Wie hoch ist die Wachstumsrate pro Tag und pro Woche? Wie groß ist die Verdopplungszeit und wann
(Datum) ist mit einer Schädlingszahl von 10.000 zu rechnen?
S(t) = 488,85 · e0,0475 t mit r = 95,2 % Wachstumsrate = 4,9 % pro Tag und 39,4 % pro Woche
Verdopplungszeit = ln 2 / 0,0475 = 14,5 Tage 10.000 = 488,85 · e 0,0475 t  t = 64 ( = 13. Juni)
b) Ein anderes Modell geht von einem exponentiellen Anstieg des Zuwachses der Schädlinge ( =
Vermehrungsrate V(t) = 1. Ableitung der Schädlingszahl S(t)) in den ersten 30 Tagen mit V(t) = 6 · e 0,08 t (t
in Tagen) aus. Dann verhält sich die Vermehrungsrate linear mit folgenden Eigenschaften:
Der Übergang bei t=30 ist stetig und V2(t) hat eine Nullstelle bei t = 80.
Berechnen Sie die Gleichung der Funktion V2(t) im Intervall [30 / ).
Berechnen Sie die Gleichungen für die Schädlingszahl S(t) mit S(0) = 500.
Wie hoch ist die maximale Schädlingszahl und wann ist der Schädlingsbefall zu Ende?
V2(t) = – 1,32 t + 105,8 S1(t) = 75 e0,08 t + 425
S2(t) = – 0,66 t2 + 105,8 t – 1.328,3
Höhepunkt = S(80) = 2.911,7
Ende = t = 146,6 Tage
c) Ein ein wenig ausgefeilteres Modell der Ausbreitung von Schädlingen geht vom Ansatz S(t) = Error! aus:
Berechnen Sie die Parameter a, b und c so, dass die Funktion folgende Eigenschaften hat:
S(t) konvergiert für t   gegen 5.000
S(t) ist unstetig an t = – 5
S(10) = 3.340
5.000 = a
c=5
b = 100
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April 17
206
r201
Der Temperaturverlauf einer Schmelze zeigt folgendes Bild:
Zeit
Temperatur
0
620
1
530
2
490
3
420
4
350
in h
in °C
Die Temperatur konvergiert exponentiell gegen die Raumtemperatur von 20 °C. Berechnen Sie eine
Gleichung für den Temperaturverlauf dieser Schmelze.
Wann hat die Schmelze die Temperatur 100 oC?
Welche Temperatur hatte die Schmelze nach 2,4 h.
Wie hoch ist der Korrelationskoeffizient?
T(t) = 603,4 · e– 0,144 t + 20 mit r = – 99,2 % T(14,0) = 100
T(2,4) = 447,3 °C.
Teil 3:
Lineare, quadratische und kubische Regression
301
r180
a) Für die Entwicklung und Produktion „windschlüpfriger“ Autos mit möglichst geringem Luftwiderstand (cw Wert) L ist folgender finanzieller Aufwand F notwendig:
L
F
0,3
3
0,32
2,5
0,34
1,8
0,36
0,2
in Mio. EUR
Ermitteln Sie für diese Werte eine quadratische Funktionsgleichung F(L).
–687,5 L2 + 408,25 L – 57,635
b) Rechnen Sie diesen Punkt mit F(L) = 10 L2 – 17 L + 7 in [ 0 / 0,7 ]:
Welcher cw - Wert L läßt sich mit einem finanziellen Aufwand von 2 Mio. EUR erreichen.
Wieviel kostet ein cw - Wert von 0,33?
0,378
2,479
302
r185
Preis und Absatz eines Produktes stehen in einer linearen Relation zueinander:
Preis in €/Stk.
p
340
320
280
275
Absatz in Stk./Monat
x
5012
5220
5700
6200
Berechnen Sie mittels der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende lineare
Nachfragefunktion p(x) Funktion (ACHTUNG auf die Reihenfolge bei der Eingabe!)
