Response-Funktionen - Dieter W. Heermann

Vorlesung Statistische Mechanik: N-Teilchensystem
Response-Funktionen
• Bisher haben wir vorwiegend Eigenschaften des
thermodynamischen Gleichgewichts untersucht.
• Diese stellen aber nur einen beschränkten Ausschnitt der
interessierenden Phänomene dar.
• Zur theoretischen Behandlung von
Nichtgleichgewichtszuständen gibt es vielfältige Ansätze.
• Die lineare Antworttheorie beschränkt sich auf kleine
Störungen aus Gleichgewichtszuständen und untersucht
die Reaktion des untersuchten Systems auf solche kleine
Störungen.
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• Sie stellt andererseits einen recht allgemeinen Rahmen dar,
da keine Einschränkungen bezüglich der Natur der Störung
oder deren zeitlichem und räumlichem Verhalten gemacht
werden müssen, solange diese nur insgesamt klein sind.
• Es seien n̂A (r) Dichten von Observablen, beispielsweise
Teilchendichte, Stromdichte, Energiedichte,
Magnetisierung und andere.
• Dazu gehören konjugierte Felder hA (r, t), beispielsweise
Potentiale, Kraftfelder, Temperaturdifferenzen,
Magnetfeld und andere.
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• Das betrachtete System sei durch einen, im Allgemeinen
zeitabhängigen, Hamiltonoperator
H = H0 −
XZ
hA (r, t) n̂A (r)d3 r
(1)
A
beschrieben.
• Dabei sei H0 der Hamiltonoperator des ungestörten
Systems, und die Störungen hA (r, t) seien so klein, dass
man sich auf Störungsrechnung erster Ordnung
beschränken kann.
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• Wir untersuchen den Erwartungswert einer Dichte n̂A (r)
zur Zeit t: hn̂A (r, t)ih , falls Störungen vorhanden sind.
• Die Dichten seien so gewählt, dass im Gleichgewicht
hn̂A (r, t)i0 = 0 ist.
• Falls die Störungen hinreichend klein sind, ist
hn̂A (r, t)ih =
XZ Z
B
t
RAB (r−r 0 , t−t0 )hB (r0 , t0 )d3 r0 dt0
−∞
(2)
• Dabei haben wir Kausalität vorausgesetzt und
Homogenität in Raum und Zeit für das ungestörte System.
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.
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• Die Funktionen RAB (r − r 0 , t − t0 ) nennt man lineare
Antwort- oder Responsefunktionen.
• Es sei ρh (t) der statistische Operator in Gegenwart der
Störungen.
• Dann ist
hn̂A (r, t)ih = Tr n̂A (r) ρh (t)
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.
(3)
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• Die Zeitabhängigkeit von ρh (t) ist durch die
von-Neumann-Gleichung
−i
d
ρh (T ) =
[H(t), ρh (t)]
dt
~
(4)
gegeben.
• Daraus erhält man, unter Verwendung der zyklischen
Invarianz der Spur,
d
−i
hn̂A (r, t)ih =
Tr [n̂A (r), H(t)] ρh (t)
dt
~
,
(5)
wobei für H(t) (??) zu verwenden ist.
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• Der Satz von Dichten n̂A (r) sei vollständig in dem Sinn,
dass für jede Dichte
−i
[n̂A (r), H0 ] =
~
XZ
LAC (r − r̄) n̂C (r̄)d3 r̄
(6)
C
geschrieben werden kann.
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• Der Satz sei linear unabhängig in dem Sinn, dass die
Zerlegung (??) eindeutig ist.
• Damit wird
d
hn̂A (r, t)ih =
dt
XZ
LAC (r − r̄)hn̂C (r̄, t)ih d3 r̄
C
Z
X
i
+
h [n̂A (r), n̂C (r0 )] i0 hC (r0 , t)d3 r̄
~ C
• Dabei können wir, wenn wir uns auf lineare Terme in h
beschränken, für den Erwartungswert des Kommutators
den Gleichgewichtserwartungswert verwenden.
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(7).
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• Setzen wir darin noch (??) ein, erhalten wir als
Bewegungsgleichung der Responsefunktionen
d
RAB (r − r 0 , t − t0 ) =
dt
XZ
LAC (r − r̄) RCB (r̄ − r 0 , t − t0 )d3 r̄
C
i
+ h [n̂A (r), n̂B (r0 )] i0 δ(t − t0 ).
