Quantitativer Zugang zur Speziellen Relativitätstheorie mit Hilfe der Modellbildungssoftware Moebius ––– Arbeitsaufträge ––– Bemerkung: Halten Sie Ihre Arbeitsergebnisse protokollarisch fest! Arbeitsauftrag 1 – Erstellen einer Simulation eines beschleunigten Körpers Simulieren Sie die Bewegung eines Körpers (m = 0,5 kg), der durch eine konstante Kraft (F = 5 N) beschleunigt wird! Beachten Sie dabei, dass die Zunahme der kinetischen Energie eine Zunahme der Masse bedeutet! (Wiederholungen der Simulation: 100 mal) Hilfestellungen: Aktivieren Sie das Häkchen für „Groß-, Kleinschreibung“, damit Sie die Variablen p für den Impuls und P für die Leistung verwenden können. Nennen Sie die Simulation „Relativistische Beschleunigung“. Da sich die Masse des Körpers ändert, können Sie nicht die einfachen Bewegungsgleichungen nutzen (v = a∙t , …). Bestimmen Sie die Geschwindigkeitsänderung durch die Änderung des Impulses! Nutzen Sie die Gleichungen vom Arbeitsblatt „Mathematisch-Physikalische Vorbetrachtungen“! Die durch die Kraft F aufgebrachte Leistung bedeutet einen Zuwachs der kinetischen Energie. Nutzen Sie für die Zunahme der kinetischen Energie ebenfalls die Gleichungen aus den Vorbetrachtungen. Die Gesamtenergie des Körpers ist die Summe aus seiner sogenannten Ruheenergie E0 und der zunehmenden kinetischen Energie. Die Ruheenergie entspricht dem Energieäquivalent zu seiner Anfangsmasse (E 0 = m0∙c²) und bleibt die ganze Zeit konstant. Vergessen Sie nicht, den Wert für die Masse zu aktualisieren! Führen Sie auch eine Größe t ein, welche die zunehmende Zeit repräsentiert. Aufgaben: 1. Skizzieren Sie das v-t- sowie das m-v-Diagramm! Beschreiben und begründen Sie, auch unter Benutzung der Tabellenansicht, ihre Erkenntnisse! 2. Erhöhen Sie die Zahl der Wiederholungen (ca. 2000 – 20000) sowie die Zeitspanne für ein Zeitintervall (ca. 10000 – 100000). Variieren Sie diese Werte, sodass Sie deutliche Effekte in den Diagrammen sehen. 3. Skizzieren Sie erneut das v-t- und das m-v-Diagramm. Beschreiben Sie Ihre Erkenntnisse! 4. Versuchen Sie den Verlauf der Graphen zu begründen. (Hinweis: Newtonsches Grundgesetz) Arbeitsauftrag 2 – Vergleich mit der klassischen Mechanik Erweitern Sie Ihre Simulation so, dass nun auch die Bewegung des Körpers im klassischen Fall, also ohne Massenzunahme, beschrieben wird! Verwenden Sie dazu nun die bekannten Gleichungen der klassischen Mechanik. Lassen Sie auch den klassischen Impuls berechnen. Aufgaben: 1. (Ohne Notizen) Stellen Sie im Moebius-Diagramm gleichzeitig den relativistischen und den klassischen Impuls in Abhängigkeit der Zeit dar. Was fällt auf? 2. Skizzieren Sie in einem Diagramm den graphischen Verlauf der relativistisch und der klassisch berechneten kinetischen Energie in Abhängigkeit des Impulses! Beschreiben Sie Ihre Erkenntnisse im Hinblick auf kleine und große Impulse (bzw. Geschwindigkeiten)! Arbeitsauftrag 3 – Quantitative Beschreibung der Massenzunahme Finden Sie eine Formel für die (relativistische) Masse eines Körpers in Abhängigkeit von seiner Geschwindigkeit! Überprüfen Sie die Gültigkeit Ihrer Formel, indem Sie sie als Gleichung in Ihr Programm einbetten und im Diagramm mit der simulierten Masse vergleichen! Hilfestellungen: Stellen Sie noch einmal die simulierte Masse in Abhängigkeit der Geschwindigkeit dar und überlegen Sie sich den Definitionsbereich der Funktion m(v). Werfen Sie einen Blick auf die untersuchten Funktionen auf dem Arbeitsblatt „Mathematisch-Physikalische Vorbetrachtungen“. (Zusatz: Arbeitsauftrag 4 – Variation der Ausgangsgrößen) „Spielen“ Sie mit Ihrer Simulation! Verändern Sie die Anfangsmasse oder die beschleunigende Kraft und beobachten Sie die Ergebnisse. Passen Sie gegebenenfalls die Anzahl der Wiederholungen oder die Zeitspanne für ein Zeitintervall an. Notieren Sie sich mindestens zwei Erkenntnisse! Arbeitsauftrag 5 – Grenzgeschwindigkeit bei relativer Bewegung Betrachten Sie folgendes Szenario: Die Beschleunigung des Körpers aus Auftrag 1 wird nun von einem Bezugssystem aus beobachtet (z.B. aus einem fliegenden Raumschiff), das sich mit 20% der Lichtgeschwindigkeit (v0 = 0,2∙c) auf den Körper zu bewegt. Der Körper hat also zu Beginn seiner Beschleunigung bereits die (relative) Anfangsgeschwindigkeit v0. Verändern Sie Ihre Simulation so, dass diese Anfangsgeschwindigkeit berücksichtigt wird! Beachten Sie vor Durchführung der Simulation die Aufgabe 1! Hilfestellungen: Sie können die Anfangsgeschwindigkeit nicht direkt als Anfangsgröße einbauen. Berechnen Sie die kinetische Energie, die der Körper zu Beginn hat, und geben Sie diesen Wert als Startwert für die kinetische Energie ein. Außerdem müssen Sie den Startwert für den Impuls anpassen. Aus Auftrag 2 wissen Sie, dass Sie auch den relativistischen Impuls mit der klassischen Formel berechnen können, wobei vorher die erhöhte Masse berechnet werden muss. Aufgaben: 1. Formulieren Sie vor Durchführung der Simulation eine Vermutung über die neue Grenzgeschwindigkeit! 2. Führen Sie die Simulation durch und beschreiben Sie Ihre Beobachtung im v-t-Diagramm! 3. Führen Sie die Simulation noch für ein weiteres Bezugssystem mit einer anderen Relativgeschwindigkeit (z.B. v0 = 0,9∙c) durch! 4. Formulieren Sie eine Regel für Grenzgeschwindigkeit in Abhängigkeit des gewählten Bezugssystems!