Wie hoch ist der Korrelationskoeffizient?
Wie hoch ist der Maximalpreis und die Sättigungsmenge?
Bei welchem Preis tritt der maximale Erlös ein? 613 – 0,056x –94,2 613 10957 306,5
303
r188
Straßenverkehr
a) Der Treibstoffverbrauch und damit die Schadstoffbelastung , abhängig von der Fahrgeschwindigkeit wird
wie folgt ermittelt:
Geschwindigkeit in km/h
Treibstoffverbrauch in l / 100 km
v
20
50
70
100
T(v)
14
10
8
12
Ermitteln Sie eine Gleichung der Form T(v) = av2 + bv + c mittels der Methode der kleinsten Quadrate!
T(v) = 0,0027 v2 – 0,3494 v + 20,098
b) Der Treibstoffverbrauch sei T(v) = 0,0024 v2 – 0,321 v + 20 in [10 / 150] , wobei v in km/h und T in
l/100 km angegeben ist. Bei welcher Geschwindigkeit wird der geringste Treibstoff verbraucht und wie hoch
ist dieser Verbrauch. vmin = 66,8 km/h und Tmin (66,8) = 9,3 l/100 km
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April 17
304
r195
Die Anzahl der Störche S in einer österreichischen Gemeinde und die Anzahl der Geburten im selben Jahr
sind in folgender Tabelle zusammengefaßt:
S
20
15
13
30
G 10
7
7
13
Ermitteln Sie eine lineare Regressionsgleichung für G(S). Wie hoch ist der Korrelationskoeffizient? Bringen
doch die Störche die Kinder? Wieviele Geburten wären bei einer Storchanzahl von 28 Störchen zu erwarten?
Wieviele Störche braucht man für 20 Geburten?
G(S) = 0,373 S + 1,98 mit r = 98,6 %
G(28) = 12,4 20 = G(48,3)
305
r202
Eine Firma ermittelt zwischen dem Werbeeinsatz W und dem Erlös E folgenden Zusammenhang:
W
0
200.000 400.000 650.000 800.000
EUR
E
2
6
8
9
9
Millionen EUR
Ermitteln Sie einen quadratischen Zusammenhang zwischen Werbeeinsatz und Erlös. Verwenden Sie dazu:
W in 100.000 EUR, E in Millionen EUR. Bei welchem Werbemitteleinsatz ist der maximale Umsatz zu
erzielen und wie groß ist er?
a = – 0,1615 b = 2,1367
c = 2,1172
Der maximale Erlös beträgt EUR 9.184.510 und ist bei einem Werbeaufwand von EUR 661.517,-- zu
erzielen!
306
r203
Ein Becken ist mit 8.000 l einer Substanz gefüllt und wird über einen Kanal entleert. Die Abflußmenge pro
Stunde ist durch folgende Liste gegeben:
t
10:00
11:00
13:00
A
1.800
1.200
900
in l/h
Berechnen Sie für A(t) eine Regressionsgerade (Korrelationskoeffizient?).
Benutzen Sie das Koordinatensystem 10:00 Uhr … t = 0, t in Stunden.
Wie lange fließt die Substanz ab? Negative Werte von A(t) seien nicht erlaubt! Wird das Becken leer? Wenn
ja, wann? A(t) = 1.671,4 – 278,57 t mit r = – 92,9 % Definitionsbereich t  [ 0 / 6]
Das Becken
wird nicht leer. Restmenge = 2.985,86 l
307
r210
Zwischen der Trefferquote Q bei Basketballspielern und der Trainingszeit t (in Stunden / Woche) werden
folgende Werte ermittelt:
t in h/w
1
2
3 4
5
Q in %
15
17
22 45
50
Ermitteln Sie einen linearen Zusammenhang zwischen t und Q. Wie hoch ist der Korrelationskoeffizient?