~
• Die Bedingung der Kausalität ist RAB (r, t) = 0 für t < 0.
Speziell für t → 0+ erhält man
i
RAB (r − r , 0 ) = h [n̂A (r), n̂B (r0 )] i0
~
0
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+
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.
(9)
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(8)
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Fluktuationen
• Wir hatten bereits die Fluktuationen der Energie mit der
spezifischen Wärme in Zusammenhang gebracht und dabei
das kanonische Ensemble verwendet.
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• Betrachten wir nun die Fluktuationen in der Teilchenzahl,
dann erhalten wir
< (δN )2 > = < (N − < N >)2 >
(10)
= < N 2 > − < N >2
(11)
XX
X
2
Ni P i −
Ni Nj Pi Pj (12)
=
i
=
i
2
∂ ln Zgk
∂(βµ)2
j
.
(13)
β,V
• Also stehen die Teilchenzahlfluktuationen mit der
Kompressibilität in Zusammenhang.
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• Ganz allgemein erhalten wir
∂<X>
−
=< (δX)2 >
∂ξ
.
(14)
• Die rechte Seite dieser Gleichung ist stets positiv, und die
linke Seite bestimmt die Krümmung der
thermodynamischen freien Energie.
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Beispiele: Molekular Dynamik
• Wir erinnern uns an die Beziehung
3
hEk i = N kB T
2
,
die die Temperatur T mit dem Erwartungswert der
kinetischen Energie in Beziehung setzt.
• Bei MD Simulationen betrachten wir im Allg. eine
Hamiltonfunktion
H = Ek + U
X
1X
mvi2 +
U (rij )
=
2 i
i<j
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• Das System besitzt also eine konstante Energie, d. h. die
Temperatur kann nicht konstant sein.
• Ein Weg, eine konstante Temperatur einzuführen, ist, die
kinetische Energie konstant zu halten:
X
mvi2 = const
.
i
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1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
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Wähle ~ri 0 , ~vi 0
for i=0; i < N do
Berechne die Kräfte F~ (rin , vin )
Berechne ~ri n+1 , ~vi n+1
P
Berechne i m(vin+1 )2 = Λ
Skaliere die Geschwindigkeiten, so dass Λ der
gewünschten Temperatur entspricht
end for
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• Alle Geschwindigkeiten werden skaliert, d.h. es wird
angenommen, dass alle Teilchen und jedes Gebiet eine und
nur eine Temperatur haben.
• Wie soll der Skalenfaktor aussehen? Zählt man
P
2
mv
i = const als eine Nebenbedingung und vermindert
i
dadurch die Zahl der Freiheitsgrade
s
(3N − 4)kB Tref
P
β=
mi vi2
wobei die Nebenbedingung Gesamtimpuls = 0
berücksichtigt worden ist.
• Welche Geschwindigkeiten sollen skaliert werden?
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• Bei einigen Integrationsverfahren werden
Halbschrittgeschwindigkeiten berechnet!
1X
L=
mvi2 − U (r)
(U 6= U (r, ṙ))
2 i
∂L
d ∂L
−
=0
∂ri dt ∂ ṙi
(15)
(16)
• Betrachte das folgende dissipative System
d
∂L
−
∂ri dt
∂L
∂ ṙi
= −F (ri , ṙi )
∂V
d ∂V
+
Ann. F (ri , ṙi ) = −
∂ri dt ∂ri
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(17)
(18)
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d.h. die verallgemeinerten Kraft läßt sich nach einem
verallgemeinerten Potential ableiten.
Def. L0 := L − V
0
d
∂L
−
→
∂ri
dt
0
∂L
∂ ṙi
=0
(20)
Ann. V = ξ(r, ṙ)φ(r, ṙ)
(21)
∂φ
∂ξ
= pi + ξ
+φ
∂ ṙi
∂ ṙi
(22)
→ mṙi
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(19)
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∂U
∂φ
∂ξ
ṗi = −
−ξ
−φ
∂ri
∂ri
∂ri
1X 2
Ann. φ = φ(ṙ) =
mri − Λ = 0
2
∂φ
→ mṙi = pi + ξ
∂ ṙi
∂U
ṗi = −
∂ri
s
pi
2mΛ
P 2
→ mṙi =
m
j pj
ṗi
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∂U
= −
∂ri
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(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
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Thermodynamik
• Die Thermodynamik ist eine Theorie, die sich mit
Systemen befasst, die stets im Gleichgewicht sind.
