3. Schriftliche Wiederholung aus Physik Donnerstag, 27. Februar 1997
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3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 4 ck - lunzer ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) Freitag,24. März 2017 Gruppe A Name: Zwei Punkte A und B sollen durch eine Leitung verbunden werden. Die Entfernungen betragen: a = 5 km, b = 7 km. Die Errichtungskosten der Verbindung AX sind um 70 % höher als die Kosten für die Strecke XB. - Berechnen Sie die Längen von AX und XB so, dass die Gesamtkosten minimal sind. Z(x) = 1,7 52 + x2 + 7 – x für x ∈ [0; 7]. Error! = Error! – 1 = 0 (1,7x)2 = 25 + x2 x = 3,64 km AX = 6,18 km und BX = 3,36 km 2. b) Ein oben offenes zylinderförmiges Gefäß (Radius r, Höhe h) mit dem Volumen 2 000 cm3 soll so dimensioniert werden, dass die Materialkosten minimal werden. Dabei kostet das Material für den Boden drei Mal so viel wie für den Mantel. Volumen eine Zylinders = r2 h Mantel eines Zylinders = 2r h Grund- bzw. Deckfläche = r2 - Berechnen Sie Radius und Höhe dieses Gefäßes. Z = 3 · Grundfläche + Mantel = 3r2 + 2r h mit 2 000 = r2 h h = Error! Z(r) = 3r2 + 2 r Error! = 3r2 + Error! Error! = 6r – Error! = 0 r = 5,96 cm und h = 17,92 a) Eine quaderförmige Lagerhalle (Skizze) mit der Höhe 5 m soll so gebaut werden, dass die Grundfläche maximal wird. Die Vorderfront (Abmessung b * h) kostet dabei um 200 % mehr als die anderen Begrenzungsflächen pro Flächeneinheit. Boden und Decke sind mit zu berücksichtigen. Das verplanbare Budget für die Errichtung der Wand- bzw. Boden und Deckenflächen beträgt 50 000 GE. Die Errichtungskosten für die Wandflächen (außer der Frontfläche) betragen 3 GE/ME - Erstellen Sie eine Zielfunktion und die Gleichung für die Nebenbedingung. Z = b t → Maximum NB: 3 (15b + 5b+ 10t + 2 bt) = 50 000 b) Die Zielfunktion eines Optimierungsbeispiels lautet: Z(a) = 2a3 – 24a2 – 5a + 600 mit der Definitionsmenge Da = [0; 7]. - Berechnen Sie das absolute Minimum für diese Zielfunktion. Z‘(a) = 6a2 – 48a – 5 = 0 a1 = –0,1 und a2 = 8,1 beider außerhalb von Da. Daher Z(0) = 600 und Z(7) = 75 ist das absolute Minimum A 3. a) Eine Markt hat eine Nachfragefunktion von pN = 0,1(x – 14)(x – 20) und eine lineare Angebotsfunktion mit pA = 2x + 10. - Berechnen Sie den Marktpreis - Berechnen Sie die Sättigungsmenge - Berechnen Sie den Angebotsüberhang bei einem Marktpreis von 20 GE/ME. pA(x) = pN(x) x = 3,57 und p = 17,14 GE/ME SM = 14 ME 20 = pA(x) xA = 2,54 ME 20 = pN(x) xN = 5 Angebotsüberhang = 5 – 2,54 = 2,46 ME b) - Berechnen Sie die Elastizität der Nachfrage für p N (x) = 200 – 3x bei einem Preis von 140 GE/ME. - Erläutern Sie, wie sich die Nachfrage bei einer Elastizität von –0,7 ändert, wenn man den Preis um 10 % verringert. 140 = 200 – 3x x = 20 ϵ = Error! = – 2,33 Nachfragesteigerung um 7 % 4. a) Ein Betrieb hat eine Kostenfunktion K(x) = 3x2 + 7x + 10 und verkauft mit einem Preis von 49 GE/ME. Berechnen Sie den maximalen Gewinn. K‘(x) = 6x + 7 = E‘(x) = 49 ⇒ x = 7 G(7) = E(7) – K(7) = 343 – 206 = 137 GE b) - Zeichnen Sie in die nebenstehende Grafik eine Erlösfunktion für den konstanten Preis 7 GE/ME ein und lesen Sie die Gewinngrenzen so genau wie möglich ab. Gewinn zwischen 1,7 ME und 10 ME 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 4 ck - lunzer ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) Freitag,24. März 2017 Gruppe B Name: Zwei Punkte A und B sollen durch eine Leitung verbunden werden. Die Entfernungen betragen: a = 5 km, b = 8 km. Die Errichtungskosten der Verbindung AX sind um 80 % höher als die Kosten für die Strecke XB. - Berechnen Sie die Längen von AX und XB so, dass die Gesamtkosten minimal