Messtechnik - VLab
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Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 Meßtechnik Vorlesungen Wirtschaftsingenieurwesen [Elektrotechnik] und Ingenieurswesen [Elektronik] - FILS Studienplan 2017: 14 x 2 = 28 Stunden Vorlesung (Dienstags 14-16, CB105; Freitags 9-12) Übungen: 14 Stunden (Gruppe 1223G: Montags14-16, EI106-ungerade Wochen) Übungen: 14 Stunden (Gruppe 1221G: Montags14-16, EI106-gerade Wochen) Labor (nur Gruppe 1223G): Mittwoch 12-14, EB109 Kursleiter: Seminar: Labor: Prof.dr.ing. Mihaela Albu S.l. dr. ing. Valentin Boicea Conf. dr. ing. Viorel Petre Mihaela Albu [email protected] 1/31 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 Vorlesungen-Schwerpunkte: Einführung. Lernziele der Vorlesung; Maßeinheiten und Maßsysteme; Signalen und ihre Bewertung (Mittelwerte, Effektivwerte; Pegel). Ermittlung der Messunsicherheit. Messfehler. Messunsicherheiten. Elektromechanische Meßinstrumente. Das Drehspulmeßwerk. Meßbereichserweiterung. Drehspul-ampermeter, voltmeter, ohmmeter. Das Verhalten bei sinusförmigen Größen. Spitzenwert - , Mittelwert – Effektivwert – Voltmeter mit Dreshspulmeßwerk. Ferromagnetische, elektrostatische, elektrodynamische Meßwerke. Elektrodynamische Wattmeter. Zähler (Induktionsmeßwerk). Das Oszilloskop. Mihaela Albu [email protected] 2/31 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 Vorlesungen-Schwerpunkte: Wandler und Teiler. Spannungsteiler (reiner Widerstandsteiler, gemischte RC Teiler). Shunts. Meßwandler. Messungen in Drehstromssytemen. Wirkleistungsmessung mit Hilfe der Wattmeter. Blindleistungsmessung. Wirk- und Blindleistungsenergiemessung. Direktes Einschalten der Meßgeräte und Meßschaltungen mit Meßwandler. Meßverstärker. Verstärker. Idealer und realer Verstärker. Meßverstärker. Invertierende – und nichtinvertierende Verstärker-schaltungen. Komparator. Anwendungen in der Meßtechnik. Präzisionsmeßmethode. Gleichstrombrücke. Wechselstrombrücke. Kompensatoren. Selbstabgleichende Brücke und -Kompensatoren. Mihaela Albu [email protected] 3/31 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 Vorlesungen-Schwerpunkte: Digitales Messen. Einleitung. Digitale Signale. Abtast-theorem. Codierung und Verarbeitung digitaler Signale. Zählschaltungen. Digitale Frequenz - und Periodendauermessung. Phasenwinkelmessung. A/D und D/A Wandler. Digital-Analog Wandler. Analog-Digital Wandler (Parallel-, Nachlaufender-, Sägezahn-, Integrierte – Wandler). Direktcodierung. Spannungsfrequenzwandler (Dual-Slope, MultipleSlope). Delta-sigma Wandler. Digitale Meßgeräte. Digitales Oszilloskop. Logikanalysor. Digitaler Spektrumanalysor. Computergesteuerte Messtechnik. Datenbusse. Datenerfassungssysteme – Ausführungsformen und Anwendungen. Moderne (smart) Zähler in den Energiesystemen. Synchronisierte Messsysteme. IoT und Messtechnik. Mihaela Albu [email protected] 4/31 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 Literaturverzeichnis [1] Al. Ferrero, D. Petri, P. Carbone, and M.Catelani, Eds., Modern Measurements: Fundamentals and Applications, Wiley, 2015 [2] Reinhard Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer, 2007. [3] Elmar Schrüfer, Elektrische Meßtechnik, Hanser Verlag, 1992. [4] Gabriele d‘ Antona, Al. Ferrero, Digital Signal Processing for Measurement Systems, Springer, 2006 [5] Niebuhr, Lindner, Physikalische Messtechnik mit Sensoren, Oldenbourg, 2002 [6] Bonfig, Liu, Virtuelle Instrumente und Signalverarbeitung, VDE Verlag, 2004 [7] Pfeiffer, Simulation von Meßschaltungen, Springer, 1994 [8] http://www.vlab.pub.ro/courses/messtechnik/ [9] Armin Schöne, Meßtechnik, Springer Verlag, 1997 Mihaela Albu [email protected] 5/31 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 Schätzung der Studenten Kentnisse und Aktivität: Prüfung Juni 2017: 50% Test (beim Kurs): 10% Hausaufgaben : 30% Seminar /Labor : 20% Kommunikation: http://www.vlab.pub.ro/courses/messtechnik/ [email protected] Sprechstunden: EB129, Dienstags:16-18 Mihaela Albu [email protected] 