• Werden Veränderungen an einem System vorgenommen,
dann gehen die Veränderungen so langsam vor, dass man
stets vom Gleichgewicht sprechen kann.
• Hierbei nehmen wir zunächst ein intiutives Verständnis
von Begriff Gleichgewicht an.
• Aus der Alltagserfahrung wissen wir, dass wir bei
makroskopischen Systemen, und nur solche wollen wir hier
betrachten, nur eine begrenzte Anzahl von Parametern
benötigen, um den Zustand zu beschreiben.
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• Solche Parameter sind Druck P oder das Volumen V .
• Betrachte etwa das folgende Experiment.
• Wir bringen in einen Container mit variablem Volumen ein
Gas ein. Wir beobachten, dass nach einiger Zeit sich ein
Volumen V eingestellt hat.
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• Reicht die Angabe des Volumens, um den Zustand des
Gases zu charakterisieren?
• Was ist ein System?
• Ein thermodynamisches System ist von der Umgebung
durch Wände mit besonderen Eigenschaften getrennt.
• Solche Wände erlauben oder verhindern verschiedene
Arten von Wechselwirkungen zwischen dem
thermodynamischen System und seiner Umgebung.
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• Dabei unterscheiden wir
offene Systeme
Stoff- und Energieaustausch
geschlossene Systeme
Energieaustausch, kein Stoffau
adiabtische Systeme
Kein Wärmeaustausch
isoliertes (abgeschlossenes) System Kein Stoff-, kein Energieaustau
• Weiter sei das System einfach, d.h., es ist makroskopisch
homogen, isotrop, nicht geladen und genügend groß, so
dass Oberflächen keine Rolle spielen (thermodynamischer
Limes).
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• Wir nehmen weiterhin an, dass es makroskopische
Gleichgewichtszustände gibt, die vollständig durch endlich
viele Parameter beschrieben werden können.
• Diese Parameter heißen Zustandsgrößen.
• Ein thermodynamischer Zustand wird durch die
Gesamtheit der unabhängigen makroskopischen Parameter
eines Systems bestimmt, d.h., er wird durch die Menge
aller thermodynamischen Variablen, die für die eindeutige
Beschreibung des Systems erforderlich sind, festgelegt.
• Die Anzahl der Variablen ist dabei oft von der Art des
Systems abhängig.
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• Jeden denkbaren Zustand, der durch dieselben
statistischen Werte für das Gesamtsystem beschrieben
werden kann - z.B. durch ein- und dieselbe innere Energie,
dieselbe Temperatur oder dieselbe Dichte - nennen wir
einen Makrozustand.
• In der klassischen Thermodynamik werden nur
Gleichgewichtszustände betrachtet, da sich nur unter
diesen Voraussetzungen sinnvolle thermodynamische
Parameter definieren lassen.
• D.h., die äußeren Bedingungen ändern sich so langsam
(quasistatisch), dass das System in jedem Augenblick
näherungsweise im Gleichgewicht ist.
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Erstes, zweites und drittes Gesetz
• Der Vollständigkeit halber führen wir die Grundpostulate
nochmals an.
Axiom 0.1 Nullter Hauptsatz der Thermodynamik
Befinden sich die Systeme A und B, sowie B und C im
thermischen Gleichgewicht, so befinden sich auch die
Systeme A und C im thermischen Gleichgewicht.
• Dies beschreibt die Transitivität des thermischen
Gleichgewichtes.
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Axiom 0.2 Erste Hauptsatz der Thermodynamik
Die Änderung der inneren Energie eines Systems ist gleich
der Summe der (in gleichen Energieeinheiten) von außen
zugeführten Wärmemenge und der zugeführten Arbeit. Bei
einem Kreisprozess ist die Summe von zugeführter Wärme
und Arbeit gleich Null.
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• Wird in einen geschlossenen System (Energieaustausch
möglich) Energie in Form von Wärme oder mechanischer
Arbeit zugeführt (abgeführt), erhöht sich die innere
Energie E des Systems.
E2 –E1 = ∆Q + ∆W
,
(29)
wobei ∆Q die zugeführte Wärmemenge und ∆W die
zugeführte Arbeit ist.
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• Durchläuft das System einen Kreisprozess (siehe weiter
unten), bei dem es am Ende wieder in dem gleichen
Zustand ist wie am Anfang, muss die innere Energie, die
nur von dem augenblicklichen Zustand des Systems
abhängt, auch wieder die gleiche geworden sein, d.h.,
E2 = E1 , also
0 = ∆Q + ∆W
.
