Algorithmen zur Visualisierung von Graphen

1
Visualisierung von Graphen
Aufwärtsplanare Zeichnungen
5. Vorlesung
Sommersemester 2015
(basierend auf Folien von Martin Nöllenburg und Robert Görke, KIT)
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
·
Universität Würzburg
2
Das Problem
Definition.
Ein gerichteter Graph D = (V , A) ist aufwärtsplanar,
wenn er eine Zeichnung hat, bei der
alle Kanten nach oben gerichtete y -monotone Kurven sind
sich keine zwei Kanten schneiden.
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
2
Das Problem
Definition.
Ein gerichteter Graph D = (V , A) ist aufwärtsplanar,
wenn er eine Zeichnung hat, bei der
alle Kanten nach oben gerichtete y -monotone Kurven sind
sich keine zwei Kanten schneiden.
Offensichtliche Voraussetzungen?
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
2
Das Problem
Definition.
Ein gerichteter Graph D = (V , A) ist aufwärtsplanar,
wenn er eine Zeichnung hat, bei der
alle Kanten nach oben gerichtete y -monotone Kurven sind
sich keine zwei Kanten schneiden.
Offensichtliche Voraussetzungen? – Planar & azyklisch.
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
2
Das Problem
Definition.
Ein gerichteter Graph D = (V , A) ist aufwärtsplanar,
wenn er eine Zeichnung hat, bei der
alle Kanten nach oben gerichtete y -monotone Kurven sind
sich keine zwei Kanten schneiden.
Offensichtliche Voraussetzungen? – Planar & azyklisch.
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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2
Das Problem
Definition.
Ein gerichteter Graph D = (V , A) ist aufwärtsplanar,
wenn er eine Zeichnung hat, bei der
alle Kanten nach oben gerichtete y -monotone Kurven sind
sich keine zwei Kanten schneiden.
Offensichtliche Voraussetzungen? – Planar & azyklisch.
nicht hinreichend!
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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3
Aufwärtsplanarität
Problem: Test auf Aufwärtsplanarität
Gegeben sei ein gerichteter azyklischer Graph D = (V , A).
Teste, ob D aufwärtsplanar ist.
Falls ja, konstruiere entsprechende Zeichnung.
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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3
Aufwärtsplanarität
Problem: Test auf Aufwärtsplanarität
Gegeben sei ein gerichteter azyklischer Graph D = (V , A).
Teste, ob D aufwärtsplanar ist.
Falls ja, konstruiere entsprechende Zeichnung.
Problem0 : Test auf Aufwärtsplanarität, eingebettet
Geg. gerichteter azyk. Graph D = (V , A) mit Einbettung F, f0 .
Teste, ob D bezüglich F, f0 aufwärtsplanar ist.
Falls ja, konstruiere entsprechende Zeichnung.
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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3
Aufwärtsplanarität
Problem: Test auf Aufwärtsplanarität
Gegeben sei ein gerichteter azyklischer Graph D = (V , A).
Teste, ob D aufwärtsplanar ist.
Falls ja, konstruiere entsprechende Zeichnung.
NP-schwer!
[Garg & Tamassia ’95]
Problem0 : Test auf Aufwärtsplanarität, eingebettet
Geg. gerichteter azyk. Graph D = (V , A) mit Einbettung F, f0 .
Teste, ob D bezüglich F, f0 aufwärtsplanar ist.
Falls ja, konstruiere entsprechende Zeichnung.
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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3
Aufwärtsplanarität
Problem: Test auf Aufwärtsplanarität
Gegeben sei ein gerichteter azyklischer Graph D = (V , A).
Teste, ob D aufwärtsplanar ist.
Falls ja, konstruiere entsprechende Zeichnung.
NP-schwer!
[Garg & Tamassia ’95]
Problem0 : Test auf Aufwärtsplanarität, eingebettet
Geg. gerichteter azyk. Graph D = (V , A) mit Einbettung F, f0 .
Teste, ob D bezüglich F, f0 aufwärtsplanar ist.
Falls ja, konstruiere entsprechende Zeichnung.
kann effizient getestet werden!
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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[diese Vorlesung]
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4-1
The Big Picture: eine Charakterisierung
Satz.
[Kelly ’87, Di Battista & Tamassia ’88]
Sei D = (V , A) ein gerichteter Graph.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
1. D ist aufwärtsplanar.
2. D kann geradlinig aufwärtsplanar gezeichnet werden.
3. D ist aufspannender Teilgraph eines planaren st-Graphen.
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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4-2
The Big Picture: eine Charakterisierung
Satz.
[Kelly ’87, Di Battista & Tamassia ’88]
Sei D = (V , A) ein gerichteter Graph.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
1. D ist aufwärtsplanar.
2. D kann geradlinig aufwärtsplanar gezeichnet werden.
3. D ist aufspannender Teilgraph eines planaren st-Graphen.
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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4-3
The Big Picture: eine Charakterisierung
Satz.
[Kelly ’87, Di Battista & Tamassia ’88]
Sei D = (V , A) ein gerichteter Graph.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
1. D ist aufwärtsplanar.
2. D kann geradlinig aufwärtsplanar gezeichnet werden.
3. D ist aufspannender Teilgraph eines planaren st-Graphen.
| {z }
ohne Kreuzung in
der Ebene zeichenbar
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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4-4
The Big Picture: eine Charakterisierung
Satz.
[Kelly ’87, Di Battista & Tamassia ’88]
Sei D = (V , A) ein gerichteter Graph.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
1. D ist aufwärtsplanar.
2. D kann geradlinig aufwärtsplanar gezeichnet werden.
3. D ist aufspannender Teilgraph eines planaren st-Graphen.
| {z } | {z }
ohne Kreuzung in
der Ebene zeichenbar
azyklischer gerichteter Graph
mit einer einzigen Quelle s
und einer einzigen Senke t
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4-5
The Big Picture: eine Charakterisierung
Satz.
[Kelly ’87, Di Battista & Tamassia ’88]
Sei D = (V , A) ein gerichteter Graph.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
1. D ist aufwärtsplanar.
2. D kann geradlinig aufwärtsplanar gezeichnet werden.
3. D ist aufspannender Teilgraph eines planaren st-Graphen.
| {z } | {z }