6/31 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Unsicherheitsrechnung Dieser Unterschied ist durch F = A - W, die absolute Unsicherheit (engl.: uncertainty) gemessen. F kann positives oder negatives Vorzeichen haben. Übliche Schreibweise: X X m X w Die Beschreibung de Meßgenauigkeit erfolgt in der Praxis üblicherweise durch Angabe der möglichen Ungenauigkeit, also der denkbaren Abweichungen bezogen auf den theoretisch richtigen Wert (Xw). Da diese Abweichungen nach beiden Seiten vom Soll-Wert erfolgen können, ist somit ein ganzer Bereich für den auftretenden IstWert gegeben: X w X m X max ; X max 0 Mihaela Albu [email protected] Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Messfehler. Unsicherheitsrechnung Unsicherheiten können in unterschiedlicher Weise beschrieben werden. Wir unterscheiden zwischen relativen und absoluten Angaben. Relative Angaben erfolgen als Prozentsatz von einem Bezugswert oder von dem Meßwert (z.B. 230 V 10%) müssen also im Bedarfsfall in absolute Größen umgerechnet werden. Bei absoluten Angaben erfolgt die Aussage in der jeweils zutreffenden Einheit. Die Spezifikationen der für einen Meßaufbau verwendeten Meßgeräte müssen unbedingt beachtet werden. Diese Angaben können dem Dattenblatt (engl.: data sheet oder leaflet) für das jeweilige Gerät entnommen werden. Nur die Kenntnis dieser vom Idealzustand unvermeidbaren Abweichungen stellt sicher, daß Meßergebnisse richtig interpretiert werden können. Eine wichtige Angabe im Datenblatt eines Gerätes ist die Klasse (Genauigkeisklasse), die in verschiedenen Formen angegeben werden kann Mihaela Albu [email protected] Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Messfehler. Die Genauigkeitsklasse a) für die meisten Analoggeräte ist die Klasse als Prozent von Meßbereichsendwert angegeben (nach Angabe des Herstellers). Beispiel: ein elektrodynamischer Ampermeter hat die Klasse 0.5 (“gehört der Genauigkeitsklasse 0,5”). Die relative maximale Unsicherheit wird: c=max = 100(Xmax/Xmax) = 0,5%, wobei Xmax ist der Endwert des Meßbereiches. Die größte absolute Unsicherheit den man mit diesem Ampermeter machen kann, wird: Xmax = c•Xmax/100 Mihaela Albu [email protected] 9/26 4. Messfehler. Die Genauigkeitsklasse Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 a) Die absolute maximale Unsicherheit bleibt konstant längs des Meßbereiches Sei der Meßbereich des Ampermeters Imax=5 A. Sei der gemessene Wert des Stromes Im1 = 2 A. Der Hersteller des Meßgerätes beweißt daß: I < Imax 0,5 ·5/100 = 0,025 A (die maximale absolute Unsicherheit) und 1 = (Imax /Im1) · 100 = 1,25 % (die relative Unsicherheit) Messen wir jetzt einen Strom von Im2 = 0,02 A. Die relative Unsicherheit wird: r2 = (Imax /Im2) · 100 = 125 %!!! Wie kann man die Genauigkeit der Messungem schätzen? Im ersten Fall: I1= 2 A 0,025 A, d.h. mit einer relativen Unsicherheit von 1,25%. Im zweiten fall: I2 = 0,02 A 0,025 A, d.h. mit einer relativen Unsicherheit von 125%. Bemerken Sie, daß für diese Geräte muß man nur in der zweiten Hälfte der Mihaela Albu [email protected] Instrumentskala messen, um die relative Unsicherheit nicht so viel zu wachsen. 10/26 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Messfehler. Die Genauigkeitsklasse b) Es gibt einige Meßinstrumente, die Genauigkeitsklasse als eine Aufschrift wie folgt haben: . Hier die relative Unsicherheit c=r = 100(Xmax/Xm) bleibt konstant längs der Gesamtskala. Beispiel: Ein Zähler gehört zu der Klasse 1. Der Zähler muß kleine Energie sowie große Energie richtig messen. Hier wird die absolute Unsicherheit wie folgt definiert: Xmax = c•Xm/100 (es bleibt nicht mehr konstant !) Sei als zumessende Größe die Energie entsprechend einer Wirkleistung von ungefähr 10 kW. In einer Stunde, der Verbrauch wird 10 kWh sein. Der Zähler mißt: 10 kWh 1 · 10 kWh /100 = (10 0,1) kWh. In einem Monat, der entsprechende Verbrauch wird : 10 kWh · 24 · 30 = 7200 kWh. und der Zähler mißt: 7200 kWh 1 7200 kWh /100 = (7200 72) kWh. Die relative Unsicherheit bleibt immer 1 %. Mihaela Albu [email protected] 11/26 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Unsicherheitrechnung - die Genauigkeitsklasse c) Für Brücken und Kompensatoren (als analoge Geräte) gibt es eine gemischte Beziehung zwischen den ersten zwei Formeln. Das gilt auch für die digitale Geräte. Beispiel: Ein Tisch-Multimeter hat, für den Wechselstrombereich, diese Technischen Daten: Meßbereich 200 µA Auflösung 10 nA Genauigkeit F = (n% A + m d); n=1;m=10 Sei eine Messung von Im1 = 50 µA. Die maximale, absolute Unsicherheit ist: Imax = (1% · 50 µA + 10d); Aber 1d = 10 nA (von engl.:digit), die Auflösung. Imax = 0,6 µA es wurde einen Strom gemessen, dessen Wert zwischen 49,4 µA und 50,6 µA liegt. Mihaela Albu [email protected] Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 Beispiele und Aufgaben: 1. a)Die Ausgangsspannung eines Verstärkers beträgt 31 V. Wie groß ist der absolute Pegel? puabs 20 lg u dB 20 lg 31V dB 32dB ub 0.776V b) Wie groß ist der relative Spannungspegel, wenn auf eine Eingangsspannung von 1,55 V bezogen wird? purel 20 lg u dB 20 lg 31V dB 26dB uref 1.55V 2. Für eine Satellitenfunkverbindung kommt die Frequenz f1 = 6.3 GHz zum Einsatz. Welche Angabe in dBHz entspricht diesem Wert? p f 10 lg f dBHz 10 lg( 6.3 109 )dBHz 97,92dBHz 1Hz Mihaela Albu [email protected] Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 Beispiele und Aufgaben: 3. Ein digitales Voltmeter (3 1/2 digit) hat, für den 20 mV-Meßbereich, die folgenden technischen Daten: Auflösung Genauigkeit ? U=(m A +n d); m=2; n=5; Berechnen Sie die Unsicherheit mit der, man eine Spannung Ux von 16.27mV mißt. Dieselbe Frage für Ux von 16.268mV 4. Gegeben seien drei Signale: u1(t), u2(t), u3(t) mit Û1=80 V; Û2=90 V; Û3=100V. Berechen Sie für jede Spannung den entsprechenden Effektivwert, Mittelwert, Gleichrichtwert und Formfaktor. Mihaela Albu [email protected] Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 Beispiele und Aufgaben: 5. a) Die Spannung u(t) (mit u2>u1) wird mit Hilfe eines Einweggleichrichters gleichgerichtet. Berechnen Sie den Mittelwert und den Effektivwert der gleichgerichtete Spannung. b) Dieselbe Spannung u(t) wird diesmal zweiweggleichgerichtet. Berechnen Sie, was von einem Drehspulmeßinsrument (mißt Mittelwerte) angezeigt wird Mihaela Albu [email protected] Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Unsicherheitsrechnung - Herkunft der Fehler 4.1 Der Abschied vom Messfehler Die Existenz eines Messfehlers setzt voraus, dass man etwas anders macht, als es den gängigen Erwartungen oder Normen entsprechen würde. Der Fehler – so wir er früher in der Messtechnik verstanden wurde – wurden in meisten Fällen durch den Begriff “Messabweichung” ersetzt. Laut VIM (Intenationales Wörterbuch der Metrologie) ist die Messabweichung (engl.: deviation) das Messergebnis minus einem wahren Wert der Messgrösse. Mihaela Albu [email protected] 16/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 Conceptul de incertitudine • 1992, ISO a emis the Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, care a fost apoi adoptat prin standarde nationale (inclusiv RO) un parametru, incertitudinea, este asociata cu rezultatul unei masurari, si caracterizeaza dispersia valorilor ce ar putea fi atribuite in mod rezonabil masurandului. reflecta lipsa de cunostinte exacte privind valoarea masurandului “in many industrial and commercial applications, as well as in the areas of health and safety, it is often necessary to provide an interval about the measurement result that may be expected to encompass a large fraction of the distribution of values that could reasonably be attributed to the quantity subject to measurement. Thus the ideal method for evaluating and expressing measurement uncertainty should be capable of readily providing such an interval, in particular, one with a coverage probability or level of confidence that corresponds in a realistic way to that required” (GUM) JGCM: Evaluation of the Measurement Data - Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, JGCM 