(30)
• In einem Kreisprozess ist die Summe von zugeführter
Arbeit und Wärmeänderung gleich Null.
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• Die Zustandsgleichung drückt den funktionalen
Zusammenhang der Variablen eines Systems im
Gleichgewicht aus. Sie stellt demnach einen funktionalen
Zusammenhang zwischen thermodynamischen
Zustandsgrößen her.
• Dabei wählt man eine der Zustandsgrößen als
Zustandsfunktion und die anderen, von ihr abhängigen
Zustandsgrößen, als Zustandsvariablen.
• In der Thermodynamik versteht man unter einem
reversiblen Prozess einen Prozess, bei dem das System
wieder in den Ausgangszustand zurückkehren kann, ohne
dass in seiner Umgebung irgendwelche Veränderungen
eingetreten sind.
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• Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die
Reversibilität ist das thermodynamische Gleichgewicht.
Axiom 0.3 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Im thermodynamischen Gleichgewicht hat ein System eine
möglichst große Entropie. Die Entropie eines
abgeschlossenen Systems wird nie von alleine kleiner
• Der zweite Hauptsatz definiert irreversible Prozesse.
• Ein Prozeß, bei dem die Entropie zunimmt, kann offenbar
geschehen, der Rückwärtsprozeß jedoch nicht.
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Axiom 0.4 Dritter Hauptsatz der Thermodynamik
Bei der Annäherung der Temperatur an den absoluten
Nullpunkt (T = 0) wird die Entropie S unabhängig von
thermodynamischen Parametern.
• Die konstante Entropie bei T = 0 lässt sich als
S = kB ln Γ0
(31)
scheiben, wobei kB die Boltzmann-Konstante ist und Γ0
die Anzahl der möglichen Mikrozustände im Grundzustand.
• Man kann dies auch ausdrücken als: Der absolute
Nullpunkt der Temperatur ist unerreichbar
(Nernst-Theorem).
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Legendre Funktionen
• Die natürlichen Variablen der Energie E sind die Entropie
S, das Volumen V und die Teilchenzahl N .
• Zu jeder dieser Variablen gibt es konjugierte Variablen
S → T
Temperatur
(32)
V
Druck
(33)
chemisches Potential
(34)
→ P
N → µ
• Experimentell zugänglich ist im Allgemeinen die
Temperatur T und nicht die Entropie.
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• Gibt es eine Möglichkeit einen Tuple von Variablen, etwa
(S, V, N ) umzuwandlen in (T, V, N )?
• Sei allgemein Z eine Zustandsfunktion der Variablen X
und Y
Z = Z(X, Y )
.
(35)
• Dann ist
dZ =
SS 2005
∂Z
∂X
dX +
Y
∂Z
∂Y
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dY
.
(36)
X
Seite 34
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• Sei Z = const dann, folgt
(∂Z/∂X)Y
∂Y
= −
zykl.
∂X Z
(∂Z/∂Y )X
(∂Z/∂Y )X
∂X
= −
zykl.
∂Y Z
(∂Z/∂X)Y
(∂X
(∂Y
(∂Z
−1 = −
(∂Y Z (∂Z X (∂X Y
(37)
(38)
(39)
.
• Sei nun der Zusammenhang zwischen den Größen Z, Y
und X implizit gegeben
Ω(X, Y, Z) = const
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,
(40)
Seite 35
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• dann ergibt sich für das Differential
dΩ =
∂Ω
∂X
ZY
∂Ω
dX +
∂Y
∂Ω
dY +
∂Z
ZX
dZ
XY
.
(41)
• Sei Z, Y und X implizit durch Ω gegeben und sei weiter
Z = const dann folgt
∂Y
∂X
Ω,Z
(∂Ω/∂X)Y,Z
= −
(∂Ω/∂Y )X,Z
zykl.
.
(42)
• Bevor wir im thermodynamischen Kalkül fortfahren, wollen
wir ein Beispiel der Anwendung dieses Kalküles angeben.
SS 2005
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Seite 36
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Beispiele
• Angenommen, wir hätten die folgende Zustandsgleichung
gegeben
P = P (V, T )
,
(43)
• dann folgt
dP =
SS 2005
∂P
∂T
dT +
V
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∂P
∂V
dV
(44)
T
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Vorlesung Statistische Mechanik: N-Teilchensystem
• Dabei heißt
κT = −V
∂P
∂V
(45)
T
die (isotherme) Kompressibilität und
1
α=−
V
∂V
∂T
(46)
P
der thermische Ausdehnungskoeffizient .
