Herleitung der Wellengleichung nach Laplace (Meyl 4.4)

Herleitung der Wellengleichung nach Laplace (Meyl 4.4)
Bevor wir die Laplacesche Wellengleichung nach Meyl herleiten, unterziehen wir die Beziehungen,
die Meyl dafür verwendet, einer kritischen Betrachtung. Nach (3.10) ist die Potentialdichte definiert
als
𝐛 = −𝐯 div 𝐁 (∗)
und mit der von Meyl eingeführten vereinfachten Definition
𝐛=
𝐁
τ2
(∗∗)
mit der Relaxationszeit τ2 der Potentialwirbel ergibt sich aus (*):
𝐁 = −τ2 𝐯 div 𝐁 .
Da div 𝐁 ein Skalar ist, ist der Induktionsvektor B nach diesem Ansatz parallel zur Geschwindigkeit v.
Andererseits gilt für die elektrische Stromdichte die Beziehung
𝐣 = −𝐯 div 𝐃 = −ε 𝐯 div 𝐄 ,
d.h. die Stromdichte ist ebenfalls parallel zur Geschwindigkeit v. Weiterhin wird bei Meyl das
Ohmsche Gesetz
𝐣=σ𝐄
verwendet, die Stromdichte ist proportional zum elektrischen Feld. Damit ergibt sich die Parallelität
der Vektoren
𝐁 || 𝐯 || 𝐣 || 𝐄 ,
d.h. das magnetische Feld ist parallel zum elektrischen. Dies ist im allgemeinen nicht der Fall, in den
meisten Materialien (wie auch bei elektromagnetischen Wellen) stehen beide Felder senkrecht
aufeinander. Daher ist der Ansatz (**) nicht widerspruchsfrei. Stattdessen sollte man von der
Äquivalenz der Strom- und Potentialdichegleichungen ausgehen und diese mit verschiedenen
Geschwindigkeiten schreiben:
𝐣 = −𝐯el div 𝐃 ,
𝐛 = −𝐯p div 𝐁 ,
wobei 𝐯el die Geschwindigkeit der elektrischen Ladungsträger und 𝐯p diejenige der Potentialwirbel
ist. Beide müssen unterschiedliche Richtungen haben. Man kann es sich vielleicht so vorstellen, dass
die Potentialwirbel sich entlang der magnetischen Feldlinien bewegen. Beim Magnetfeld eines
Leiters verläuft das Magnetfeld ringförmig um den Stromvektor herum, d.h. j und B stehen senkrecht
aufeinander. Dann stehen auch 𝐯el und 𝐯p senkrecht aufeinander, und der Widerspruch ist
aufgehoben.
Wir kommen nun zur eigentlichen Herleitung der Wellengleichung. Das Ergebnis von Meyl ist:
v 𝟐 grad div 𝐁 − c 𝟐 rot rot 𝐁 =
∂2 𝐁
.
∂t 2
(∗ 6)
Da es, wie oben gezeigt, keine einheitliche Geschwindigkeit v der Strom- und Potentialdichte gibt, ist
Meyls Herleitung zu modifizieren. Da sie obendrein sehr knapp ausgefallen ist, bedarf sie weiterer
Zwischenschritte.
Ausgangspunkt ist Meyls Gleichung (3.6) (jetzt mit 𝐯el geschrieben)
∂𝐁
= (𝐯el grad)𝐁
∂t
(∗∗∗)
sowie obiges
𝐁 = −τ2 𝐯p div 𝐁 ,
mit 𝐯p geschrieben. Gleichung (***) lautet in Komponentenschreibweise
∂B1
∂x1
∂𝐁
∂B2
= vel,2
∂t
∂x2
∂B3
v
( el,3 ∂x3 )
vel,1
(∗∗∗∗).
Mit
div 𝐁 =
∂B1 ∂B2 ∂B3
+
+
∂x1 ∂x2 ∂x3
ergibt sich für die erste Komponente von (****)
∂B1
∂B1
∂
∂ ∂B1 ∂B2 ∂B3
= vel,1
= vel,1
(
+
+
).
(−τ2 vp,1 div 𝐁) = −τ2 vel,1 vp,1
∂t
∂x1
∂x1
∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x3
Die rechte Seite aller drei Komponenten dieser Gleichung kann nicht in geschlossener Vektorform
geschrieben werden. Mit Einführung der Diagonalmatrix
vel,1 vp,1
𝐖=( 0
0
0
vel,2 vp,2
0
0
0 )
vel,3 vp,3
kann diese Gleichung mit einer Matrix-Vektor-Multiplikation geschrieben werden in der Form
∂𝐁
= −τ2 𝐖 grad div 𝐁
∂t
(∗ 𝟓)
(beachte, dass grad eine vektorielle Größe darstellt).
Mit dieser Gleichung gehen wir in die Wellengleichung (4.7) ein, die aus den Feldgleichungen
hergeleitet wurde:
−c 2 rot rot 𝐁 =
∂2 𝐁 1 ∂𝐁 1 ∂𝐁
𝐁
+
+
+
.
2
∂t
τ2 ∂t τ1 ∂t τ1 τ2
Unter Vernachlässigung der Terme mit der Relaxationszeit der Wirbelströme τ1 vereinfacht sich
diese Gleichung zu
−c 2 rot rot 𝐁 =
∂2 𝐁 1 ∂𝐁
+
.
∂t 2 τ2 ∂t
Für den letzten Term setzen wir (*5) ein, wobei sich τ2 herauskürzt:
−c 2 rot rot 𝐁 =
∂2 𝐁
− 𝐖 grad div 𝐁
∂t 2
oder
𝐖 grad div 𝐁 − c 2 rot rot 𝐁 =
∂2 𝐁
.
∂t 2
(7 ∗)
Dies entspricht Meyls Gleichung (*6), enthält aber das Produkt der Geschwindigkeitskomponenten
von 𝐯el und 𝐯p in wesentlich komplexerer Form. Wenn man nun wie Meyl die Vereinfachung
vel,1
𝐯el = ( 0 )
0
macht, d.h. 𝐯el hat nur eine x-Komponente, bedeutet dies, da 𝐯p meistens senkrecht darauf steht,
dass 𝐯p die Form hat
0
𝐯p = (vel,2 ) ,
vel,3
d.h. alle Elemente der Matrix 𝐖 sind null. Damit vereinfacht sich (7*) zu
−c 2 rot rot 𝐁 =
∂2 𝐁
,
∂t 2
was wiederum mit der bekannten Vektoridentität geschrieben werden kann als
c 2 ∆𝐁 − c 2 grad div 𝐁 =
∂2 𝐁
.
∂t 2
Wenn die Divergenz von B verschwindet, d.h. im Falle dass keine Potentialdichte vorhanden ist, ist
dies wieder die „normale“ Laplacesche Wellengleichung. Wenn aber eine Potentialdichte vorhanden
ist, breiten sich Potentialdichte- oder Skalarwellen mit der Lichtgeschwindigkeit c aus. Die Aussage
Meyls, dass für Skalarwellen beliebige Geschwindigkeiten möglich sind, kann über diese Gleichung
also nicht bestätigt werden.