1. Geometrische Grundbegriffe 2. Winkel 3. Spiegelungen und

Maria-Theresia-Gymnasium München
Grundwissen Mathematik
7. Klasse Geometrie
1. Geometrische Grundbegriffe
Strecke [AB] mit den Endpunkten A und B und
der Streckenlänge AB
A
AB = 3cm
B
Gerade AB
A
B
Halbgerade (Strahl) [AB mit Anfangspunkt A
A
B
2. Winkel
Zwei sich schneidende Geraden bilden 4 Winkel.
Nebeneinander liegende Winkel heißen Nebenwinkel, sie ergeben zusammen stets 180°.
Gegenüberliegende Winkel heißen
Scheitelwinkel. Sie sind gleich groß.
Die Winkelpaare α1 und α2, β1 und β2, γ1 und γ2
sowie δ1 und δ2 heißen Stufenwinkel.
α1 und γ2, β1 und δ2, γ1 und α2 sowie δ1 und β2
heißen Wechselwinkel.
α1 und δ2 sowie β1 und γ2 heißen
Nachbarwinkel.
Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann
gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel
sind. Nachbarwinkel ergänzen sich genau dann
zu 180°, wenn g und h parallel sind.
α + β = 180°
β
α
α
β
δ1
g
α1
δ2
α2
h
γ2
γ1
β1
β2
In jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180°, in jedem Viereck 360°.
In jedem n-Eck beträgt die Summe der Innenwin- z.B. regelmäßiges Fünfeck:
kel (n – 2) · 180°.
Summe der Innenwinkel: 540°,
jeder Innenwinkel misst 108°.
108°
3. Spiegelungen und Symmetrie
Achsenspiegelung:
Abbildungsvorschrift der Achsenspiegelung Sa:
Bei gegebener Achse a wir jedem Punkt P der
Ebene ein Bildpunkt P´ auf folgende Weise zugeordnet:
• Falls P ∉ a, liegt der Bildpunkt P’ so, dass
[PP’] von der Achse a rechtwinklig halbiert
wird.
• Falls P ∈ a ist, gilt P = P’.
a
C
A
C´
B=B´
A´
Nur die Achsenpunkte sind Fixpunkte. Die Spiegelachse und alle senkrecht zu ihr verlaufenden
Geraden sind Fixgeraden.
Achsenspiegelungen sind geraden-, längenund winkeltreu. Der Umlaufsinn ändert sich.
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Januar 2004
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Punktspiegelung:
Abbildungsvorschrift der Punktspiegelung SZ:
Bei gegebenem Zentrum Z wird jedem Punkt P
der Ebene ein Bildpunkt P’ so zugeordnet:
• Für P ≠ Z wird die Verbindungsstrecke zwischen P und P´ vom Zentrum Z halbiert.
• Z wird auf sich selbst abgebildet.
C
B
Z
Z ist der einzige Fixpunkt der Punktspiegelung.
Alle Geraden durch Z sind Fixgeraden.
Punktspiegelungen sind geraden-, längen- und
winkeltreu. Der Umlaufsinn bleibt erhalten.
Jede Punktspiegelung kann durch zwei Achsenspiegelungen an zueinander senkrechten Geraden mit Schnittpunkt Z ersetzt werden.
A
A´
B´
C´
4. Dreiecke
Das gleichschenklige Dreieck:
Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten
(Schenkel) heißt gleichschenklig. Die dritte
Seite heißt Basis.
a
Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig:
• Das Dreieck ist gleichschenklig.
• Das Dreieck ist achsensymmetrisch.
• Das Dreieck besitzt zwei gleich große Winkel
(Basiswinkel).
a
c
Das gleichseitige Dreieck:
Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt
gleichseitig. Seine Winkel betragen jeweils 600.
Alle drei Mittelsenkrechten sind Symmetrieachsen.
a
a
a
Das rechtwinklige Dreieck
Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C einen
rechten Winkel, wenn C auf dem Halbkreis über
[AB] liegt. (Thaleskreis)
C
B
A
5. Kongruenz
Verschiebung:
Eine Verschiebung entsteht durch Zweifachspiegelung an zwei parallelen Geraden g und h,
wobei der Verschiebungspfeil doppelt so lang ist
wie der Achsenabstand
Verschiebungen sind geraden-, längen- und
winkeltreu. Der Umlaufsinn bleibt erhalten.
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A
A
B
h
B
g
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Drehung:
Eine Drehung um Z entsteht durch Zweifachspiegelung an zwei sich in Z schneidenden Geraden g und h. Der Umlaufsinn bleibt erhalten.
Drehungen sind geraden-, längen- und winkeltreu.
Kongruenzabbildung:
Kongruenzsätze für Dreiecke:
Achsenspiegelungen und Verkettungen von Ach- SSS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in
senspiegelungen nennt man Kongruenzabbildrei Seiten übereinstimmen.
dungen.
SWS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in
Zwei Figuren F und G, die durch eine Konzwei Seiten und dem eingeschlossenen
gruenzabbildung aufeinander abgebildet werden
Winkel übereinstimmen.
können, heißen kongruent (deckungsgleich). In
WSW bzw. SWW: Dreiecke sind kongruent,
Zeichen: F ≅ G.
wenn sie in einer Seite und zwei
gleichliegenden Winkeln übereinC
∆ABC ≅ ∆PQR
stimmen.
R
P
SsW: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in
zwei Seiten und dem Gegenwinkel der
größeren Seite übereinstimmen.
B
Q
In jedem Dreieck liegt der größeren Seite der
größere Winkel gegenüber.
A
6. Dreieckstransversalen
Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis. Sein Mittelpunkt ist der gemeinsame Schnittpunkt U der
drei Mittelsenkrechten zu den Dreiecksseiten.
Jedes Dreieck besitzt einen Inkreis. Sein
Mittelpunkt ist der gemeinsame Schnittpunkt U
der drei Winkelhalbierenden.
In jedem Dreieck schneiden sich die drei Höhen
in genau einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt.
Verbindet man in einem Dreieck einen Eckpunkt
mit der gegenüberliegenden Seitenmitte, so
entsteht eine Seitenhalbierende.
In jedem Dreieck schneiden sich drei
Seitenhalbierenden in genau einem Punkt, dem
Schwerpunkt des Dreiecks.
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