SS 2005
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Seite 38
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• Es gilt:
−1 = −
(∂X
(∂Y
Z
(∂Y
(∂Z
X
(∂Z
(∂X
,
(47)
Y
woraus
∂P
∂T
= ακT
(48)
V
folgt.
SS 2005
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Seite 39
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Maxwell-Relationen
• Da Funktionen wie E und S totale Differentiale haben
und somit lntegrabilitätsbedingungen genügen, folgt für
thermodynamische Potentiale die ldentität der gemischten
zweiten Ableitungen.
• Beispiel:
∂2E
∂2E
=
∂V ∂S
∂S∂V
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(49)
Seite 40
Vorlesung Statistische Mechanik: N-Teilchensystem
• Es gelten die Maxwell-Relationen
∂T
∂V S
∂T
∂P S
∂S
∂V T
∂S
−
∂P T
SS 2005
=
=
=
=
∂P
−
∂S
∂V
∂S P
∂P
∂T V
∂V
∂T P
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(50)
V
(51)
(52)
(53)
Seite 41
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Zur Temperatur
• Das Axiom 3 der Thermodynamik lässt sich auch als
Variationsprinzip formulieren:
Bei konstanter Energie ist die Entropie maximal
(δS)E ≤ 0
(54)
• Angenommen wir hätten zwei Körper A und B, die jeweils
die Energien E A und E B bzw. die Entropien S A und S B
haben.
• Beide Körper werden in Kontakt gebracht.
• Nach einiger Zeit wird sich ein Gleichgewicht einstellen.
SS 2005
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Seite 42
Vorlesung Statistische Mechanik: N-Teilchensystem
• Welche Temperaturen haben die beiden Systeme dann?
• Nehmen wir an, dass zu Anfang T A 6= T B ist.
• Zunächst muss die Änderung der Entropie positiv sein:
∆S > 0
∆S A + ∆S B > 0
(55)
und
SS 2005
A
∂S
∂E A
A
∆E +
V
B
∂S
∂E B
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∆E B > 0
(56)
V
Seite 43
Vorlesung Statistische Mechanik: N-Teilchensystem
• Wegen ∆E A = −∆E B folgt
1
1
− B
A
T
T
∆E A > 0
(57)
• Nehmen wir an, dass T A > T B zu Anfang, dann muss
∆E A < 0 und falls T A < T B , dann ∆E A > 0.
• Demnach fließt die Energie stets von einem warmen
Körper zu einem kalten.
• Für die Gesamtenergie gilt E = E A + E B und weiter
(δ 2 S)E ≤ 0
SS 2005
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(58)
Seite 44
Vorlesung Statistische Mechanik: N-Teilchensystem
• Da E = const, folgt
∆E A = −∆E B
(59)
TA = TB
(60)
und S extensiv.
• Da δE ≥ 0 folgt
• Befassen wir uns nochmals mit der Wärme
dW = dE + P dV
(61)
und nehmen wir an, dass die Energie eine Funktion der
Variablen T und V ist.
SS 2005
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Seite 45
Vorlesung Statistische Mechanik: N-Teilchensystem
• Damit
dW =
∂E
∂T
dT +
V
∂E
∂V
+ P dV
T
(62)
• Bei konstantem Volumen folgt
∂E
∂T
V
dW
=
dT
(63)
• Andererseits sei V = V (T, P ), dann
dV =
∂V
∂T
+
P
∂V
∂P
(64)
T
und weiter
SS 2005
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Seite 46
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∂E
∂E
=
+
+P
∂T V
∂V T
∂E
∂V
+
+P
dP
∂V T
∂P T
dW
∂V
∂T
dT
P
(65)
• Also bei konstantem Druck
SS 2005
∂E
∂T
+
V
∂E
∂V
+P
T
∂V
∂T
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P
dW
=
dT
(66)
Seite 47
Vorlesung Statistische Mechanik: N-Teilchensystem
• Die Wärmezufuhr pro Temperatureinheit heißt
Wärmekapazität
CV
CP
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∂E
=
(67)
∂T V
∂E
∂E
∂V
=
+
+P
(68)
∂T V
∂V T
∂T P
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Seite 48
Vorlesung Statistische Mechanik: N-Teilchensystem
• Es folgt
CP = C V +
∂E
∂V
+P
T
∂V
∂T
∂T
∂V
(69)
P
und
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∂E
∂V
+ P = (CP − CV )
T
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(70)
P
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Vorlesung Statistische Mechanik: N-Teilchensystem
• Aus E = E(V, T ) folgt dann weiter für die Wärme
∂T
dW = CV dT + (CP − CV )
∂V
dV
(71)
P
• Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt:
(δ 2 E)S,V,N > 0
• Falls (δ 2 E)S,V,N = 0, dann ist die Stabilität nur durch die
Terme höherer Ordnung zu bestimmen.