ohne Kreuzung in


zusätzlich:


der Ebene zeichenbar

so eingebettet, dass s
azyklischer gerichteter Graph
und t auf der äußeren 

mit einer einzigen Quelle s


Facette f0 liegen

und einer einzigen Senke t
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4-6
The Big Picture: eine Charakterisierung
Satz.
[Kelly ’87, Di Battista & Tamassia ’88]
Sei D = (V , A) ein gerichteter Graph.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
1. D ist aufwärtsplanar.
2. D kann geradlinig aufwärtsplanar gezeichnet werden.
3. D ist aufspannender Teilgraph eines planaren st-Graphen.
| {z } | {z }

ohne Kreuzung in


zusätzlich:


der Ebene zeichenbar

so eingebettet, dass s
azyklischer gerichteter Graph
und t auf der äußeren 

mit einer einzigen Quelle s


Facette f0 liegen

und einer einzigen Senke t
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4-7
The Big Picture: eine Charakterisierung
Satz.
[Kelly ’87, Di Battista & Tamassia ’88]
Sei D = (V , A) ein gerichteter Graph.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
1. D ist aufwärtsplanar.
2. D kann geradlinig aufwärtsplanar gezeichnet werden.
3. D ist aufspannender Teilgraph eines planaren st-Graphen.
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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4-8
The Big Picture: eine Charakterisierung
Satz.
[Kelly ’87, Di Battista & Tamassia ’88]
Sei D = (V , A) ein gerichteter Graph.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
1. D ist aufwärtsplanar.
2. D kann geradlinig aufwärtsplanar gezeichnet werden.
3. D ist aufspannender Teilgraph eines planaren st-Graphen.
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4-9
The Big Picture: eine Charakterisierung
Satz.
[Kelly ’87, Di Battista & Tamassia ’88]
Sei D = (V , A) ein gerichteter Graph.
Beweis siehe Buch
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
[DETT, Kap. 6.1]
1. D ist aufwärtsplanar.
2. D kann geradlinig aufwärtsplanar gezeichnet werden.
3. D ist aufspannender Teilgraph eines planaren st-Graphen.
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4-10
The Big Picture: eine Charakterisierung
Satz.
[Kelly ’87, Di Battista & Tamassia ’88]
Sei D = (V , A) ein gerichteter Graph.
Beweis siehe Buch
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
[DETT, Kap. 6.1]
1. D ist aufwärtsplanar.
2. D kann geradlinig aufwärtsplanar gezeichnet werden.
3. D ist aufspannender Teilgraph eines planaren st-Graphen.
lassen sich aufwärtsplanar
zeichnen, s. Buch [DETT,
Kap. 6.1]
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5
Bimodalität
Knoten bimodal
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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5
Bimodalität
Knoten bimodal
nicht bimodal
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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5
Bimodalität
Knoten bimodal
nicht bimodal
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Definition
Ein eingebetteter gerichteter Graph ist bimodal
:⇔
alle Knoten sind bimodal
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5
Bimodalität
Knoten bimodal
nicht bimodal
Definition
Ein eingebetteter gerichteter Graph ist bimodal
:⇔
alle Knoten sind bimodal
Lemma
Ein eingebetteter gerichteter Graph ist höchstens dann
aufwärtsplanar, wenn er bimodal ist.
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6
Zusammenhang Winkelgröße vs. Quellen & Senken
Für Facette f einer geradlinigen Zeichnung betrachte Winkel an
– lokalen Senken (Knoten mit 2 eingehende Kanten auf ∂ f )
– lokalen Quellen (Knoten mit 2 ausgehenden Kanten auf ∂ f )
f
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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6
Zusammenhang Winkelgröße vs. Quellen & Senken
Für Facette f einer geradlinigen Zeichnung betrachte Winkel an
– lokalen Senken (Knoten mit 2 eingehende Kanten auf ∂ f )
– lokalen Quellen (Knoten mit 2 ausgehenden Kanten auf ∂ f )
f
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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6
Zusammenhang Winkelgröße vs. Quellen & Senken
Für Facette f einer geradlinigen Zeichnung betrachte Winkel an
– lokalen Senken (Knoten mit 2 eingehende Kanten auf ∂ f )
– lokalen Quellen (Knoten mit 2 ausgehenden Kanten auf ∂ f )
L(f ) := Anzahl großer Winkel (Intuition: in Zeichnung > π)
S (f ) := Anzahl kleiner Winkel
A(f ) := Anzahl lokaler Quellen (= Anzahl lokaler Senken)
f
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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6
Zusammenhang Winkelgröße vs. Quellen & Senken
Für Facette f einer geradlinigen Zeichnung betrachte Winkel an
– lokalen Senken (Knoten mit 2 eingehende Kanten auf ∂ f )
– lokalen Quellen (Knoten mit 2 ausgehenden Kanten auf ∂ f )
L(f ) := Anzahl großer Winkel (Intuition: in Zeichnung > π)
S (f ) := Anzahl kleiner Winkel
A(f ) := Anzahl lokaler Quellen (= Anzahl lokaler Senken)
Es gilt:
L(f ) + S (f ) =
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
f
·
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6
Zusammenhang Winkelgröße vs. Quellen & Senken
Für Facette f einer geradlinigen Zeichnung betrachte Winkel an
– lokalen Senken (Knoten mit 2 eingehende Kanten auf ∂ f )
– lokalen Quellen (Knoten mit 2 ausgehenden Kanten auf ∂ f )
L(f ) := Anzahl großer Winkel (Intuition: in Zeichnung > π)
S (f ) := Anzahl kleiner Winkel