sind. Z(x) = 1,8 52 + x2 + 8 – x für x ∈ [0; 8]. Error! = Error! – 1 = 0 (1,8x)2 = 25 + x2 x = 3,34 km AX = 6,01 km und BX = 4,66 km 2. b) Ein oben offenes zylinderförmiges Gefäß (Radius r, Höhe h) mit dem Volumen 5 000 cm3 soll so dimensioniert werden, dass die Materialkosten minimal werden. Dabei kostet das Material für den Boden drei Mal so viel wie für den Mantel. Volumen eine Zylinders = r2 h Mantel eines Zylinders = 2r h Grund- bzw. Deckfläche = r2 - Berechnen Sie Radius und Höhe dieses Gefäßes. Z = 3 · Grundfläche + Mantel = 3r2 + 2r h mit 5 000 = r2 h h = Error! Z(r) = 3r2 + 2 r Error! = 3r2 + Error! Error! = 6r – Error! = 0 r = 8,1 cm und h = 24,3 cm a) Eine quaderförmige Lagerhalle (Skizze) mit der Höhe 5 m soll so gebaut werden, dass die Grundfläche maximal wird. Die Vorderfront (Abmessung b * h) kostet dabei um 200 % mehr als die anderen Begrenzungsflächen pro Flächeneinheit. Boden und Decke sind mit zu berücksichtigen. Das verplanbare Budget für die Errichtung der Wand- bzw. Boden und Deckenflächen beträgt 50 000 GE. Die Errichtungskosten für die Wandflächen (außer der Frontfläche) betragen 3 GE/ME - Erstellen Sie eine Zielfunktion und die Gleichung für die Nebenbedingung. Z = b t → Maximum NB: 3 (15b + 5b+ 10t + 2 bt) = 50 000 b) Die Zielfunktion eines Optimierungsbeispiels lautet: Z(a) = 20a3 – 240a2 – 50a + 6 000 mit der Definitionsmenge Da = [0; 7]. - Berechnen Sie das absolute Minimum für diese Zielfunktion. Z‘(a) = 60a2 – 480a – 50 = 0 a1 = –0,1 und a2 = 8,1 beider außerhalb von Da. Daher Z(0) = 6 000 und Z(7) = 750 ist das absolute Minimum A 3. a) Eine Markt hat eine Nachfragefunktion von pN = 0,5(x – 14)(x – 20) und eine lineare Angebotsfunktion mit pA = 10x + 50. - Berechnen Sie den Marktpreis - Berechnen Sie die Sättigungsmenge - Berechnen Sie den Angebotsüberhang bei einem Marktpreis von 100 GE/ME. pA(x) = pN(x) x = 3,57 und p = 85,7 GE/ME SM = 14 ME 100 = pA(x) xA = 2,54 ME 20 = pN(x) xN = 5 Angebotsüberhang = 5 – 2,54 = 2,46 ME b) - Berechnen Sie die Elastizität der Nachfrage für pN (x) = 200 – 3x bei einem Preis von 110 GE/ME. - Erläutern Sie, wie sich die Nachfrage bei einer Elastizität von –0,7 ändert, wenn man den Preis um 10 % verringert. 110 = 200 – 3x x = 30 ϵ = Error! = – 1,22 Nachfragesteigerung um 7 % 4. a) Ein Betrieb hat eine Kostenfunktion K(x) = 3x2 + 7x + 10 und verkauft mit einem Preis von 55 GE/ME. Berechnen Sie den maximalen Gewinn. K‘(x) = 6x + 7 = E‘(x) = 55 ⇒ x = 8 G(8) = E(8) – K(8) = 440 – 258 = 182 GE b) - Zeichnen Sie in die nebenstehende Grafik eine Erlösfunktion für den konstanten Preis 7 GE/ME ein und lesen Sie die Gewinngrenzen so genau wie möglich ab. Gewinn zwischen 1,7 ME und 10 ME 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 4 ck - lunzer ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. Freitag,24. März 2017 Gruppe A Name: a) Zwei Punkte A und B sollen durch eine Leitung verbunden werden. Die Entfernungen betragen: a = 5 km, b = 7 km. Die Errichtungskosten der Verbindung AX sind um 70 % höher als die Kosten für die Strecke XB. - Berechnen Sie die Längen von AX und XB so, dass die Gesamtkosten minimal sind. b) Ein oben offenes zylinderförmiges Gefäß (Radius r, Höhe h) mit dem Volumen 2 000 cm3 soll so dimensioniert werden, dass die Materialkosten minimal werden. Dabei kostet das Material für den Boden drei Mal so viel wie für den Mantel. Volumen eine Zylinders = r2 h Mantel eines Zylinders = 2r h Grund- bzw. Deckfläche = r2 - Berechnen Sie Radius und Höhe dieses Gefäßes. A 2. 3. a) Eine quaderförmige Lagerhalle (Skizze) mit der Höhe 5 m soll so gebaut werden, dass die Grundfläche maximal wird. Die Vorderfront (Abmessung b * h) kostet dabei um 200 % mehr als die anderen Begrenzungsflächen pro Flächeneinheit. Boden und Decke sind mit zu berücksichtigen. Das verplanbare Budget für die Errichtung der Wand- bzw. Boden und Deckenflächen beträgt 50 000 GE. Die Errichtungskosten für die Wandflächen (außer der Frontfläche) betragen 3 GE/ME - Erstellen Sie eine Zielfunktion und die Gleichung für die Nebenbedingung. b) Die Zielfunktion eines Optimierungsbeispiels lautet: Z(a) = 2a 3 – 24a2 – 5a + 600 mit der Definitionsmenge Da = [0; 7]. - Berechnen Sie das absolute Minimum für diese Zielfunktion. a) Eine Markt hat eine Nachfragefunktion von pN = 0,1(x – 14)(x – 20) und eine lineare Angebotsfunktion mit pA = 2x + 10. - Berechnen Sie den Marktpreis - Berechnen Sie die Sättigungsmenge - Berechnen Sie den Angebotsüberhang bei einem Marktpreis von 20 GE/ME. b) - Berechnen Sie die Elastizität der Nachfrage für p N (x) = 200 – 3x bei einem Preis von 140 GE/ME. - Erläutern Sie, wie sich die Nachfrage bei einer Elastizität von –0,7 ändert, wenn man den Preis um 10 % verringert. A 4. a) Ein Betrieb hat eine Kostenfunktion K(x) = 3x2 + 7x + 10 und verkauft mit einem Preis von 49 GE/ME. Berechnen Sie den maximalen Gewinn. b) - Zeichnen Sie in die nebenstehende Grafik eine Erlösfunktion für den konstanten Preis 7 GE/ME ein und lesen Sie die Gewinngrenzen so genau wie möglich ab. 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 4 ck - lunzer ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. Freitag,24. März 2017 Gruppe B Name: a) Zwei Punkte A und B sollen durch eine Leitung verbunden werden. Die Entfernungen betragen: a = 5 km, b = 8 km. Die Errichtungskosten der Verbindung AX sind um 80 % höher als die Kosten für die Strecke XB. - Berechnen Sie die Längen von AX und XB so, dass die Gesamtkosten minimal sind. b) Ein oben offenes zylinderförmiges Gefäß (Radius r, Höhe h) mit dem Volumen 5 000 cm 3 soll so dimensioniert werden, dass die Materialkosten minimal werden. Dabei kostet das Material für den Boden drei Mal so viel wie für den Mantel. Volumen eine Zylinders = r2 h Mantel eines Zylinders = 2r h Grund- bzw. Deckfläche = r2 - Berechnen Sie Radius und Höhe dieses Gefäßes. B 2. 3. a) Eine quaderförmige Lagerhalle (Skizze) mit der Höhe 5 m soll so gebaut werden, dass die Grundfläche maximal wird. Die Vorderfront (Abmessung b * h) kostet dabei um 200 % mehr als die anderen Begrenzungsflächen pro Flächeneinheit. Boden und Decke sind mit zu berücksichtigen. Das verplanbare Budget für die Errichtung der Wand- bzw. Boden und Deckenflächen beträgt 50 000 GE. Die Errichtungskosten für die Wandflächen (außer der Frontfläche) betragen 3 GE/ME - Erstellen Sie eine Zielfunktion und die Gleichung für die Nebenbedingung. b) Die Zielfunktion eines Optimierungsbeispiels lautet: Z(a) = 20a 3 – 240a2 – 50a + 6 000 mit der Definitionsmenge Da = [0; 7]. - Berechnen Sie das absolute Minimum für diese Zielfunktion. a) Eine Markt hat eine Nachfragefunktion von pN = 0,5(x – 14)(x – 20) und eine lineare Angebotsfunktion mit pA = 10x + 50. - Berechnen Sie den Marktpreis - Berechnen Sie die Sättigungsmenge - Berechnen Sie den Angebotsüberhang bei einem Marktpreis von 100 GE/ME. b) - Berechnen Sie die Elastizität der Nachfrage für p N (x) = 200 – 3x bei einem Preis von 110 GE/ME. - Erläutern Sie, wie sich die Nachfrage bei einer Elastizität von –0,7 ändert, wenn man den Preis um 10 % verringert. B 4. a) Ein Betrieb hat eine Kostenfunktion K(x) = 3x2 + 7x + 10 und verkauft mit einem Preis von 55 GE/ME. Berechnen Sie den maximalen Gewinn. b) - Zeichnen Sie in die nebenstehende Grafik eine Erlösfunktion für den konstanten Preis 7 GE/ME ein und lesen Sie die Gewinngrenzen so genau wie möglich ab.
