§5. Primzahlen

26
Chr.Nelius : Zahlentheorie (SoSe 2016)
§ 5. Primzahlen
Jede ganze Zahl a besitzt die sog. unechten Teiler ±1 und ±a . Davon verschiedene Teiler
von a heißen echte Teiler von a .
(5.1) DEF: a) Eine natürliche Zahl p ∈
N heißt Primzahl oder prim, wenn gilt:
P1 ) p ≥ 2
P2 ) 1 und p sind die einzigen positiven Teiler von p .
b) IP bezeichne die Menge aller Primzahlen .
c) Eine natürliche Zahl, die einen echten Teiler besitzt, heißt eine zusammengesetzte Zahl.
Beispiele: {2, 3, 5, 7, 11, 13} ⊆ IP
1 6∈ IP ,
4 6∈ IP ,
6 6∈ IP ,
− 2 6∈ IP ,
− 3 6∈ IP ,
− 13 6∈ IP
!
(5.2) BEM: a) 1 ist keine Primzahl !!!
b) Eine natürliche Zahl p ≥ 2 ist genau dann eine Primzahl, wenn gilt
für alle t ∈
N
mit t | p folgt t = 1 oder t = p .
c) Eine natürliche Zahl n ≥ 2 ist genau dann keine Primzahl, wenn n einen echten positiven
Teiler besitzt, d.h. wenn es ein
t∈
N
mit 1 < t < n und t | n
gibt. In dem Falle ist dann auch der zu t komplementäre Teiler s von n ein echter Teiler von
n . Also
n∈
N, n ≥ 2 :
n 6∈ IP
⇐⇒
es gibt s, t ∈
N
mit 1 < s, t < n und n = s · t .
d) Bezeichnet M die Menge der zusammengesetzten natürlichen Zahlen, so gilt
N
= {1} ∪ IP ∪ M .
e) 2 ist die einzige gerade Primzahl, alle anderen Primzahlen sind ungerade.
f) Für n ∈
N gilt :
n prim
(5.3) SATZ: Für a ∈
Z und p ∈ IP gilt:
a) ggT(a, p) ∈ {1, p}
b) ggT(a, p) = p
c) ggT(a, p) = 1
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
p|a
p 6 | a.
τ (n) = | T + (n) | = 2 .
27
Chr.Nelius : Zahlentheorie (SoSe 2016)
(5.4) SATZ: Eine Kennzeichnung von Primzahlen (Euklid)
Für eine natürliche Zahl p ≥ 2 sind folgende Aussagen äquivalent:
a) p ist eine Primzahl
b) Für alle a, b ∈
Z gilt:
p | (a · b)
=⇒
(p | a oder p | b) .
Dieses Ergebnis lässt sich mit Hilfe vollständiger Induktion auf Produkte mit mehr als zwei
Faktoren verallgemeinern:
(5.5) SATZ: a) Sind a1 , a2 , . . . , an (n ∈
gilt:
N)
ganze Zahlen und ist p eine Primzahl, so
Teilt p das Produkt a1 · a2 · . . . · an , so teilt p mindestens einen der Faktoren.
b) Für Zahlen p ∈ IP , a ∈
Z, n∈N
gilt:
p | an
=⇒
p|a.
BEM: Formelmäßig bedeutet (5.5a):
p | a1 · a2 · . . . · an
=⇒
es gibt ein k ∈ {1, 2, 3, . . . , n} mit p | ak .
(5.6) SATZ: Jede natürliche Zahl n ≥ 2 besitzt einen Primteiler , d.h. es gibt eine
Primzahl p mit p | n .
(5.7) FOLGERUNG: Zwei ganze Zahlen a und b sind genau dann teilerfremd, wenn sie
keinen gemeinsamen Primteiler besitzen.
Über die Verteilung der Primzahlen
(5.8) SATZ: (Euklid)
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
(5.9) DEF: Ein Zahlenpaar (p, p + 2) , bei dem sowohl p als auch p + 2 Primzahlen sind,
heißt ein Primzahlzwilling .
Beispiele: für Primzahlzwillinge: (3, 5) , (5, 7) , (11, 13) , (17, 19) , (29, 31) ,
(q, q + 2) mit q = 242 206 083 · 238 880 − 1 (q hat 11 713 Dezimalziffern) .
UNGELÖSTES PROBLEM: Bis heute ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt oder nur endlich viele.
28
Chr.Nelius : Zahlentheorie (SoSe 2016)
(5.10) SATZ: Ist n eine beliebige natürliche Zahl, so sind die n aufeinanderfolgenden Zahlen
(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, . . . , (n + 1)! + n, (n + 1)! + (n + 1)
alle zusammengesetzt. Dabei bezeichnet n! (lies: n–Fakultät) das Produkt der natürlichen
Zahlen von 1 bis n , d.h. n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n .
BEM: (5.10) bedeutet, dass der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen beliebig groß werden kann.
(5.11) SATZ: Zu jeder Primzahl p ≥ 5 gibt es eine Zahl k ∈
N mit
p = 6 · k − 1 oder p = 6 · k + 1 .
(5.12) BEM: a) Eine Primzahl p ≥ 5 liegt also auf dem Zahlenstrahl der natürlichen
Zahlen entweder unmittelbar vor oder hinter einem Vielfachen von 6 .
b) Umgekehrt muss aber eine Zahl der Form 6 · k − 1 oder 6 · k + 1 keine Primzahl sein. So
ist z.B. für k = 6 die Zahl 6 · 6 − 1 = 35 keine Primzahl, und für k = 4 ist 6 · 4 + 1 = 25
keine Primzahl.
(5.13) BEM: Die folgende Tabelle enthält Angaben über die Anzahl der Primzahlen bis zu
einer bestimmten Grenze:
m
Anzahl der Primzahlen ≤ m
10
100
1000
104
105
4
25
168
1 229
9 592
106
78 498
Chr.Nelius : Zahlentheorie (SoSe 2016)
29
Wie kann man testen, ob eine Zahl prim ist?
(5.15) SATZ: Für eine natürliche Zahl n ≥ 4 sind folgende Aussagen äquivalent:
a) n ist eine Primzahl
√
b) n besitzt keinen Teiler t mit 2 ≤ t ≤ ⌊ n⌋
√
c) n besitzt keinen Primteiler p mit p ≤ ⌊ n⌋ .
Aus diesem Satz ergibt sich ein Primzahltest für eine natürliche Zahl n ≥ 4 :
(5.16) Primzahltest
√
Teste der Reihe nach, ob eine der Primzahlen ≤ ⌊ n⌋ die Zahl n ≥ 4 teilt. Wenn nein, ist
n eine Primzahl, wenn ja, ist ein echter Teiler von n gefunden, und n ist nicht prim.
√
Um den Primzahltest (5.16) ausführen zu können, müssen alle Primzahlen ≤ ⌊ n⌋ bekannt
sein. Ein Verfahren, Primzahllisten aufzustellen, ist
(5.17) Das Sieb des Eratosthenes
Sei n ≥ 3 eine natürliche Zahl. Gehe folgendermaßen vor:
Streiche in der Folge der ungeraden natürlichen Zahlen von 3 bis n alle echten Vielfachen von
3 , dann alle echten Vielfachen der nächsten ungestrichenen Zahl usw.
√
Brich das Verfahren ab, wenn die nächste ungestrichene Zahl > ⌊ n⌋ ist.
Es bleiben alle ungeraden Primzahlen ≤ n übrig. Fügt man noch die einzige gerade Primzahl
2 hinzu, so erhält man alle Primzahlen ≤ n .