Ideales Gasgesetz

400+300=500? oder kapazitive und
induktive Widerstände
1.) Induktiver Widerstand
Wir schließen eine Spule an einen Frequenzgenerator an und untersuchen, was passiert, wenn
wir den Quotienten Spannung/Stromstärke untersuchen. Diesen Quotienten bezeichnet man
als induktiven Widerstand XL! . Die eingestellte Spannung soll dabei 2V betragen.
(Anmerkung: Von Messgeräten wird der sogenannte Effektivwert von Stromstärke und
Spannung angezeigt.
Zwischen Effektivwert und Spitzenwert gibt es für die Spannung und die Stromstärke folgende
Zusammenhänge!
I eff 
I0
2
, U eff 
U0
2
)
Da sich der Faktor 2 herauskürzt, ist es egal, ob man zur Darstellung des induktiven
Widerstandes Effektivwerte oder Spitzenwerte heranzieht.
Fertige ein Diagramm an, das den induktiven Widerstand in Abhängigkeit von der
Frequenz darstellt.
Scheinbar wehrt sich das Magnetfeld gegen einen allzu schnellen Aufbau mit einer
Strombegrenzung.
Man findet
xL  L
2.) Kapazitiver Widerstand
Wir wiederholen das Experiment mit einem Kondensator. Es ergibt sich ein umgekehrtes
Bild.
Das Aufladen eines Kondensators kostet Zeit, in der mittels Stromfluss Ladung an- und
abtransportiert wird.
Da bei hoher Frequenz das Ladezeitintervall sehr klein ist, wird der Kondensator während
einer Halbwelle wenig aufgeladen. Es kann daher ein verhältnismäßig hoher Ladestrom
fließen. Das bedingt, dass der Quotient Spannung/Stromstärke für hohe Frequenzen klein
wird.
Wir finden
XC 
1
C
1
Versuche der Überraschungen
Verwende für die folgenden Versuche C=10µF und L=35mH!
Bestimme rechnerisch oder experimentell die Widerstände der Bauteile für eine Frequenz von
10620Hz!
XC=………………….Ω
XL=
Ω
Überraschung 1: (60Ω+60Ω=(fast nix)Ω)
Schalte nun die beiden in Serie und bestimme den Widerstand für die Frequenz von 10600 Hz
experimentell!
Z=……………….Ω
Variiere nun die Frequenz und versuche eine Regel zu finden, wie die beiden Bauteile zu
einem Gesamtwiderstand kombinierbar sind!
Überraschung 2: (guter Leiter parallel zu gutem Leiter=fast nix Leiter)
Schalte nun die beiden parallel und bestimme den Widerstand für die Frequenz von 10600 Hz
experimentell!
Z=……………….Ω
Variiere nun die Frequenz und versuche eine Regel zu finden, wie die beiden Bauteile zu
einem Gesamtwiderstand kombinierbar sind!
Überraschung 3: (100Ω+60Ω=ca.120Ω)
Verwende nun die Spule und einen Widerstand von 100Ω und schalte sie in Serie. Bestimme
für die Frequenz von 10600 Hz den Widerstand experimentell!
Z=……………….Ω
Variiere nun die Frequenz und versuche eine Regel zu finden, wie die beiden Bauteile zu
einem Gesamtwiderstand kombinierbar sind!
2
Weitere Beobachtungen
1.) Kondensator
Beobachten wir nun den zeitlichen Verlauf von Stromstärke und Spannung mit einem
Oszilloskop!
Verwenden wir hierzu einen 100Ω-Widerstand und einen 100nF-Kondensator!
Bei einer Frequenz von 500Hz kann relativ flimmerarm beobachtet werden und der Einfluss
des Widerstandes ist gering, da sein Widerstandswert deutlich unter dem des kapazitiven
Widerstandes des Kondensators ist. RI dient lediglich der indirekten Strommessung.
schwarz von
CH1 und CH2
x(CH1 rot)
y(CH2 rot)
CH2 invertiert!
I
1
2
C
3
RI
U≈
Die eigentümliche Beschaltung hat folgenden Grund.
Die schwarzen Buchsen von CH1 und CH2 sind intern verbunden. Würde man also
beispielsweise CH2 rot mit CH1 schwarz verbinden, dann wäre RI kurzgeschlossen!
Weiters gehen wir davon aus, dass wenn der Punkt 2 ein höheres Potenzial besitzt als 3, der
positive Strom von 2 nach 3 fließt. Tatsächlich zeigt dann aber das Oszilloskop einen
negativen Spannungswert, der mit einem negativen Stromstärkenwert U/RI verknüpft ist.
Daher ist CH2 zu invertieren!
Die Messung zeigt nun 2 Dinge!
U0
1