100:2008. Mihaela Albu [email protected] PROCESUL DE MASURARE Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 Paradigma erorii: e=xm-xt; er=e/xt; (xm-eM, xm+eM) Paradigma incertitudinii standard de masurare (1995, GUM):” standard uncertainty - it “reflects the lack of knowledge of the value of the measurand” after correcting all the systematic errors observed during the measurement procedure. Doua metode de evaluare a incertitudinii standard de masurare: Type A si Type B. In ambele cazuri, rezultatul masurarii este o variabila aleatoare rezultata din procesul de masurare care este un proces stochastic. Orice operatie matematica efectuata asupra valorilor masurate incertitudinea compusa [combined uncertainty], de obicei dificil de evaluat, In retelele electrice: lantul de masurare tipic include trasnformatoare de masurare SI aparate de masurare Mihaela Albu [email protected] Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Unsicherheitsrechnung - Herkunft der Fehler 4.2. Die systematischen Fehler vom geschichtlichen Standpunkt aus Zu den systematischen Fehlern gehören aber auch prinzipiell erfaßbare Umwelteinflüsse, die eine Abweichung bestimmten Betrags und bestimmtes Vorzeichnen bringen. Die wichtigste Umweltgröße ist die Temperatur. Meßgeräte können, ebenso wie jedes andere elektronische Gerät, nämlich nur in einem ganz bestimmten Temperaturbereich einwandfrei funktionieren. Außerhalb dieses Bereiches treten Störungen oder Defekte auf. Es kann daher ein sog. Arbeitstemperaturbereich (engl.: operating temperature range) bestimmt werden. Er liegt durchschnittlich zwischen 0°C und + 50°C, wobei sich die Temperaturangaben auf die Umgebungsluft des jeweiligen Gerätes beziehen. Mihaela Albu [email protected] 19/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Unsicherheitsrechnung - Herkunft der Fehler 4.2. Systematische Fehler Beispiel: Das Multimeter hat auch, für jeden Meßbereich, einen Temperaturkoeffizient kT : für den Wechselstrombereich 200 µA: kT = 10-3 K-1 Für Im1 = 50 µA (der gemessene Wert), der an einer Temperatur von 26°C gemessen wird, der Korrekturfaktor ist: KI = 10-3· (26 - 23)·Im1 = 0,15 µA Aus dem Datenblatt: die Bezugstemperatur ist 23 °C 2°C und der Betriebstemperaturbereich ist 0 °C bis 50 °C. Die absolute Unsicherheit: Imax = 0,6 µA + 0,15 µA = 0,75 µA Die relative Unsicherheit: = (Imax / Im1) ·100 = (0,75/50)100 = 1,5 % Neben der Umgebungstemperatur kann für ein Meßgerät auch die Luftfeuchtigkeit, sowie die Einsatzhöhe bezogen auf den Meeresspiegel (NN) von Bedeutung sein. In Einzelfällen gibt es auch dafür Grenzwerte, die nicht überschritten werden dürfen. Ein anderes Beispiel in diesem Sinne ist die Erwärmung der Kreisbauelemente (Widerstände usw.) wegen der Leistung. Mihaela Albu [email protected] 20/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Unsicherheitsrechnung - Herkunft der Fehler 4.3. Zufällige Messabweichungen Nach Berücksichtigung aller systematischen Fehler bleibt das Ergebnis immer noch mit Unsicherheiten behaftet. Eine große Zahl unerfaßbarer Umwelteinflüsse rufen durch schwankende Beeinflussung eine Streuung der Meßergebnisse hervor. Diese zufälligen Abweichungen schwanken ebenfalls nach Betrag und Vorzeichnen. Wiederholt derselbe Beobachter am gleichen Meßgegenstand eine Messung der gleichen Meßgröße mit demselben Meßinstrument unter gleichen Bedingungen, und vergleicht ein Beobachter dasselbe Meßgerät mit demselben Normal unter gleichen Bedingungen mehrmals, so weichen die einzelnen Meßwerte voneinander ab, sie streuen. Durch statistische Verfahren können aber auch hier Aussagen gemacht werden. Allerdings, ist hierzu eine große Meßreihe erforderlich. Mihaela Albu [email protected] 21/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Unsicherheitsrechnung - Herkunft der Fehler 4.3. Zufällige Messabweichungen Beispiel:Mit einem Millivoltmeter wurden 10 Messungen durchgeführt: i Xi [mV] 1 103 2 106 3 102 4 104 5 105 6 104 7 104 8 103 9 104 10 105 10 Der Mittelwert (engl.: mean value): x x i 1 n i 1040 104mV 