A(f ) := Anzahl lokaler Quellen (= Anzahl lokaler Senken)
Es gilt:
L(f ) + S (f ) = 2A(f )
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
f
·
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6
Zusammenhang Winkelgröße vs. Quellen & Senken
Für Facette f einer geradlinigen Zeichnung betrachte Winkel an
– lokalen Senken (Knoten mit 2 eingehende Kanten auf ∂ f )
– lokalen Quellen (Knoten mit 2 ausgehenden Kanten auf ∂ f )
L(f ) := Anzahl großer Winkel (Intuition: in Zeichnung > π)
S (f ) := Anzahl kleiner Winkel
A(f ) := Anzahl lokaler Quellen (= Anzahl lokaler Senken)
Es gilt:
L(f ) + S (f ) = 2A(f )
f
Per Induktion zeigt
( man:
)
−2, f 6= f0
L(f ) − S (f ) =
+2, f = f0
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
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Universität Würzburg
6
Zusammenhang Winkelgröße vs. Quellen & Senken
Für Facette f einer geradlinigen Zeichnung betrachte Winkel an
– lokalen Senken (Knoten mit 2 eingehende Kanten auf ∂ f )
– lokalen Quellen (Knoten mit 2 ausgehenden Kanten auf ∂ f )
L(f ) := Anzahl großer Winkel (Intuition: in Zeichnung > π)
S (f ) := Anzahl kleiner Winkel
A(f ) := Anzahl lokaler Quellen (= Anzahl lokaler Senken)
Es gilt:
L(f ) + S (f ) = 2A(f )
f
Per Induktion zeigt
( man:
)
−2, f 6= f0
⇒
L(f ) − S (f ) =
+2, f = f0
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
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6
Zusammenhang Winkelgröße vs. Quellen & Senken
Für Facette f einer geradlinigen Zeichnung betrachte Winkel an
– lokalen Senken (Knoten mit 2 eingehende Kanten auf ∂ f )
– lokalen Quellen (Knoten mit 2 ausgehenden Kanten auf ∂ f )
L(f ) := Anzahl großer Winkel (Intuition: in Zeichnung > π)
S (f ) := Anzahl kleiner Winkel
A(f ) := Anzahl lokaler Quellen (= Anzahl lokaler Senken)
Es gilt:
L(f ) + S (f ) = 2A(f )
f
Per Induktion zeigt
( man:
)
(
−2, f 6= f0
A(f ) − 1,
⇒ L(f ) =
L(f ) − S (f ) =
+2, f = f0
A(f ) + 1,
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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·
f =
6 f0
f = f0
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7
Beweis: L(f ) − S(f ) = −2 für f 6= f0
L(f ) = 0
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
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7
Beweis: L(f ) − S(f ) = −2 für f 6= f0
L(f ) = 0
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
⇒ S (f ) = 2
·
Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
7
Beweis: L(f ) − S(f ) = −2 für f 6= f0
L(f ) = 0
⇒ S (f ) = 2
L(f ) ≥ 1
f
u
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
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7
Beweis: L(f ) − S(f ) = −2 für f 6= f0
L(f ) = 0
⇒ S (f ) = 2
L(f ) ≥ 1
Trenne f auf.
f
u
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
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Universität Würzburg
7
Beweis: L(f ) − S(f ) = −2 für f 6= f0
L(f ) = 0
⇒ S (f ) = 2
L(f ) ≥ 1
Trenne f auf.
v
f1
f2
u
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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7
Beweis: L(f ) − S(f ) = −2 für f 6= f0
L(f ) = 0
⇒ S (f ) = 2
L(f ) ≥ 1
Trenne f auf.
v
L(f ) − S(f ) = L(f1 ) + L(f2 ) + 1
− (S(f1 ) + S(f2 ) − 1)
f1
f2
= −2
u
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
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7
Beweis: L(f ) − S(f ) = −2 für f 6= f0
L(f ) = 0
⇒ S (f ) = 2
L(f ) ≥ 1
Trenne f auf.
v
1. v Senke mit kleinem Winkel:
L(f ) − S(f ) = L(f1 ) + L(f2 ) + 1
− (S(f1 ) + S(f2 ) − 1)
f1
f2
= −2
u
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
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7
Beweis: L(f ) − S(f ) = −2 für f 6= f0
L(f ) = 0
⇒ S (f ) = 2
L(f ) ≥ 1
Trenne f auf.
v
1. v Senke mit kleinem Winkel:
L(f ) − S(f ) = L(f1 ) + L(f2 ) + 1
− (S(f1 ) + S(f2 ) − 1)
f1
f2
= −2
u
Induktionsvoraussetzung
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
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7
Beweis: L(f ) − S(f ) = −2 für f 6= f0
L(f ) = 0
⇒ S (f ) = 2
L(f ) ≥ 1
v
Trenne f auf.
2. v Senke mit großem Winkel:
L(f ) − S(f ) = L(f1 ) + L(f2 ) + 1
− (S(f1 ) + S(f2 ) − 1)
f1
f2
= −2
u
Induktionsvoraussetzung
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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7
Beweis: L(f ) − S(f ) = −2 für f 6= f0
L(f ) = 0
⇒ S (f ) = 2
L(f ) ≥ 1
v
Trenne f auf.
3. v Quelle mit großem Winkel:
L(f ) − S(f ) = L(f1 ) + L(f2 ) + 2
− (S(f1 ) + S(f2 ))
f1
f2
= −2
u
Induktionsvoraussetzung
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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7
Beweis: L(f ) − S(f ) = −2 für f 6= f0
L(f ) = 0
⇒ S (f ) = 2
L(f ) ≥ 1
Trenne f auf.
v
4. v Quelle mit kleinem Winkel:
u
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7
Beweis: L(f ) − S(f ) = −2 für f 6= f0
L(f ) = 0
⇒ S (f ) = 2
L(f ) ≥ 1
v
Trenne f auf.
5. v keine Quelle/Senke:
L(f ) − S(f ) = L(f1 ) + L(f2 ) + 1
− (S(f1 ) + S(f2 ) − 1)
f1
f2
= −2
u
Induktionsvoraussetzung
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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8
Beobachtungen
Betrachte Winkel zwischen zwei ein-/ausgehenden Kanten.
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
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8
Beobachtungen
Betrachte Winkel zwischen zwei ein-/ausgehenden Kanten.
Lemma