I 0 C
2.) Spannung und Stromstärke sind um (π/2) (=90°) phasenverschoben.
1.) erwartungsgemäß:
Der zeitliche Verlauf von Spannung und Stromstärke ist sinusförmig. Dies ist durch
Zeigerprojektionen auf eine Achse darstellbar!
Wählen wir die y-Achse, so könnten die Funktionen für die Momentanwerte folgend lauten!
U=U0sin(t)
I=I0sin(t+/2) mit I0=U0C.
Die Zeiger drehen sich also mit der Winkelgeschwindigkeit  und sind um /2
phasenverschoben. Die Projektionen der Zeiger auf die y-Achse geben die Momentanwerte
von Stromstärke und Spannung an.
3
2.) Spule
Wiederholen wir das Experiment mit einer Spule, dann ergeben sich folgende ähnliche
Ergebnisse
U=U0sin(t)
I=I0sin(t−/2) mit I0=U0/L.
Die Funktionen unterscheiden sich hier in der Phasenlage, was durch das Argument (t−/2)
zum Ausdruck gebracht wird, während beim Kondensator das Argument (t+/2) beträgt.
Komplexe Zahlen
Kommen mehrere Bauteile ins Spiel, wird die Lage leicht unübersichtlich! Hier hat sich dann
das Modell der komplexen Rechnung bewährt, das mit den experimentellen Befunden in
Einklang zu bringen ist!
Eine komplexe Zahl besteht üblicher weise aus einem Imaginärteil und einem Realteil. In der
Darstellung benutzt man die x-Achse für den Realteil und die y-Achse für den Imaginärteil.
Vielfache der imaginären Einheit i sind nun auf die y-Achse aufgetragen.
Unten ist eine komplexe Zahl Z in der sogenannten Gaußschen Zahlenebene aufgetragen.
im
Z

a
b
re
Z=a+ib
Die Zahl i ist dabei definiert als (1) ; komplexe Zahlen sind nämlich aus der
Notwendigkeit entstanden, dass kein Element der reelen Zahlen Ergebnis aus der Wurzel aus
einer negativen Zahl sein kann!
Nun definiert man den Betrag der komplexen Zahl als Zeigerlänge.
Pythagoräische Überlegungen liefern:
Z  a2  b2
Für den Phasenwinkel erhält man:
b
  arctan
a
Somit lässt sich die komplexe Zahl Z auch folgend darstellen!
Z  Z  (cos   i  sin  )
Eine sehr nützliche Darstellung ist auch die Euler Identität, die aus einer Reihenentwicklung
gewonnen werden kann.
(cos   i  sin  )  ei und e i  1
4
Schreiben wir nun die Widerstände (Impedanzen) in der komplexen Form an, so bedeutet
dies folgendes!
Ohmscher Widerstand
Kurze Überlegung liefert dann auch noch:
Schalte nun die beiden parallel und bestimme den Widerstand für die Frequenz von 10600 Hz
experimentell!
Z=……………….Ω
Variiere nun die Frequenz und versuche eine Regel zu finden, wie die beiden Bauteile zu
einem Gesamtwiderstand kombinierbar sind!
1.Widerstand
Die Spannungsfunktion lautet U(t)=U0cost, die Stromfunktion lautet I(t)=(U0/R)sint.
Unteres Diagramm zeigt die Situation zu einer bestimmten Zeit t.
y
U0
I0
I(t)
x
U(t)
Der Momentanwert ist also die Projektion des Spitzenwertes auf die x-Achse.
Die Zeiger weisen keine Phasenverschiebung auf, das heißt der Quotient U(t)/I(t) ist
konstant.
2.Kondensator
Die Spannungsfunktion lautet U(t)=U0cost, die Stromfunktion lautet I(t)=(U0C)sint.
Unteres Diagramm zeigt die Situation für einen Phasenwinkel t. Die auf der x-Achse
entnommene Projektion von I0 ist nun tatsächlich (I0sint).
5
y
I0
U0
t
t
I(t)
x
U(t)
Der Momentanwert ist also die Projektion des Spitzenwertes auf die x-Achse.
Die Zeiger weisen eine Phasenverschiebung von 90° auf. I(t) kann auch durch die
Cosinusfunktion dargestellt werden. (I(t)=I0cos(t+/2)). Deshalb sagt man auch, dass
bei einer Kapazität der Strom der Spannung vorauseilt.
2.Spule
Die Spannungsfunktion lautet U(t)=U0cost, die Stromfunktion lautet I(t)=(U0/L)sint.
Unteres Diagramm zeigt die Situation für einen Phasenwinkel t. Die auf der x-Achse
entnommene Projektion von I0 ist nun tatsächlich (I0sint).
y
U0
t
I(t)
x
U(t)
t
I0
Der Momentanwert ist also die Projektion des Spitzenwertes auf die x-Achse.
Die Zeiger weisen eine Phasenverschiebung von 90° auf. I(t) kann auch durch die
Cosinusfunktion dargestellt werden. (I(t)=I0cos(t/2)). Deshalb sagt man auch:
„Bei Induktivitäten Ströme sich verspäten.“
Nun kann man Strom und Spannung auch durch komplexe Zahlen darstellen. Die Zeiger
rotieren und man braucht zum Erhalt eines Momentanwertes nur den Realteil eines
komplexen Zeigers entnehmen, da er die Projektion eines Zeigers auf die x-Achse ist.
Wichtig ist auch die Erkenntnis, dass eine Multiplikation eines Komplexen Zeigers mit
6
ei dazu führt, dass der Zeiger um den Winkel  weitergedreht wird, denn eine beliebige
komplexe Zahl Z=Z∙ei ergibt bei einer Multiplikation mit ei:
Z∙ei∙ei=Z∙ei(+).
Der Phasenwinkel der neuen Zahl beträgt also +. Der Betrag ändert sich natürlich
nicht, da der Betrag von eix für jeden Winkel den Wert 1 besitzt.
Mit Hilfe der Euler Identität kann man ganz unmittelbar zeigen: ei(/2)=i, ei(/2)=i und
ei∙0=−ei=1.
Auch folgt aus diesen Formeln: (1/i)=i
Beobachten wir nun den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung bei allen 3
Bauelementtypen, so erkennen wir für Spule, Kondensator und Widerstand:
UR=R∙I; UR(t)=Re(UR); I(t)=Re(I)
UL=iLI; UL(t)=Re(UL); I(t)=Re(I)
UC=i(1/C)I; UC(t)=Re(UC); I(t)=Re(I)
R, iL und i(1/C) sind jeweils der Quotient von U/I. Man bezeichnet sie daher als
Widerstandsoperatoren. Man kann in zusammengesetzten Schaltungen Spule und
Kondensator wie Widerstände behandeln, die den Wert iL bzw. i(1/C) besitzen.
Die Beträge der komplexen Größen Strom und Spannung entsprechen dabei den
Zeigerlängen und daher den Amplituden von Strom und Spannung.
Phasenverschiebung
Die Phase die ein Zeiger hat, lässt sich mit Hilfe der arctan Funktion bestimmen. Man
braucht sich nur den komplexen Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene betrachten.
Beispielsweise gilt dann:
 Im( U) 