10 Die Streuung (Standardabweichung für sehr viele Messungen) (engl.: standard deviation), als Maß für die Streuung: 10 s i 1 2 i n 1 12 1,155mV 9 mit i xi x Mihaela Albu [email protected] 22/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Unsicherheitsrechnung - Herkunft der Fehler 4.3. Zufällige Messabweichungen Im Bild ist die Verteilung der Meßwerte dargestellt. (Wie oft haben wir einen bestimmten Wert gemessen). P ist der Scheitelwert (engl.: peak value) und R sind die Wendepunkte (engl.: inflexion points). In den meisten Fällen, bei dennen viele kleine Abweichungen (nach unterschiedlichem Betrag und Vorzeichen) vorliegen, ergibt sich die sogenannte Normalverteilung - Gauß'sche Normalverteilung (engl.:normal law). Dieser Fall liegt insbesondere dann vor, wenn die Zahl der Messungen sehr groß gemacht wird Mihaela Albu [email protected] 23/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Unsicherheitsrechnung - Herkunft der Fehler 4.3. Zufällige Messabweichungen Die vorangegangenen 10 Meßwerte sind nur eine Stichprobe (engl.: sample) aus der Grundgesamtheit, die einer echten Normalverteilung bei sehr vielen Punkten entspricht. Bei sehr vielen Meßpunkten N: die Normal-verteilung mit dem Mittelwert µ und der Standardabweichung : N, ( x) 1 e 2 x 2 2 2 N(X) ist die Dichte der N-Verteilung, mit X eine stetig verteilte Zufallsvariable. Für x, als diskrete Zufallsvariable, die die Werte xi ,1 i N, annimmt, gibt es, im allgemeinen: N N der Mittelwert: x x i 1 N i die Streuung: s 2 x i i 1 N 1 Mihaela Albu [email protected] 24/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Unsicherheitsrechnung - Herkunft der Fehler 4.3. Zufällige Messabweichungen Im Bild ist die Grundgesamtheit durchgehend, die Stichprobe gestrichelt gezeichnet; µ ist der Mittelwert der Grundgesamtheit und x, der Mittelwert der zufälligen Stichprobe. Es kann aus x zwar nicht µ bestimmt werden, aber die Statistik erlaubt die Angabe eines Vertrauensbereiches um x, in dem µ mit einer angenommenen Wahrscheinlichkeit P liegt. Der Vertrauensbereich ist definiert durch: Dabei ist t von der Zahl N der Meßpunkte der Stichprobe und der angenommenen Wahrscheinlichkeit P abhängig: t = t(N,P). Die der t-Verteilung entsprechenden Werte sind in Tabelle angegeben. t t x s x s N N Mihaela Albu [email protected] 25/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Unsicherheitsrechnung - Herkunft der Fehler 4.3. Zufällige Messabweichungen Vor jeder Anwendung der statistischen Methoden ist allerdings zu prüfen, ob überhaupt eine Normalverteilung vorliegt. Dazu muß man die Meßwerte der Größe nach sortieren und anschließend auszählen: Meßwert (mV) Häufigkeit absolut Häufigkeit in % 101 102 103 104 105 106 107 0-mal 1-mal 2-mal 4-mal 2-mal 1-mal 0-mal 0 10 20 40 20 10 0 Summe de r relativen Häufigkeiten 0 10 30 70 90 100 100 Die Summenhäufigkeit wird dann in ein sogennantes Wahrscheinlichkeitsnetz für die Gauß'sche Normalverteilung eingetragen. Die Aufteilung ist so gewählt, daß sich bei einer Normalverteilung eine Gerade ergibt . Mihaela Albu [email protected] 26/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Unsicherheitsrechnung 4.4. Fehlerfortpflanzung systematischer Fehler Sei die Größe y als eine bekannte Funktion der Größen x1, x2, x3 definiert: y = f( x1, x2, x3 ) Für kleine systematische Fehler (Einflüsse), d.h. x1, x2, x3 die im Betrag und Vorzeichen bekannt sind, kann die Abweichung y der Größe y bestimmt werden. y wird als Differenz zwischen dem unsicherheitsbehafteten und dem unsicherheitsfreien, "wahren" Funktionswert angesetzt : y = y - yw = f(x1 + x1, x2 + x2, x3 + x3) - f( x1, x2, x3 ) y y y y x1 x2 x3 x1 x2 x3 Mihaela Albu [email protected] 27/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Unsicherheitsrechnung 4.4. Fehlerfortpflanzung systematischer Fehler Beispiel: Der Spannungsteiler: aus der gemessen Sekundärspannung (U2) soll die Primärspannung (U1) bestimmt werden. Die Meßunsicherheit bei der Bestimmung von U2 sowie die Abweichung der Widerstände R1 und R2 von