docx - Digitale Schule Bayern

Klasse 10a
1 Der Kreis
Datum: ____________
1. Der Kreis
1.1 Umfang und Flächeninhalt des Kreises sowie die Kreiszahl π
Wir wissen bereits, dass für einen Kreis mit Radius r gilt:
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Umfang:
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
Flächeninhalt
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Für die Kreiszahl π haben wir bisher mit dem Wert 3,14 gerechnet, aber wie wird π genau
definiert?
1.
Unsere Annäherungen für π
Dose und Maßband: 𝑼 = ___________________ 
Messbecher/Reagenzglas und Wasser: 𝑽 = ____________________ 
Weitere Möglichkeiten: ______________________________________________________
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2.
Eine der ältesten Annäherungen für π: Ägypten (2000 v. Chr.)
Klasse 10a
1 Der Kreis
Datum: ____________
3.
Das Verfahren des Archimedes von Syrakus (287 bis 212 v. Chr.)
4.
Stellenjagd:
o
1427: Al-Kasi: arabischer Astronom:
_________________________ Dezimalen
o
1609: Ceulen: Fechtmeister:
_________________________ Dezimalen
o
1949: erste elektronische Großrechner:
_________________________ Dezimalen
o
1987:
_________________________ Dezimalen
o
2009: Daisuke Takahashi:
_________________________ Dezimalen
Definition von π:
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
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Klasse 10a
Datum: ____________
1 Der Kreis
Wir wissen bereits, dass für einen Kreis mit Radius r gilt:
 Umfang
𝑼 = 𝟐𝒓𝝅
(entsteht dadurch, dass alle Kreise ähnlich sind und deshalb immer das Verhältnis von d und
𝑈
U gleich bleibt, d.h. 𝑑 = 𝜋 → 𝑈 = 2𝑟𝜋)
 Flächeninhalt 𝑨 = 𝝅𝒓²
Zeichnung: Zerlegen in viele gleiche Kreissektoren und zusammensetzen zu einem
näherungsweisen Rechteck  𝐴 = 𝑟 ∙ 𝜋𝑟
Für die Kreiszahl π haben wir bisher mit dem Wert 3,14 gerechnet, aber wie wird π genau definiert?
5. Unsere Annäherungen für π
Dose und Maßband: 𝑼 = 𝟐𝒓𝝅  Messen von r und U  𝜋 ≈
Messbecher und Wasser: 𝑽 = 𝝅𝒓²𝒉  Messen von V, r und h  𝜋 ≈
Weitere Möglichkeiten: ___________________________________________________
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HAG: S. 11/1, 3a, 11a
6. Eine der ältesten Annäherungen für π: Ägypten (2000 v. Chr.)
7
𝐴𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠 wurde durch 𝐴𝐴𝑐ℎ𝑡𝑒𝑐𝑘 angenähert, also 𝐴 ≈ 𝑑2
9
Die Ägypter wollten den Flächeninhalt als Quadratzahl darstellen,
7
63
64
2
8
deshalb die Näherung: 𝐴 ≈ 𝑑2 ≈ 𝑑2 ≈ 𝑑 2 = ( 𝑑)
9
81
81
9
Setzt man noch d = 2r, so ergibt sich:
𝟐
𝟖
𝟏𝟔 𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝑨 ≈ ( ∙ 𝟐𝒓) = ( ) 𝒓𝟐 → 𝝅 ≈ ( ) ≈ 𝟑, 𝟏𝟔
𝟗
𝟗
𝟗
7. Das Verfahren des Archimedes von Syrakus (287 bis 212 v. Chr.)
Einschachtelung des Kreises zwischen regelmäßigen Vielecken
(mit 6, 12, 24, 48, 96 Seiten), d.h. die Länge des Umfangs wird
durch die Länge der Umfänge der Vielecke eingegrenzt
Annahme: r = 1
1
2
3
2
1. Schritt: 6- Eck: 𝑟² + (2 𝑠) = 𝑠² → 4 𝑠² = 1² → 𝑠 = 3 √3
6 ∙ 𝑟 < 𝑈 < 6 ∙ 1,545
6 < 𝑈 < 6,928  6 < 2𝑟𝝅 < 6,928  3 < 𝝅 < 3,464
2. Schritt: Verdoppelung der Seiten:
10
10
Letzter Schritt: 96-Eck 3 71 < 𝜋 < 3 70
22
Näherung von π ≈ 7 ≈ 3,14
Möglichkeit: Undendliche Fortsetzung dieses Verfahren
 Beliebig genaue Bestimmung von π
8. Stellenjagd:
o 1427: Al-Kasi: arabischer Astronom: 12 Dezimalen
o 1609: Ceulen: Fechtmeister: 35 Dezimalen
o 1949: erste elektronische Großrechner: 2073 Dezimalen
o 1987: 100 000 000 Dezimalen
o 2009: Daisuke Takahashi 2.576.980.370.000
Definition von π:
 π ist eine irrationale Zahl (d.h. π lässt sich nicht durch einen Bruch darstellen, sondern ist
eine unendliche, nicht-periodische Dezimalzahl)
 π ist eine transzendente Zahl (d.h. π ist auch nicht durch Wurzeln aus rationalen Zahlen
ausdrückbar [dagegen ist √2 eine irrationale aber nicht transzendente Zahl])