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Seite 50
Vorlesung Statistische Mechanik: N-Teilchensystem
• Wenn
(δ 2 E)S,V,W < 0
dann ist ein System intrinsisch instabil.
Satz 0.1 Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt:
(i)
CV ≥ 0
(ii)
CP ≥ 0
Korollar 0.1
CP > C V
SS 2005
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Seite 51
Vorlesung Statistische Mechanik: N-Teilchensystem
Beweis:
δS = 0 = δS1 + δS2
δV1 = δV2 = 0, δN1 = δN2 = 0
δ 2 E = (δ 2 E1 ) + (δE2 )
2 2 1 ∂ E
1 ∂ E
2
2
=
(δS
)
+
(δS
)
1
2
2 ∂S 2 V,N
2 ∂S 2 V,N
2 ∂ E
∂T
T
δS1 = −δS2 ,
=
=
2
∂S V,N
∂S V,N
CV
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⇒
2
(δ E)S,V,N
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CV ≥ 0.
2
1
T
2 T
(δS1 )
=
+ 2
1
2
CV
CV
1
1
1
2
+ 2 ≥0
(δS1 ) T
=
1
|2 {z } | CV{z CV }
≥0
⇒
1
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≥0
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Vorlesung Statistische Mechanik: N-Teilchensystem
Satz 0.2 (i) Die Gibbs freie Energie
G(T, P ) = E − T S + P V (−µN ) ist eine konkave
Funktion der Temperatur und eine konkave Funktion
des Drucks
(ii) Die Helmholtz freie Energie F (T, V ) = E − T S ist eine
konkave Funktion der Temperatur und eine konvexe
Funktion des Volumens.
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Beweis:
1.
S=−
⇒
⇒
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∂ G
∂T 2
2
2
∂ F
∂T 2
∂G
∂T
=−
P
= −
P
= −
V
∂S
∂T
∂S
∂T
∂F
∂T
P
V
G, F konkave Funktionen von T .
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V
1
= − CP ≤ 0
T |{z}
≥0
1
= − CV ≤ 0
T |{z}
≥0
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2.
2
∂ G
∂P 2
∂2F
∂V 2
= −
T
= −
T
∂V
∂P
∂P
∂V
= −V KT ≤ 0
T
T
1
=
≥0
V KT
⇒ G ist eine konkave Funktion des Drucks, F ist eine
konvexe Funktion des Volumens.
Es gilt:
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G = F + PV
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Kreisprozesse, Wärmekraftmaschinen
• Wir wollen nun den Carnot-Prozeß betrachten.
• Der Carnotsche Kreisprozess durchläuft vier
Zustandsänderungen:
– Isotherme Expansion (A → B)
– Adiabatische Expansion (B → C)
– Isotherme Kompression (C → D)
– Adiabatische Kompression (D → A)
• Arbeitsmedium ist ein ideales Gas.
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• Isothermen in einem p − V Diagramm erhält man aus der
Zustandsgleichung
pV = kB T N.
(72)
• Bei festem N und einer Temperatur T ist also
1
p(V, T ) = kB T N .
V
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(73)
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• Die Adiabaten erhält man aus dem Ausdruck für die
Entropie
V
5
3 mkB T
S = kB
+ ln +
ln
N
(74)
2
2
2π~
N
2
durch Elimination der Temperatur mit Hilfe der
Zustandsgleichung (??)
p(S, V ) ∼ V −5/3 .
(75)
• Der gesamte Carnot-Prozeß benutzt zwei Isothermen
(A → B) mit Temperatur T1 und (C → D) mit T2 .
• Die Stücke (B → C) und (D → A) sind Adiabaten.
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Vorlesung Statistische Mechanik: N-Teilchensystem
• Die innere Energie ist unverändert nach dem Prozess
(erster Hauptsatz)
∆U = ∆W(A→B) + ∆W(B→C) + ∆W(C→D) + ∆W(D→A) + Q1 + Q2 = 0
(76)
• