Gerechtigkeit bei der Spiele AG? – Median, Modus, Boxplot

Gerechtigkeit bei der Spiele AG? – Median, Modus, Boxplot
Gibt es eine Gerechtigkeit bei der Spiele AG? Das Unternehmen ist mit 11 Personen als klein
einzustufen, das Gehaltsgefüge allerdings eher als groß. Die Lohnbuchhaltung gibt dazu folgende
Zahlen aus:
Personenanzahl
Monatsgehalt in €
1
1.000
2
1200
3
1.500
4
2.000
1
8.000
Der Arbeitgeber ist der Top- Verdiener und meint, das Gehaltsgefüge rechtfertigen zu können.
Immerhin, so seine Meinung, verdient man im Unternehmen durchschnittlich mehr als 2.150€
pro Monat. Das ist in der Branche ein recht guter Schnitt, so seine Meinung.
Die Mitarbeiter sind verärgert und geben zu bedenken, dass auf einen Blick schon erkennbar ist,
dass der Durchschnittswert zwar rechnerisch stimmt, der Arbeitgeber dafür aber mächtig
getrickst hat.
In der Tat hat der Arbeitgeber bewusst den Durchschnittswert als Argument genutzt, da sein
Gehalt diesen hochgezogen hat. Mit dem Median wäre das anders gewesen:
Dazu erstellt man eine sortierte Liste bzw. eine Gehaltsrangliste:
Person
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Monatsgehalt
1.000 1.200 1.200 1.500 1.500 1.500 2.000 2.000 2.000 2.000 8.000
in €
Der Durchschnitt wird nicht als Mittelwert der Gehälter berechnet.
Nachdem die Angehörigen des Unternehmens nach Ihren Gehältern sortiert wurden (siehe
obere Tabelle), werden die Personen bis zur Gehaltsmitte „abgezählt“. Die Person in der
Ranglistenmitte gibt das „mittlere“ Gehalt an, den Median.
Nochmal zur Veranschaulichung des Medians:
Den Arbeitnehmern der Spiele AG sollte klar werden, dass „Ausreißer“ wie das Gehalt des
Arbeitgebers beim Median weniger Berücksichtigung findet.
Zudem: Betrachtet man nur das Gehalt der Arbeitnehmer, fällt auch der arithmetischen
Mittelwert deutlich geringer aus.
Übrigens der Median des Gehalts bei 10 Arbeitnehmern wird berechnet, indem das Gehalt der 5.
und 6. Person gemittelt wird.
Berechnung des arithmetischen Mittelwertes und des Median bei 10 Arbeitnehmern:
Für eine geeignete Veranschaulichung mit dem Median werden Boxplots verwendet (siehe
unten). In einem Boxplot wird aufgelistet, was der Mindest- als auch der Höchstverdienst ist,
der Median wird aufgeführt sowie auch die Quartile.
Bei 10 Personen betrachtet man beim 1. Quartil nur die 5 Personen der ersten Hälfte und
berechnet dann den Median für dieses Intervall.
Bei 11 Personen lässt man die 6. Person aus und betrachtet ebenso nur die ersten fünf Personen.
Beim 3.Quartil ist die Überlegung völlig gleich: bei insgesamt 10 Personen betrachtet man die
letzten 5 Personen. Bei 11 Personen wird die sechste Person vernachlässigt; es werden die
letzten 5 Personen in Betracht gezogen und dann der Median berechnet.
Das Boxplot für den Fall, dass das Gehalt aller 11 Personen betrachtet wird:
Boxplot für 10 Personen (ohne Arbeitgeber):
Im Übrigen:
Der Modus, das ist der Wert, der am häufigsten aufgelistet wird, liegt bei der Spiele AG (11
Personen) bei einem Monatsgehalt von 2.000€.
Aufgabe 1
Bei Tarifverhandlungen nimmt die Gewerkschaft „Gute Arbeit“ für ihre Argumentation bei
Tarifverhandlungen gerne folgende Tabelle:
Monatseinkommen
Anzahl
2.000 EUR
70
3.000 EUR
20
5.000 EUR
8
8.000 EUR
2
a) Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten, den (arithmetischen) Mittelwert und die
Standardabweichung. Nutzen Sie dazu die leeren Spalten der Tabelle!
b) Bestimmen Sie den Median.
c) Geben Sie der Gewerkschaft mit Hilfe der Tabelle ein Argument für die
Tarifverhandlungen an die Hand.
d) Beschreiben Sie die Veränderung des Mittelwertes und die des Median, wenn die beiden
Topverdiener (bisher 8.000€/ Monat) nun 10.000€ im Monat verdienen würden.
Aufgabe 2
Die Geschäftsleitung der Spiele AG möchte die Verkaufsstrategie des Unternehmens ändern und
zieht zur Analyse die Verkaufszahlen aller Produkte zu Rate. Entsprechende Informationen sind
dem folgenden Schaubild zu entnehmen:
Verkaufszahlen
1800
1600
1400
1200
1380
1440
1400
2007
2008
2009
1510
1520
2010
2011
1600
1600
1510
1420
1100
1000
800
600
400
200
0
2000
2012
2013
2014
2015
a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel als auch die Standardabweichung!
Nutzen Sie dazu die vorgegebene Tabelle!
b) Bestimmen Sie den Median und die Quartile und zeichnen Sie dazu ein Boxplot!
c) Begründen Sie den (größeren) Unterschied des berechneten Mittelwertes zum Median.
Aufgabe 3
In einem Industriebetrieb werden Drahtstift der Länge 100 mm produziert. Aufgrund von
Kundenreklamationen wurden vor und nach der Nachjustierung der Maschine je eine Stichprobe
genommen, bei der 1000 Drahtstifte auf ihre Länge hin untersucht wurden. Die Werte vor der
Nachjustierung können Sie der folgenden Tabelle entnehmen:
Länge
Absolute
Relative
Häufigkeit
Häufigkeit
xi in
ki
hi
mm
95
18
96
42
97
104
98
122
99
161
100
197
101
96
102
30
103
90
104
140
Summe
a) Vervollständigen Sie die Tabelle und berechnen Sie den (arithmetischen) Mittelwert, die
Standardabweichung und die Varianz.
b) Aufgrund von Messungenauigkeiten im Bereich bis 96 mm stellte man erst später fest,
dass 5 von den 18 Drahtstiften nicht 95 mm sondern lediglich 93 mm lang waren.
Beschreiben Sie die Auswirkung auf den (arithmetischen) Mittelwert als auch auf den
Median!
c) Bei der Stichprobe nach der Nachjustierung wurden folgende Werte ermittelt:
Mittelwert: 100,03 mm
Varianz: 1,7891 mm²
Standardabweichung: ca. 1,34 mm
Vergleichen Sie die beiden Stichproben (aus a) und c)) und beurteilen Sie, ob die
Nachjustierung ein Erfolg war.