ihrem Nennwert sind nach Betrag und Vorzeichen bekannt, gesucht ist die Gesamtabweichung bei der Ermittlung von U1: R1 = 900 + 1% R1 = 9 R2 = 100 + 2% R2 = 2 U2 = 100 V + 1% U2 = 1 V U1 R R1 R2 U 2 1 1 U 2 1000 V R2 R2 R 1 R U1 1 1 U 2 U 2 R1 12 U 2 R2 R2 R2 R2 1 900 900 U1 1 100 9 100 2 1V 1 100 10000 100 Mihaela Albu [email protected] 28/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Unsicherheitsrechnung 4.4. Fehlerfortpflanzung zufälliger Messabweichungen Sei y = f(x1, x2, ... xn). Da Zufallsmessabweichungen vorliegen, wurde jede der Größen x1, ... xn wiederholt gemessen und die Mittelwerte mx1, ... mxn und die Standardabweichungen s1, ... sn wurden ermittelt. Die y-Werte bilden eine Verteilung und die Aufgabe ist, eine Rechenvorschrift zur Bestimmung des Mittelwerts my und der Standardabweichung sy dieser Verteilung zu finden. a) Bestimmung des Mittelwerts my: Die Größe x1 ist k-mal gemessen. Ihrer Mittelwert ist: 1 k mx1 x1 j k j 1 Ein beliebiger Wert x1j kann als x1j = mx1 + x1j geschrieben werden usw. für alle Größen x1, x2, ... xn. In folgendem werden für die Erleichterung des Verständnises nur zwei gemessenen Größen angenommen: x1, x2. Für die r-gemessenen Meßwerte x2i gilt: x2i = mx2 + x2i mit 1 r m x 2 x2 i r i 1 Mihaela Albu [email protected] 29/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Unsicherheitsrechnung 4.4. Fehlerfortpflanzung zufälliger Messabweichungen Für ein beliebiges Meßwertpaar x1j und x2i ergibt sich yji zu: y ji f ( x1 j , x2i ) f (mx1 x1 j , mx 2 x2i ) f (mx1 , mx 2 ) f ( x1 , x2 ) x1 m x1 j x1 , m x 2 f ( x1 x2 ) x2 m x2i x1 , m x 2 1 1 m r yji m y y ji m r j 1 i 1 1 m r f f f mx1 , mx 2 x1 j x2i m r j 1 i 1 x1 x2 1 1 f m 1 f r m r f mx1 , mx 2 r x1 j m x2i mr mr x1 j 1 mr x2 i 1 f 1 m f 1 r f mx1 , mx 2 x1 j x2i f mx1 , mx 2 x1 m j 1 x2 r i 1 y f ( x1 , x2 ,, xn ) Mihaela Albu [email protected] 30/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Unsicherheitsrechnung 4.4. Fehlerfortpflanzung zufälliger Messabweichungen b) Berechnung der Standardabweichung sy . Es sind die entsprechenden Standardabweichungen s1 und s2 der x-Werte bekannt. 1 1 m r 2 sy y ji y m r j 1 i 1 ; y f x1 , x2 y ji f x1 , x2 aus der Taylor'schen Reihenentwicklung f x1 , x2 f x1 , x2 x1 j x2i x1 x2 das sogennante "Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz”: 2 2 2 m r f 1 m r f f 1 f f f 2 2 sy x1 j x2i r x m x 2 1 j 2 i x m r j 1 i 1 x1 x2 m r x1 x1 x2 j 1 i 1 2 2 2 2 1 f m 1 f r 2 2 2 f 2 f x x s s s 1 j 2 i y 1 2 x m x1 j 1 r x2 i 1 x 1 2 x2i x1 j i 1 j 1 m r 2 Mihaela Albu [email protected] 31/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Fehlerrechnung - Fehlerfortpflanzung 4.5. Fortpflanzung der Fehlergrenzen Angenommen wird, daß sich eine Größe y aus den gemessenen Größen x1, x2, ..., xn berechnet, wobei für die gemessenen Größen die Fehlergrenzen (engl.:limit of error) c1, c2, ..., cn, die Meßbereichsendwerte X1, X2, ..., Xn und damit die Unsicherheiten X1max, X2max, ..., Xn, max bekannt sind. Zu bestimmen ist die mögliche Unsicherheit des Ergebnisses y. Dabei ist zwischen der maximal möglichen Unsicherheit y* und der wahrscheinlichen Unsicherheit y** zu unterscheiden. Mihaela Albu [email protected] 32/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Fehlerrechnung - Fehlerfortpflanzung 4.5. Fortpflanzung der Fehlergrenzen a) Die maximal mögliche Unsicherheit y*. Sei y = f(x1, ...xn ) f f y x x x1 1 xn n Wegen des unbekannten Vorzeichnes des xi erhalten wir die maximalen (sicheren) Unsicherheitsgrenzen: n n f n f f y* max xi xi xi i 1 xi i 1 xi i 1 xi Der Meßwert wird dann angegeben als: Aber die so berechneten Unsicherheiten sind sehr unwahrscheinlich, weil alle Werte mit der Unsicherheitsgrenze ci behaftet wären. y * yw y y* y1 y Mihaela Albu [email protected] 33/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Fehlerrechnung - Fehlerfortpflanzung 4.5. Fortpflanzung der Fehlergrenzen b) Die wahrscheinliche Unsicherheit y**: f y * * xi i 1 xi n 2 [Hier besteht die Schwierigkeit, daß die Verteilung der Unsicherheiten innerhalb einer Genauigkeitsklasse meistens nicht bekannt ist. So gibt es für die obere Beziehung keine mathematische Begründung. Aber die durch diese Gleichung definierten Unsicherheiten werden durch praktische Erfahrung bestätigt] Mihaela Albu [email protected] 34/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Fehlerrechnung - Fehlerfortpflanzung 4.5. Fortpflanzung der Fehlergrenzen Beispiel: Aus einer Wegmessung L, Garantiefehlergrenze cL = 1% vom Endwert und einer Zeitmessung tm, (Garantiefehlergrenze ct = 2% vom Endwert) ist bei voller Ausnutzung des Meßbereichs die Meßunsicherheit der Geschwindigkeit v=(L/t) zu bestimmen. a) die maximal mögliche Unsicherheit v*: v v v * * Lmax t max L t v * * v Lmax Lmax 2 t max tmax v v 1 L Lmax t max Lmax 2 t max L t t t t v * Lmax max 0.01 0.02 0.03 v Lmax t max b) die wahrscheinliche Unsicherheit v**: 2 v* 2 Lmax 2 tmax 2 L2 t2 t4 2 0.012 0.02 2 0.022 Mihaela Albu [email protected] 35/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 4. Fehlerrechnung - Fehlerfortpflanzung 4.5. Fortpflanzung der Fehlergrenzen (eine Geschichte) Beispiel: Die umgesetzte Leistung P in beiden Widerständen soll ermittelt werden. P = R1 I12 + R2 I22 ;R1 = 1 ; R2 = 2,5 ; Die Widerstandswerte seien hinreichend genau, so daß man ihre Abweichungen vernachlässigen kann. I1 = 10 A (2%) I1max = 0,2 A I2 = 4 A (3%) I2max = 0,12 A Die entsprechende Leistung wird Abweichungen): P = 140 W (ohne Berücksichtigung der P* R1 2 I1 I1 max R2 2 I 2 I 2 max P* 1 2 10 0,2 2,5 2 4 0,12 6,4W *P P 6,4 100 100 4,57% P 140 Mihaela Albu [email protected] 36/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 5. Der Unsicherheitsbegriff • Wurde am Ende 80 er Jahre als eine quantifizerbare Eigenschaft des gemessenen Wertes eingeführt • 1984 wurde der Begriff ofiziell in die “International vocabulary of basic and general terms in metrology (VIM) “ definiert Mihaela Albu [email protected] 37/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 5. Der Unsicherheitsbegriff • Dieser Begriff wird von folgenden Aspekten beschrieben: - wird immer einem Messergebnis zugeordnet und charakterisiert die Streuung der Werte die der zu messenden Grösse vernünftigerweise zugerechnet werden kann; - ist immer synonym mit der Mängel an genauen Kentnissen des Messergebnisses Ein genaues Messergebnis anzugeben ohne die Unsicherheit anzugeben ist sinnlos! Mihaela Albu [email protected] 38/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 5. Der Unsicherheitsbegriff 5.1.Die Unscherheitsbestimmung • Die Standardmessunscherheit (Standard uncertainty) u(x): die Unsicherheit eines Messergebnisses die als eine Standardabweichung ausgedrückt wird; • Die Standardmessabweichung vom Typ A (Type A evaluation (of standard uncertainty)): Die Ermittlung der Messunsicherheit anhand von Statistik (die für Messreihen angewendet wird); • Die Standardmessabweichung vom Typ B (Type B evaluation (of standard uncertainty)): Die Ermittlung der Messunsicherheit anhand von Methoden die nicht der Statistik angehören; • Erweiterte Unsicherheit: das Interval in dem erwartet wird dass die Werte einer Messung vernünftigerweise sich befinden können (mit einem grossen Konfidenzniveau) U= K·u(x); K heisst Erweiterungsfaktor oder Abdeckungsfaktor (coverage factor). Meistens ist er in der Technik mit 2 bewertet weil auf diese Weise das oben erwähnte Interval eine Breite von 95% besitzen würde. Mihaela Albu [email protected] 39/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 INCERTITUDINEA DE MASURARE. EVALUARE TIP A • prin analiza statistica a unei serii de observatii, cu observatia ca se considera ca rezultatul masurarii a fost corectat pentru toate efectele sistematice identificate; • cel mai bun estimator al unei variabile aleatoare (valoarea asteptata) disponbila prin n observatii independente Xk este media aritmetica a acestora: n 1 X = å Xk n k=1 • Aceasta medie poate fi considerata rezultatul masurarii; • Variabilitatea lui X (dispersia valorilor in jurul mediei) poate fi