 U  arctan 
 Re( U) 
Für die Stromstärke kann man genau das selbe tun und man erhält für die
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung:
=UI
Betrachten wir als Beispiel eine Parallelschaltung aus Spule und Kondensator in der wir
die Stromstärke und die Phasenverschiebung berechnen. Für die Betrachtung von n
Widerständen R1,..Rn gilt:
1
1
1
1


 .... 
R R1 R1
Rn
Hier liegt eine Parallelschaltung von Spule und Kondensator vor. Wir berechnen den
Gesamtwiderstand Z. Z ist eine komplexe Größe und wird auch als Scheinwiderstand
bezeichnet.
7
1
1
1
1
 L 



 Z  i

2
2
Z iL  1    LC  1 
 1   LC 

 i

 iC   L 
1
der Scheinwiderstand unendlich groß wird.
LC
Wir nehmen an, dass zur Zeit t=0 die Spannung maximal ist und den Wert U0 besitzt.
Wir beobachten, dass für  
U U 0 e it  U 0 (1  2 LC) 
(sin t  i cos t )
I 
 
Z
Z
L


I(t )
 U 0 (1  2 LC) 
 sin t
 
L


Wir erkennen auch hier, dass der Strom, der der Schaltung zufließt zu 0 wird, wenn
2=LC gilt. Diesen Fall nennt man Parallelresonanz
Phasenverschiebung:
Wir betrachten die Zeit t=0, wo wir die Spannung so angenommen haben, dass sie voll
auf der reellen Achse liegt und somit die Phase 0 hat. U=0
 Im( I) 

 I  arctan 
Re(
I
)


Für die Stromstärke verschwindet der Realteil, da sint=0 wird.
 U 0 (2 LC  1) 



L


 I  arctan


0




Wir sehen, dass das Argument des arctan entweder +∞ oder ∞ werden kann. Es hängt
davon ab, ob 2LC größer oder kleiner als 1 ist. Der Phasenwinkel der Stromstärke und
daher auch die Phasenverschiebung  ist entweder /2 oder /2.
Meist benötigt man nicht den zeilichen Verlauf, sondern nur das Verhältnis der
Amplituden. Nachdem dies die Beträge der komplexen Zeiger sind, gilt:
I
U

Z
U0
L
1  2 LC
Außerdem braucht man für die Berechnungen oft nur den Phasenunterschied zwischen
Spannung und Strom.
Wegen
8
I
U U 0  eiU U 0 i (U Z )


e
 I 0  eiI
Z
Z
Z  eiZ
Durch Vergleich erhält man: UI=Z=.
Man braucht also nur den Phasenwinkel von Z berechnen. Er entspricht der
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung.
9