Sei D ein gerichteter Graph.
In jeder aufwärtsplanaren Zeichnung von
( D gilt:
0 v innerer Knoten,
(1) für jeden Knoten v ∈ V : L(v ) =
1 v Quelle/Senke.
(
A(f ) − 1 f 6= f0 ,
(2) für jede Facette f ∈ F : L(f ) =
A(f ) + 1 f = f0 .
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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8
Beobachtungen
Betrachte Winkel zwischen zwei ein-/ausgehenden Kanten.
Lemma
Sei D ein gerichteter Graph.
In jeder aufwärtsplanaren Zeichnung von
( D gilt:
0 v innerer Knoten,
(1) für jeden Knoten v ∈ V : L(v ) =
1 v Quelle/Senke.
(
A(f ) − 1 f 6= f0 ,
(2) für jede Facette f ∈ F : L(f ) =
A(f ) + 1 f = f0 .
(
Φ: Q ∪ S → F
A(f ) − 1 f 6= f0
−1
v 7→ inzid. Facette
|Φ (f )| =
A(f ) + 1 f = f0
globale Quellen und Senken
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
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8
Beobachtungen
Betrachte Winkel zwischen zwei ein-/ausgehenden Kanten.
Lemma
Sei D ein gerichteter Graph.
In jeder aufwärtsplanaren Zeichnung von
( D gilt:
0 v innerer Knoten,
(1) für jeden Knoten v ∈ V : L(v ) =
1 v Quelle/Senke.
(
A(f ) − 1 f 6= f0 ,
(2) für jede Facette f ∈ F : L(f ) =
A(f ) + 1 f = f0 .
(
)
Φ: Q ∪ S → F
A(f ) − 1 f 6= f0
−1
v 7→ inzid. Facette
|Φ (f )| = L(f )
A(f ) + 1 f = f0
heißt konsistent, wenn gilt
globale Quellen und Senken
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
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8
Beobachtungen
Betrachte Winkel zwischen zwei ein-/ausgehenden Kanten.
Lemma
Sei D ein gerichteter Graph.
In jeder aufwärtsplanaren Zeichnung von
( D gilt:
0 v innerer Knoten,
(1) für jeden Knoten v ∈ V : L(v ) =
1 v Quelle/Senke.
(
A(f ) − 1 f 6= f0 ,
(2) für jede Facette f ∈ F : L(f ) =
A(f ) + 1 f = f0 .
(
)
Φ: Q ∪ S → F
A(f ) − 1 f 6= f0
−1
v 7→ inzid. Facette
|Φ (f )| =
A(f ) + 1 f = f0
heißt konsistent, wenn gilt
globale Quellen und Senken
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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9
Beispiel Facettenzuordnung
f4
f8
f3
f1
f9
f5
f6
f0
f2
f7
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
9
Beispiel Facettenzuordnung
v9
v8
globale Quellen
und Senken
f4
f8
f3
v5
f1
v7
v6
f9
f5
v4
f6
f0
f2
v3
v2
f7
v1
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9
Beispiel Facettenzuordnung
v9
globale Quellen
und Senken
A(f3 ) = 1
v8
f4
f3
v5
f1
v7
v6
A(f5 ) = 2
A(f1 ) = 3
f0
A(f0 ) = 3
f8
A(f8 ) = 1
A(f4 ) = 2
f5
f2
A(f9 ) = 1
v4
f6
A(f2 ) = 1
f9
A(f6 ) = 1
A(f7 ) = 2
v3
v2
f7
v1
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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9
Beispiel Facettenzuordnung
v9
v8
A(f3 ) = 1
L(f3 ) = 0
v5
f4
A(f4 ) = 2
L(f4 ) = 1
f3
f1
A(f0 ) = 3
L(f0 ) = 4
v7
v6
A(f1 ) = 3
L(f1 ) = 2
f0
globale Quellen
und Senken
f5
A(f6 ) = 1
L(f6 ) = 0
A(f7 ) = 2
L(f7 ) = 1
v2
f9
A(f9 ) = 1
L(f9 ) = 0
v4
f6
A(f2 ) = 1
L(f2 ) = 0
f2
A(f5 ) = 2
L(f5 ) = 1
f8
A(f8 ) = 1
L(f8 ) = 0
v3
f7
v1
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
·
Universität Würzburg
9
Beispiel Facettenzuordnung
v9
v8
A(f3 ) = 1
L(f3 ) = 0
v5
f4
A(f4 ) = 2
L(f4 ) = 1
f3
f1
A(f0 ) = 3
L(f0 ) = 4
v7
v6
A(f1 ) = 3
L(f1 ) = 2
f0
globale Quellen
und Senken
f5
f9
A(f6 ) = 1
L(f6 ) = 0
A(f7 ) = 2
L(f7 ) = 1
v2
Zuordnung
φ:Q∪S →F
A(f9 ) = 1
L(f9 ) = 0
v4
f6
A(f2 ) = 1
L(f2 ) = 0
f2
A(f5 ) = 2
L(f5 ) = 1
f8
A(f8 ) = 1
L(f8 ) = 0
v3
f7
v1
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
10
Kernaussage
Satz
Sei D = (V , A) gerichteter azykl. Graph mit Einbettung F, f0 .
Dann gilt:
D aufwärtsplanar bzgl. F, f0 ⇔ bimodal und ∃ konsistentes Φ .
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
10
Kernaussage
Satz
Sei D = (V , A) gerichteter azykl. Graph mit Einbettung F, f0 .
Dann gilt:
D aufwärtsplanar bzgl. F, f0 ⇔ bimodal und ∃ konsistentes Φ .
⇒: soeben hergeleitet
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
10
Kernaussage
Satz
Sei D = (V , A) gerichteter azykl. Graph mit Einbettung F, f0 .
Dann gilt:
D aufwärtsplanar bzgl. F, f0 ⇔ bimodal und ∃ konsistentes Φ .
⇒: soeben hergeleitet
⇐: zu zeigen:
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
10
Kernaussage
Satz
Sei D = (V , A) gerichteter azykl. Graph mit Einbettung F, f0 .
Dann gilt:
D aufwärtsplanar bzgl. F, f0 ⇔ bimodal und ∃ konsistentes Φ .
⇒: soeben hergeleitet
⇐: zu zeigen:
– konstruiere st-Graph ⊇ D
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
10
Kernaussage
Satz
Sei D = (V , A) gerichteter azykl. Graph mit Einbettung F, f0 .
Dann gilt:
D aufwärtsplanar bzgl. F, f0 ⇔ bimodal und ∃ konsistentes Φ .
⇒: soeben hergeleitet
⇐: zu zeigen:
– konstruiere st-Graph ⊇ D
– wende Äquivalenz vom Anfang der Vorlesung an
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
10
Kernaussage
Satz
Sei D = (V , A) gerichteter azykl. Graph mit Einbettung F, f0 .
Dann gilt:
D aufwärtsplanar bzgl. F, f0 ⇔ bimodal und ∃ konsistentes Φ .
⇒: soeben hergeleitet
⇐: zu zeigen:
– konstruiere st-Graph ⊇ D
– wende Äquivalenz vom Anfang der Vorlesung an
Zunächst:
D , F, f0
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
?
→
Φ konsistent
·
Lehrstuhl für Informatik I
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11
Flussnetzwerk zur Konstruktion von Φ
Definition Flussnetzwerk NF ,f0 (D ) = ((W , AN ); l ; u ; b )
W = {v ∈ V | v ist Quelle oder Senke} ∪ F
AN = {(v , f ) | v inzident zu f }
l (a) = 0 ∀a ∈ AN
u (a) = 1 ∀a ∈ AN

