Vollständigk+NSAnalysis
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Didaktik IV WS 2004/2005, Prof. Dr. B. Zimmermann, FSU Jena Beispiel einer in Q stetigen Funktion, die der anschaulichen Vorstellung von Stetigkeit („In einem Zuge Zeichnenkönnen“) widerspricht Hiermit u. a. verfolgbare Ziele: Rolle der Vollständigkeit von R bewußt machen. Schwierigkeiten, die mit dem Stetigkeitsbegriff verbunden sind, hervorheben. Rolle heuristischer Methoden (insbesondere des „Rückwärtsarbeitens“ (Griechisch: „Analysis“) hervorheben. Rolle vom Beweisen im Analysisunterricht untersuchen Verhältnis von Lösungsideen zu korrekter Argumentation. Konstruktiver Umgang mit Fehlern. Behauptung: f : x 1 ist stetig x0 D f 0; 2 Q . x 2 2 Beweis: Sei x0 D f beliebig gegeben. Zu zeigen ist: 0 0 so daß x D f gilt : ( x0 x f ( x0 ) f ( x ) ) Fallunterscheidung: x0 2 und x0 2 . Sei hier x0 2 (zweiter Fall analog). Sei >0 beliebig gegeben Grundidee: Rückwärtsarbeiten (sehr wichtige heuristische Methode!), d. h.: ich nehme f ( x0 ) f ( x ) als erfüllt an und versuche, durch Abschätzungen ein geeignetes zu konstruieren. Hierbei wird versucht, in diesem Term x0 x zu isolieren: Didaktik IV WS 2004/2005, Prof. Dr. B. Zimmermann, FSU Jena f ( x0 ) f ( x) 1 1 2 2 x 2 x0 2 x 2 x0 2 2 2 x0 2 x 2 2 2 x 2 x0 2 2 x0 2 x 2 2 x x0 x x0 x 0 2 2 x 2 x0 x 2 x x0 2 2 x0 2 x 2 t Nun bleibt der Term t beschränkt, wenn x „links von 2 “ gegen x0 strebt. Der Zähler von t läßt sich nach oben abschätzen, denn x x0 bleibt auf jeden Fall kleiner als 4. Der Nenner von t läßt sich nach unten abschätzen: x0 2 2 K1 x0 ist eine Konstante. Zwischen x0Q und 2 gibt es eine weitere rationale Zahl (wir suchen ja nach einem geeignetem !), denn da auch R (wie Q) archimedisch angeordnet ist, gibt 1 1 es auch zu ein nN mit < n, also ist auch 2 x0 2 x0 2 1 1 1 2 x0 x0 2 x0 2 . Damit bleibt für x x 1 auch 0 n n n n 2 1 x 2 x 0 2 K 2 x0 genügend groß. n 2 Didaktik IV Damit bleibt WS 2004/2005, t Prof. Dr. B. Zimmermann, FSU Jena 4 K1 x0 K 2 x0 , also beschränkt. Hätten wir bereits ein passendes , so wäre x0 x t Also wäre 4 K1 x0 K 2 x0 K1 x0 K 2 x0 geeignet, sofern e1/n. Andernfalls wird 1/n 4 genommen. Hiermit ist der Beweis für den ersten Fall x0 2 erbracht. Für den zweiten Fall kann man analog verfahren. Skizze für die betrachtete Situation: Didaktik IV WS 2004/2005, Prof. Dr. B. Zimmermann, FSU Jena Zusatzfragen: Wie könnte man/sollte man die Vollständigkeit von R in der Schule behandeln? Wie könnte man den Grenzwertbegriff in der Schule einführen? Wie könnte man/sollte man den Stetigkeitsbegriff in der Schule einführen? Didaktik IV WS 2004/2005, Prof. Dr. B. Zimmermann, FSU Jena NONSTANDARDANALYSIS Axiomensystem für hyperreelle Zahlen (nach Wattenberg in MU 4/83 S. 16 - 22) 1. Jede reelle Zahl ist auch hyperreell (R H). 2. Es gibt hyperreelle Zahlen , 0, so daß für jede positive reelle Zahl a gilt: -a < < a Eine solche hyperreelle Zahl heißt Infinitesimalzahl. Null ist die einzige reelle Infinitesimalzahl. 3. H ist ein angeordneter Körper, wobei für reelle Zahlen die Addition in R und in H jeweils das gleiche Ergebnis hat. 4. Def.: x, y H heißen unendlich benachbart, in Zeichen x y : x - y ist eine Infinitesimalzahl. x y gilt auch für x = y, da 0 eine Infinitesimalzahl ist. 5. Def.: Eine hyperreelle Zahl x heißt endlich, wenn es eine reelle Zahl a gibt, so daß -a < x < a 6. Wurzelaxiom: Für jede positive hyperreelle Zahl a und jede positive ganze Zahl n gibt es eine positive hyperreelle Zahl b mit bn = a; wir schreiben b n a. 7. Standardanteilaxiom: Für jede endliche hyperreelle Zahl x gibt es genau eine reelle Zahl a mit x a; a heißt der Standardanteil von x, wir schreiben a = st(x). 8. Funktionsaxiom: Jede reelle Funktion von einer oder mehrerer Variablen hat ein Gegenstück f* in der hyperreellen Welt. 9. Übertragungsaxiom: Jede Eigenschaft, welche im reellen Zahlsystem in der üblichen mathematischen Sprache formuliert werden kann, gilt auch im hyperreellen System.
