Ungenaue Größen

Ungenaue Größen
1. Dezimalen und geltende Ziffern
Dezimalen sind Nachkommastellen, geltende Ziffern beginnt man mit der ersten
Ziffer ungleich Null zu zählen:
Zahl
23,0234
0,0034
20
20,00
2 · 101
3,78 · 10−7
Dezimalen
4
4
0
2
0
9
geltende Ziffern
6
2
2
4
1
3
(a) Begründe folgende Regeln:
Eine Summe ungenauer Zahlen hat höchstens so viele
sinnvolle Dezimalen wie der ungenaueste Summand!
Ein Produkt (Quotient) ungenauer Zahlen hat höchstens
so viele geltende Ziffern wie der ungenaueste Faktor!
(b) a = 2,304, b = 0,00456, c = 3,5 · 10−3 , d = 1,004 · 108 , e = 5 · 10−8
Die in folgenden Termen auftretenden numerischen Werte sind exakt, a, b, c,
d und e sind gerundete Zahlen.
i. Schreibe die Ergebnisse sinnvoll gerundet:
2 a + 3 b;
a2 + b2 ;
(b + c) · d;
a · d;
√
a−b
d+
;
c
d · c3 ;
d · e2
ii. Runde einmal schon die Zwischenergebnisse und einmal nur das Endergebnis:
a
c2
+ 100 · b;
b
e2
Welche Regel folgt daraus?
Lösung: (a) Hat der ungenaueste Summand n Dezimalen, dann ist sein Fehler 5·10−(n+1) . Da sich
die Fehler zum Gesamtfehler ∆x addieren, gilt ∆x > 5 · 10−(n+1) , d.h. das Ergebnis
hat höchstens so viele Dezimalen wie der ungenaueste Summand.
Wir betrachten eine gerundete Zahl mit z geltenden Ziffern, v vor und n nach dem
n
v
z }| { z}|{
Komma: a = • • • • , • • •. Der absolute Fehler der Zahl ist ∆a = 5 · 10−(n+1) . Aus
{z
}
|
z
10v−1 ≦ a < 10v folgt für den relativen Fehler von a:
∆a
∆a
< δa ≦ v−1
v
10
10
Einsetzen von von ∆a = 5 · 10−(n+1) liefert mit z = v + n
5 · 10−(z+1) < δa ≦ 5 · 10−z
1
Für den relativen Fehler einer Zahl a mit z geltenden Ziffern gilt also δa ≈ 10−z . Da
sich bei Produkten und Quotienten die relativen Fehler addieren, ist der Gesamtfehler
größer als der größte Einzelfehler, die Zahl der geltenden Ziffern des Ergebnisses also
höchstens gleich der Zahl der geltenden Ziffern des ungenauesten Faktors.
(b) Die Ziffern nach dem senkrechten Strich sind nicht mehr gültig:
2 a + 3 b = 4,608 + 0,0136|8 = 4,62168 ≈ 4,622
a2 + b2 = 5,308|416 + 0,0000207|936 = 5,308|436794 = 5,308
(b + c) · d = (0,00456 + 0, 0035) · 1,004 · 108 = 0,0080|6 · 1,004 · 108 = 80|9224 ≈ 8,1 · 105
a · d = 2,313|216 · 108 ≈ 2,313 · 108
√
2,299|44
a−b
d+
= 1001|9,98 +
= 1001|9,98 + 65|6,98 = 1067|6,96290 ≈ 1,068 · 104
c
0,0035
d · c3 = 1,004 · 108 · 4,2|875 · 10−8 = 4,3|0465 ≈ 4,3
d · e2 = 1,004 · 108 · 2,|5 · 10−15 = 2,|51 · 10−7 ≈ 3 · 10−7
a
+ 100 b = 505,|2631579 + 0,456 ≈ 505 + 0,456 = 505,|456 ≈ 505
b
a
+ 100 b = 505,|2631579 + 0,456 = 505,|7191579 ≈ 506
b
c2
0,000012|25
0,000012
=
≈
= 4 · 109
2
−15
e
2,|5 · 10
3 · 10−15
0,000012|25
c2
=
= 4,|9 · 109 ≈ 5 · 109
2
e
2,|5 · 10−15
2