Wie lange muß man für eine Trefferquote von 85 % trainieren? Wie hoch ist die Trefferquote bei einem
Trainingsaufwand von 20 h/w? Interpretieren Sie das letzte Resultat!
Q(t) = 9,8 t + 0,4 mit r = 94,2 % Q(8,63) = 85 und Q(20) = 196,4!!
Man darf nicht extrapolieren. Eine Trefferquote von 196,4 % gibt es nicht.
308
r211
Der Zeitaufwand Z für das Einbauen einer bestimmten Anzahl von Netzwerkkarten (in Minuten) hängt von
der Anzahl der dafür eingesetzten Arbeitskräfte A (in Personen) so ab:
A
in Personen
10
15
30
Z
in Minuten
300
180
90
Ganz offensichtlich ist der Zusammenhang : „je mehr Arbeiter, desto kürzer die Zeit“, also
Z(A) = Error!! Ermitteln Sie k mit der Methode der kleinsten Quadrate! Verwenden Sie die Substitution y
= Error!= k A!
Z(A) = Error!
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309
beispiele regression
April 17
r213
Schädlingsbefall
a) Die Kosten für eine Schädlingsbekämpfungsaktion weisen folgende Werte auf:
Jahr
1980
1985
1990
1995
Kosten
3,9
4,5
4,7
6,8
Mio. EUR
Berechnen Sie eine lineare Ausgleichsgerade für die Kosten abhängig von der Zeit. Verwenden Sie dabei
1980 … t = 0 und 1985 … t = 5.
Wie groß ist der Korrelationskoeffizient und wann übersteigen die Kosten die 10 – Mio. EUR – Grenze?
Wie groß ist die jährliche Kostensteigerung und wie groß die relative Kostensteigerung von 1997 auf 1998?
K(t) = 0,178 t + 3,64 mit r = 91 %. im Jahr 2016
Kostensteigung 178.000 EUR / a 2,8%.
310
r215
Industrielle Fertigung
a) Die Produktivität (in Geldeinheiten pro Arbeitsstunde) hat sich in den letzten Jahren so entwickelt:
Jahr
1995
2000
2005
2007
Produktivität
15
16
18
20
Rechnen Sie eine lineare Regression für die Entwicklung der Produktivität. Rechnen Sie mit 1990 … t = 0
und Jahresintervallen. Wie hoch ist der Korrelationskoeffizient? Wann wird die Produktivität den
gewünschten Wert 25 erreichen.
P(t) = 0,3948 t + 12,611 mit r = 95,7 % P(31,3) = 25 im Jahr 2021!
b) In Wirklichkeit kann die Produktivität nicht endlos steigen. Nehmen Sie an, dass im Zeitraum 1990 bis 2005
(Zeitskala wie in a) ) P1(t) = 0,3 t + 12 ist. Dann soll P2(t) eine Funktion der Form P2(t) = Error! sein.
Ermitteln Sie a und b so, dass der Übergang von P 1 nach P2 stetig und stetig differenzierbar ist.
a = 21 und b = – 67,5
c) Die Produktivität gehorche folgender Formel: P(t) = Error! für t  [0 /  ). (Zeitskala wie bei a) und b)).
Wie groß war die Produktivität im Jahr 1990? Gegen welchen Wert konvergiert die Produktivität und wann
ist 90 % des Idealwertes erreicht?
5
25 2060
311 r220
In einer Volkswirtschaft werden folgende Daten erhoben:
Wirtschaftswachstum W
2
3
4
5
in Prozent
Arbeitslosenrate A:
9
8
8
3
in Prozent
Besteht ein Zusammenhang?
Ermitteln Sie einen möglichst gut passenden Zusammenhang A(W).
Wie hoch ist die Korrelation?
Wie groß muß das Wirtschaftswachstum sein, wenn die Arbeitslosenrate nur mehr 2 % sein soll?