∀q ∈ W ∩ V
1
b (q ) = −(A(q ) − 1) ∀q ∈ F \ {f0 }


−(A(q ) + 1) q = f0
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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12
Beispielnetzwerk
normaler Knoten
Quelle / Senke
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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12
Beispielnetzwerk
normaler Knoten
Quelle / Senke
Facettenknoten
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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12
Beispielnetzwerk
1
−1
1
0
1
1
1
−2
1
−3
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
normaler Knoten
Quelle / Senke
Facettenknoten
·
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12
Beispielnetzwerk
1
−1
1
0
1
1
1
−2
1
−3
normaler Knoten
Quelle / Senke
Facettenknoten
Starte mit Nullfluss
Suche erhöhende Wege
Geht auch ohne festgelegtes f0
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
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12
Beispielnetzwerk
1
−1
1
0
1
1
1
−2
1
−3
normaler Knoten
Quelle / Senke
Facettenknoten
Starte mit Nullfluss
Suche erhöhende Wege
Geht auch ohne festgelegtes f0
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Sei f Facette. Betrachte Folge σf von Winkeln L/S
an lokalen Quellen und Senken von f (im UZS)
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Sei f Facette. Betrachte Folge σf von Winkeln L/S
an lokalen Quellen und Senken von f (im UZS)
Ziel: Entferne alle Quellen und Senken durch neue Kanten
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Sei f Facette. Betrachte Folge σf von Winkeln L/S
an lokalen Quellen und Senken von f (im UZS)
Ziel: Entferne alle Quellen und Senken durch neue Kanten
f 6= f0 mit |σf | ≥ 2 enthält hL, S, Si an Knoten x , y , z
S
S
S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
L
L
Lehrstuhl für Informatik I
S
·
Universität Würzburg
13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Sei f Facette. Betrachte Folge σf von Winkeln L/S
an lokalen Quellen und Senken von f (im UZS)
Ziel: Entferne alle Quellen und Senken durch neue Kanten
f 6= f0 mit |σf | ≥ 2 enthält hL, S, Si an Knoten x , y , z
S
S
S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
L
L
Lehrstuhl für Informatik I
S
·
Universität Würzburg
13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Sei f Facette. Betrachte Folge σf von Winkeln L/S
an lokalen Quellen und Senken von f (im UZS)
Ziel: Entferne alle Quellen und Senken durch neue Kanten
f 6= f0 mit |σf | ≥ 2 enthält hL, S, Si an Knoten x , y , z y
S
S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
x
L
L
Lehrstuhl für Informatik I
S
·
S
z
Universität Würzburg
13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Sei f Facette. Betrachte Folge σf von Winkeln L/S
an lokalen Quellen und Senken von f (im UZS)
Ziel: Entferne alle Quellen und Senken durch neue Kanten
f 6= f0 mit |σf | ≥ 2 enthält hL, S, Si an Knoten x , y , z y
S
x Quelle ⇒ verfeinere mit (z , x )
S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
x
L
L
Lehrstuhl für Informatik I
S
·
S
z
Universität Würzburg
13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Sei f Facette. Betrachte Folge σf von Winkeln L/S
an lokalen Quellen und Senken von f (im UZS)
Ziel: Entferne alle Quellen und Senken durch neue Kanten
f 6= f0 mit |σf | ≥ 2 enthält hL, S, Si an Knoten x , y , z y
S
x Quelle ⇒ verfeinere mit (z , x )
S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
x
L
L
Lehrstuhl für Informatik I
S
·
S
z
Universität Würzburg
13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Sei f Facette. Betrachte Folge σf von Winkeln L/S
an lokalen Quellen und Senken von f (im UZS)
Ziel: Entferne alle Quellen und Senken durch neue Kanten
f 6= f0 mit |σf | ≥ 2 enthält hL, S, Si an Knoten x , y , z y
S
x Quelle ⇒ verfeinere mit (z , x )
S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
x
L
L
Lehrstuhl für Informatik I
S
·
S
z
Universität Würzburg
13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Sei f Facette. Betrachte Folge σf von Winkeln L/S
an lokalen Quellen und Senken von f (im UZS)
Ziel: Entferne alle Quellen und Senken durch neue Kanten
f 6= f0 mit |σf | ≥ 2 enthält hL, S, Si an Knoten x , y , z
S
x Quelle ⇒ verfeinere mit (z , x )
S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
S
L
L
Lehrstuhl für Informatik I
S
·
Universität Würzburg
13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Sei f Facette. Betrachte Folge σf von Winkeln L/S
an lokalen Quellen und Senken von f (im UZS)
Ziel: Entferne alle Quellen und Senken durch neue Kanten
f 6= f0 mit |σf | ≥ 2 enthält hL, S, Si an Knoten x , y , z
S
x Quelle ⇒ verfeinere mit (z , x )
S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
S
L
L
Lehrstuhl für Informatik I
S
·
Universität Würzburg
13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Sei f Facette. Betrachte Folge σf von Winkeln L/S
an lokalen Quellen und Senken von f (im UZS)
Ziel: Entferne alle Quellen und Senken durch neue Kanten
f 6= f0 mit |σf | ≥ 2 enthält hL, S, Si an Knoten x , y , z
z
S
x Quelle ⇒ verfeinere mit (z , x )
y
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
L
S x
Lehrstuhl für Informatik I
S
L
S
·
Universität Würzburg
13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Sei f Facette. Betrachte Folge σf von Winkeln L/S
an lokalen Quellen und Senken von f (im UZS)