carcaterizata prin deviatia standard asociata distributiei de probabilitate a variabilei aleatoare X, si care e radacina pozitiva a variantei 2; • O estimare a lui poate fi data de varianta experimentala a n 2 1 2 observatiilor: s ( X k ) = å Xk - X n -1 k=1 ( ) Mihaela Albu [email protected] Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 INCERTITUDINEA DE MASURARE. EVALUARE TIP A • Variabilitatea mediei este masurata prin varianta acesteia: s 2 (X ) = n Þ s (X ) = s 2 2 ( ) s2 X k n Abaterea standard experimentala s ne arata cat de bine valoarea medie experimentala estimeaza media statistica (valoarea asteptata) si reprezinta incertitudinea standard a variabilei X determinata prin tipul A de evaluare. Exemplu: se masoara o tensiune continua de 11 ori, in conditii identice, cu aceeasi instalatie de masurare. Valorile rezultate sunt: X1= 4.34V; X2= 4.31V; X3= 4.38V; X4= 4.38V; X5= 4.4V; X6= 4.3V; X7= 4.39V; X8= 4.32V; X9= 4.33V; X10= 4.37V; X11= 4.36V; Cat este incertitudinea de masurare? ( ) X = ?V;s ( Xk ) = ?V ;s X = 2 2 s ( Xk ) 11 = ?V Mihaela Albu [email protected] Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 INCERTITUDINEA DE MASURARE. EVALUARE TIP B • • • • • • • in situatii practice este dificil sa se faca multiple determinari ale marimii X, in aceleasi conditii ale sistemului de masurare Se opereaza cu toate informatiile posibile asupra variabilitatii variabilei aleatoare X: Date de masurare anterioare; Experienta anterioara referitoare la proprietatile instrumentului de masurare utilizat; Specificatiile producatorului aparatului de masurare (cartea tehnica); Date din certificatele de calibrare; Date de referinta din carti tehnice; Mihaela Albu [email protected] INCERTITUDINEA DE MASURARE. EVALUARE TIP B Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 Mihaela Albu [email protected] 5. Der Unsicherheitsbegriff Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 5.2.Die Bestimmung der Unsicherheit vom Typ B Der Begriff von indirekter Messung bezieht sich meistens auf mehrere direkte Messungen die weiter von einer Bearbeitung der erhaltenen Messergebnisse gefolgt ist. Praktisch, ist die indirekte Messung die Berechnung des Messergebnisses anhand von mindestens 2 bekannten Werten die der zu messenden Grösse entsprechen. Diese 2 Werte werden von bekannten Messunsicherheiten beeinflusst und werden weiter durch ihre Erwartungswerte charakterisiert die einer bestimmten statistischen Verteilung gehorchen. Meistens ist diese Verteilung die Normalverteilung. Mihaela Albu [email protected] 44/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 5. Der Unsicherheitsbegriff 5.2.Die Bestimmung der Unsicherheit vom Typ B Die indirekt gemessene Grösse y hängt also von den direkt gemessenen Grössen x1,x2,…,xq. Jede x Grösse wird q mal gemessen so dass für jede Grösse der Erwartungswert (Mittelwert) und die Standardabweichung bestimmt werden kann. Man nimmt an dass diese x Werte unabhängig voneinander sind und dass sie einer Normalverteilung entsprechen. y f x1 , x2 ,, xq 2 f 2 u xi uc2 ( y ) i 1 xi N Mihaela Albu [email protected] 45/25 Beispiele und Aufgaben: Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 6. Sei die Schaltung im nebenstehenden Bild. Man soll den Wert des Widerstandes Rx bestimmen. Das Voltmeter gehört der Genauigkeitsklasse 0.5, hat den Meßbereich 100 V und einen unendlich hoch Innenwiderstand. a) Mit welcher warscheinlichsten Unsicherheit wird der Widerstandwert Rx bestimmen falls: a1) Ud = 10V; a2) Ud = 80V b) Es wird 10 Messungen für Ud durchgeführt, mit den folgenden Ergebnissen (Meßwerte): 76; 79; 83; 80; 81; 79; 81.5; 78; 82; 84 [V] b1) berechnen Sie den Mittelwert und die Streuung der Stichprobe. b2) bestimmen Sie den Vertraunsbereich in dem, den Mittelwert der Spannung Ud, mit einer angenomenen Wahrscheinlichkeit von 95% liegt. Mihaela Albu [email protected] 46/25 Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2016-2017 Fragen ?/ Fehler (!) . [email protected] [email protected] Mihaela Albu [email protected]