Welche Arbeitslosenrate ergibt sich bei einem Wirtschaftswachstum von – 3 %?
A(W) = – 1,8W + 13,3 mit r = – 85,8 %
A(6,3) = 2
A(–3) = 18,7 %
312
r223
Es wird vermutet, dass durch die Erwärmung der Atmosphäre die Unwetterhäufigkeit (gemessen als
Schadenssumme durch Unwetterschäden) beeinflusst. Rechnen Sie für folgende fiktive Daten Regressionen
für die zeitliche Tendenz der Temperatur und die Schadenssumme, abhängig von der Temperatur (incl.
Korrelationskoeffizient). Wann steigt die Temperatur über 20° C?
Jahr
Mittlere Temperatur
Schadenssumme (in Mrd. USD)
(T(t) = 0,7 t – 1.382,3 mit 67,1 %
© Mag. Wolfgang Streit
1996
1997
1998
1999
2000
15,3
16,2
14,2
18,0
17,9
300
350
310
450
400
S(T) = 35,223 T – 212,83 mit 92,1 %
2003)
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5 ck - fleischer
beispiele regression
April 17
313
r224
Der Zufluss in ein Becken steigt von 8:00 bis 12:00 linear an und fällt nach 12:00 linear ab. Rechnen Sie
zwei Regressionsgeraden für die folgenden Daten (8:00 sei t = 0):
Zeitpunkt
Zufluss in m3/h
8:00
6,2
10:00
9,3
12:00
11,2
14:00
6,4
16:00
18:00
2,9
– 4,2
Für die folgenden Punkte gelte:
Die Funktionsgleichung für den Zufluss in ein Becken wurde durch Regression mit
Z1(t) = 4,2 + 2,3 t für t  [0 / 4] und Z2(t) = 31,8 – 4,6 t für t  (4 / 12] bestimmt. t in Stunden, Z in m3/h.
Wie hoch war der Zufluss um 13:30?
Wann war der Zufluss maximal und wie groß war dieser maximale Zufluss?
Bestimmen Sie die Gleichung für die Gesamtmenge. Wie groß ist der Gesamtzufluss in 10 h?
Wann ist das Becken leer?
Lösung: Z1(t) = 1,25 t + 6,4 Z2(t) = 21,47 – 2,485 t
Z2(5,5) = 6,5 m3/h Z1(4)=Z2(4) = 13,4 M1(t) = 1,15 t 2 + 4,2 t M2(t) = 31,8 t –2,3 t2 – 55,2
M2(10) = 32,8 m3 nach 11,8 h
314 (r225)
Kostenfunktion
a) Eine Firma erzeugt ein Produkt, dessen Kostenfunktion S – förmig verläuft.
Die folgende Liste gibt Auskunft über die tatsächlich erzielten Werte:
x
ME
K
GE
0
2
4
6
8
50
100
110
130
200
Mengeneinheiten
Geldeinheiten
Ermitteln Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion der obigen
Art für diese Werte!
K(x) = 0,9375x3 – 10,357 x2 + 41,607x + 50,143
b) Das Produkt hat eine lineare Nachfragefunktion, die folgende Werte zeigt:
x
p
0
100
2
80
4
76
6
52
8
33
ME
GE / ME
Ermitteln Sie eine Regressionsgerade und den Korrelationskoeffizienten für diese Werte. Wie hoch sind
Prohibitivpreis, Sättigungsmenge und der maximale Erlös für diese Nachfragefunktion?
p(x) = 100,6 – 8,1 x mit r = – 98,4 % PP = 100,6 GE/ME
SM = 12,4 ME Emax (6,2) = 312,4 GE
c) Berechnen Sie mit K(x) = x3 – 10 x2 + 42 x + 50 und p(x) = 100 – 6,7 x im Bereich [ 0 / 15 ]:
das Betriebsoptimum und den zugehörigen Preis, die Gewinngrenzen und die zugehörigen Preise, die
langfristige Preisuntergrenze, den Cournotpunkt und den Erfolg bei einem Preis von 60 GE/ME.
x BO = 5,75 ME mit p(5,75) = 61,4
x1 = 0,83 ME und x2 = 9,1 ME mit p1 = 94,4 GE/ME und p2 = 39,2 GE/ME Kd(5,75) = 26,3 GE/ME
xc = 5,63 ME mit p(5,63) = 62,26 GE /ME
201,1 GE
d) Das Modell des progressiv linearen Kostenverlaufs geht von einem linearen Verlauf aus, der bei
Überschreiten einer Kapazitätsgrenze in einen progressiven Verlauf übergeht. Berechnen Sie die Gleichung
dieses 2. Teils der Kostenfunktion als quadratische Funktion mit folgenden Bedingungen:
K1(x) = 800 x + 300.000 im Bereich [0 / 200]. Der Übergang zwischen K 1(x) und K2(x) bei x = 200 erfolgt
stetig und stetig differenzierbar. K2(400) = 1.500.000,--.
a = 22 b = – 8.000 c = 1.180.000
© Mag. Wolfgang Streit
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5 ck - fleischer
beispiele regression
April 17
315 (r190)
Aufforstung
Ein Waldgrundstück soll aufgeforstet werden. Die Entwicklung der Holzmengenzunahme ( in Festmeter/Jahr) ist
zeitabhängig und läuft wie H(t) = Error! .
a) Ermitteln Sie durch geeignete Umformung der obigen Gleichung und anschließender Verwendung einer
linearen Regression eine den folgenden Daten möglichst gut angepaßte Funktion:
t in a
0
10
20
30
40
H in 1000 fm/a
170
100
80
70
65
Error!
H(t) = Error!
Für die Punkte b) bis d) gelte:
mit den obigen Einheiten:
b) Wann wird H kleiner als 1 % des Anfangswertes? t = 19,8 Jahre
c) Ermitteln Sie die Gleichung für die Gesamtholzmenge G(t), wenn Error!= H(t) gilt.
G(t) = 50 ln (40 t + 8) – 104 = 50 ln (5 t + 1)
Für die folgenden Punkte gelte: G(t) = 40 ln (20 t + 10) – 92,1
d) Wie groß ist die Gesamtholzmenge nach 20 Jahren? G(20) = 148,546
e) Wann ist die Gesamtholzmenge 100.000 Festmeter?
316
(r179)
148.546 Festmeter
100 = 40 ln (20 t + 10) – 92,1 t = 5,6 Jahre
Kostenanalyse
a) Ermitteln Sie aus folgenden Daten eine progressive Kostenfunktion durch eine quadratische Regression:
x in ME
0
K in GE
5
( K(x) = 1,571x2 + 3,11x + 5,14)
1
10
2
18
3
28
4
43
6
10
7
8
b) Ermitteln Sie eine lineare Nachfragefunktion aus folgenden Daten:
x in ME
p in GE/ME
3
14
4
13
5
11
Geben Sie den Korrelationskoeffizienten an. ( p(x) = 18,7 – 1,5x mit r = – 99,3 % )
Rechnen Sie die folgenden Punkte mit: K(x) = 0,5 x2 + 4 x + 5 und p(x) = 18 – 0,9x :
c) Ermitteln Sie das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze! 3,162 ME 7,16 GE / ME
d) Ermitteln Sie den Maximalpreis, die Sättigungsmenge und den Preis, bei dem der maximale Erlös auftritt!
MP = 18 GE/ME SM = 20 ME erlösmaximaler Preis = 9 GE / ME
e) Ermitteln Sie den Cournotpunkt, d.h. , die gewinnmaximale Produktionsmenge und den zugehörigen Preis!
p(5) = 13,5 GE/ME
f) Ermitteln Sie die Break-even-Punkte!
0,37 und 9,63
© Mag. Wolfgang Streit
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