Ziel: Entferne alle Quellen und Senken durch neue Kanten
f 6= f0 mit |σf | ≥ 2 enthält hL, S, Si an Knoten x , y , z
z
S
x Quelle ⇒ verfeinere mit (z , x )
x Senke ⇒ verfeinere mit (x , z )
y
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
L
S x
Lehrstuhl für Informatik I
S
L
S
·
Universität Würzburg
13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Sei f Facette. Betrachte Folge σf von Winkeln L/S
an lokalen Quellen und Senken von f (im UZS)
Ziel: Entferne alle Quellen und Senken durch neue Kanten
f 6= f0 mit |σf | ≥ 2 enthält hL, S, Si an Knoten x , y , z
z
S
x Quelle ⇒ verfeinere mit (z , x )
x Senke ⇒ verfeinere mit (x , z )
y
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
L
S x
Lehrstuhl für Informatik I
S
L
S
·
Universität Würzburg
13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Sei f Facette. Betrachte Folge σf von Winkeln L/S
an lokalen Quellen und Senken von f (im UZS)
Ziel: Entferne alle Quellen und Senken durch neue Kanten
f 6= f0 mit |σf | ≥ 2 enthält hL, S, Si an Knoten x , y , z
z
S
x Quelle ⇒ verfeinere mit (z , x )
x Senke ⇒ verfeinere mit (x , z )
y
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
L
S x
Lehrstuhl für Informatik I
S
L
S
·
Universität Würzburg
13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Sei f Facette. Betrachte Folge σf von Winkeln L/S
an lokalen Quellen und Senken von f (im UZS)
Ziel: Entferne alle Quellen und Senken durch neue Kanten
f 6= f0 mit |σf | ≥ 2 enthält hL, S, Si an Knoten x , y , z
x Quelle ⇒ verfeinere mit (z , x )
x Senke ⇒ verfeinere mit (x , z )
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
S
S
S
L
L
Lehrstuhl für Informatik I
S
·
Universität Würzburg
13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Sei f Facette. Betrachte Folge σf von Winkeln L/S
an lokalen Quellen und Senken von f (im UZS)
Ziel: Entferne alle Quellen und Senken durch neue Kanten
f 6= f0 mit |σf | ≥ 2 enthält hL, S, Si an Knoten x , y , z
x Quelle ⇒ verfeinere mit (z , x )
x Senke ⇒ verfeinere mit (x , z )
S
S
S
L
L
S
Verfeinerung der Außenfacette f0
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
·
Universität Würzburg
13
Algorithmus: Φ, F, f0 → st-Graph k D
Sei f Facette. Betrachte Folge σf von Winkeln L/S
an lokalen Quellen und Senken von f (im UZS)
Ziel: Entferne alle Quellen und Senken durch neue Kanten
f 6= f0 mit |σf | ≥ 2 enthält hL, S, Si an Knoten x , y , z
x Quelle ⇒ verfeinere mit (z , x )
x Senke ⇒ verfeinere mit (x , z )
S
S
S
L
L
S
Verfeinerung der Außenfacette f0
Verfeinere alle f ∈ F ⇒ planarer st-Graph, der D enthält
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
14-1
Beispiel Verfeinerung
S
S
S
L
L
S
L
S
L
S S
L
S
S
S
S
S
S
L
S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
14-2
Beispiel Verfeinerung
S
S
S
L
L
S
L
S
L
S S
L
S
S
S
S
S
S
L
S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
14-3
Beispiel Verfeinerung
S
S
S
L
L
S
L
S
L
S S
L
S
S
S
S
S
S
S S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
14-4
Beispiel Verfeinerung
S
S
S
L
L
S
L
S
L
S S
L
S
S
S
S
S
S
S S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
14-5
Beispiel Verfeinerung
S
S
S
S
L
S
L
S
L
S S
L
S
S
S
S
S
S
S S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
14-6
Beispiel Verfeinerung
S
S
S
S
L
S
S
L
L
S S
L
S
S
S
S
S
S
S S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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14-7
Beispiel Verfeinerung
S
S
S
S
L
S
S
L
S S SS
L
S
S
S
S
S
S S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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14-8
Beispiel Verfeinerung
S
S
S
S
S
L
S
S
S
S
S
L
S S
SS
S
S S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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14-9
Beispiel Verfeinerung
S
S
SS
S
S
S
S
S
S
S
L
S S
SS
S
S S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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14-10
Beispiel Verfeinerung
S
S
SS
S
S
S
S
S
S
S
S
S S
SS
S
S S
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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14-11
Beispiel Verfeinerung
t
S
S
SS
S
S
S
S
S
S
S
S
S S
SS
S
S S
s
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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14-12
Beispiel Verfeinerung
t
S
S
SS
S
S
S
S
S
S
S
S
S S
SS
S
S S
s
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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15
Zusammenfassung
Eingabe: Eingebetteter, gerichteter, azykl. Graph G = (V , E ).
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Universität Würzburg
15
Zusammenfassung
Eingabe: Eingebetteter, gerichteter, azykl. Graph G = (V , E ).
Prüfe, ob Einbettung bimodal.
Teste mit Flussnetzwerk, ob konsistentes Φ existiert.
Falls bimodal und Φ existiert, zeichne G aufwärtsplanar:
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
15
Zusammenfassung
Eingabe: Eingebetteter, gerichteter, azykl. Graph G = (V , E ).
Prüfe, ob Einbettung bimodal.
Teste mit Flussnetzwerk, ob konsistentes Φ existiert.
Falls bimodal und Φ existiert, zeichne G aufwärtsplanar:
– verfeinere G zu planarem st -Graphen G 0
– Zeichne G 0 mit Algorithmus für st -Graphen
– Lösche Verfeinerungskanten wieder
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
15
Zusammenfassung
Eingabe: Eingebetteter, gerichteter, azykl. Graph G = (V , E ).
Prüfe, ob Einbettung bimodal.
Teste mit Flussnetzwerk, ob konsistentes Φ existiert.
Falls bimodal und Φ existiert, zeichne G aufwärtsplanar:
– verfeinere G zu planarem st -Graphen G 0
– Zeichne G 0 mit Algorithmus für st -Graphen
– Lösche Verfeinerungskanten wieder
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
Lässt sich aufwärtsplanar
zeichnen, s. Buch [DETT,
Kap. 6.1]
·
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15
Zusammenfassung
Eingabe: Eingebetteter, gerichteter, azykl. Graph G = (V , E ).
Prüfe, ob Einbettung bimodal.
Teste mit Flussnetzwerk, ob konsistentes Φ existiert.
Falls bimodal und Φ existiert, zeichne G aufwärtsplanar:
– verfeinere G zu planarem st -Graphen G 0
– Zeichne G 0 mit Algorithmus für st -Graphen
– Lösche Verfeinerungskanten wieder
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
Lässt sich aufwärtsplanar
zeichnen, s. Buch [DETT,
Kap. 6.1] – aber Platzbedarf exponentiell!
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16
Bestimmung der Winkel per Flussnetzwerk?
W := V ∪ F
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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16
Bestimmung der Winkel per Flussnetzwerk?
W := V ∪ F
A := {(v , f ) ∈ V × F : v inzident (∼) zu f }
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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16
Bestimmung der Winkel per Flussnetzwerk?
W := V ∪ F
A := {(v , f ) ∈ V × F : v inzident (∼) zu f }
`(a) = 0 ∀a ∈ A
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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16
Bestimmung der Winkel per Flussnetzwerk?
W := V ∪ F
A := {(v , f ) ∈ V × F : v inzident (∼) zu f }
`(a) = 0 ∀a ∈ A
u (a) = 2π ∀a ∈ A
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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Lehrstuhl für Informatik I
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16
Bestimmung der Winkel per Flussnetzwerk?
W := V ∪ F
A := {(v , f ) ∈ V × F : v inzident (∼) zu f }
`(a) = 0 ∀a ∈ A
u (a) = 2π ∀a ∈ A
b (v ) = 2π ∀v ∈ V
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16
Bestimmung der Winkel per Flussnetzwerk?
W := V ∪ F
A := {(v , f ) ∈ V × F : v inzident (∼) zu f }
`(a) = 0 ∀a ∈ A
u (a) = 2π ∀a ∈ A
b (v ) = (
2π ∀v ∈ V
−(deg(f ) − 2)π falls f =
6 f0 ,
b (f ) =
−(deg(f ) + 2)π sonst
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16
Bestimmung der Winkel per Flussnetzwerk?
W := V ∪ F
A := {(v , f ) ∈ V × F : v inzident (∼) zu f }
`(a) = 0 ∀a ∈ A
u (a) = 2π ∀a ∈ A
b (v ) = (
2π ∀v ∈ V
−(deg(f ) − 2)π falls f =
6 f0 ,
b (f ) =
−(deg(f ) + 2)π sonst
Fluss liefert Zuweisung x (· , · ) von Winkelwerten mit:
P
1. Knotenbed.: ∀v ∈ V : P f ∼v x (v , f ) = 2π
2. Facettenbed.: ∀f ∈ F :
v ∼f x (v , f ) = (deg(f ) ∓ 2)π
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16
Bestimmung der Winkel per Flussnetzwerk?
W := V ∪ F
A := {(v , f ) ∈ V × F : v inzident (∼) zu f }
`(a) = 0 ∀a ∈ A
u (a) = 2π ∀a ∈ A
b (v ) = (
2π ∀v ∈ V
−(deg(f ) − 2)π falls f =
6 f0 ,
b (f ) =
−(deg(f ) + 2)π sonst
Fluss liefert Zuweisung x (· , · ) von Winkelwerten mit:
P
1. Knotenbed.: ∀v ∈ V : P f ∼v x (v , f ) = 2π
2. Facettenbed.: ∀f ∈ F :
v ∼f x (v , f ) = (deg(f ) ∓ 2)π
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16
Bestimmung der Winkel per Flussnetzwerk?
W := V ∪ F
A := {(v , f ) ∈ V × F : v inzident (∼) zu f }
`(a) = 0 ∀a ∈ A
u (a) = 2π ∀a ∈ A
b (v ) = (
2π ∀v ∈ V
−(deg(f ) − 2)π falls f =
6 f0 ,
b (f ) =
−(deg(f ) + 2)π sonst
Fluss liefert Zuweisung x (· , · ) von Winkelwerten mit:
P
1. Knotenbed.: ∀v ∈ V : P f ∼v x (v , f ) = 2π
2. Facettenbed.: ∀f ∈ F :
v ∼f x (v , f ) = (deg(f ) ∓ 2)π
1. und 2. erfüllt: Zuweisung lokal konsistent.
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
·
Lehrstuhl für Informatik I
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Universität Würzburg
16
Bestimmung der Winkel per Flussnetzwerk?
W := V ∪ F
A := {(v , f ) ∈ V × F : v inzident (∼) zu f }
`(a) = 0 ∀a ∈ A
u (a) = 2π ∀a ∈ A
b (v ) = (
2π ∀v ∈ V
−(deg(f ) − 2)π falls f =
6 f0 ,
b (f ) =
−(deg(f ) + 2)π sonst
Fluss liefert Zuweisung x (· , · ) von Winkelwerten mit:
P
1. Knotenbed.: ∀v ∈ V : P f ∼v x (v , f ) = 2π
2. Facettenbed.: ∀f ∈ F :
v ∼f x (v , f ) = (deg(f ) ∓ 2)π
1. und 2. erfüllt: Zuweisung lokal konsistent.
Bem. Mithilfe von Kantenkosten könnte man die Winkelauflösung maximieren.
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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17
Lokale Konsistenz 6⇒ globale Konsistenz
x
π
6
π
6
2π
3
2π
3
v
π
6
u
10π
6
2π
3
π
6
π
12
3π
12
w
19π
12
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
21π
12
·
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17
Lokale Konsistenz 6⇒ globale Konsistenz
x
π
6
π
6
2π
3
2π
3
v
π
6
u
10π
6
gleichschenklig
2π
3
π
6
π
12
3π
12
w
19π
12
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
21π
12
·
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17
Lokale Konsistenz 6⇒ globale Konsistenz
x
π
6
π
6
2π
3
2π
3
v
π
6
u
10π
6
gleichschenklig
2π
3
π
6
π
12
3π
12
w
19π
12
21π
12
nicht gleichschenklig!
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18
Charakterisierung bei Dreiecksgraphen
Satz.
[Di Battista & Vismara ’93]
Gegeben ein planarer Dreiecksgraph? mit Einbettung F, f0
und Winkelzuweisung x , dann gilt:
Es 
existiert geradlinige Zeichnung mit R2 \ f0 konvex
P

1.
Knotenwinkel = 2π


P

2.
Facettenwinkel = π
Qdeg v sin αi
⇔
3. für alle v f0 gilt im Rad Rv : i =1 sin βi = 1



P

4. für alle v ∼ f0 gilt: v ∼f 6=f x (v , f ) ≤ π
0
?)
Alle Facetten f 6= f0 sind Dreiecke (C3 ).
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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18
Charakterisierung bei Dreiecksgraphen
Satz.
[Di Battista & Vismara ’93]
Gegeben ein planarer Dreiecksgraph? mit Einbettung F, f0
und Winkelzuweisung x , dann gilt:
α1 β4
2
Es 
existiert geradlinige Zeichnung mit R \ f0 konvex
P
β1 v
α4

1.
Knotenwinkel
=
2π


α2
P

β3
2.
Facettenwinkel = π
β2 α3
Q
Rv
⇔
deg v sin αi
3. für alle v f0 gilt im Rad Rv : i =1 sin βi = 1



P

4. für alle v ∼ f0 gilt: v ∼f 6=f x (v , f ) ≤ π
0
?)
Alle Facetten f 6= f0 sind Dreiecke (C3 ).
Philipp Kindermann, Alexander Wolff
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18
Charakterisierung bei Dreiecksgraphen
Satz.
[Di Battista & Vismara ’93]
Gegeben ein planarer Dreiecksgraph? mit Einbettung F, f0
und Winkelzuweisung x , dann gilt:
α1 β4
2
Es 
existiert geradlinige Zeichnung mit R \ f0 konvex
P
β1 v
α4

1.
Knotenwinkel
=
2π


α2
P

β3
2.
Facettenwinkel = π
β2 α3
Q
Rv
⇔
deg v sin αi
3. für alle v f0 gilt im Rad Rv : i =1 sin βi = 1



P

4. für alle v ∼ f0 gilt: v ∼f 6=f x (v , f ) ≤ π
0
Problem: Ist keine lineare Bedingung :-(
?)
Alle Facetten f 6= f0 sind Dreiecke (C3 ).
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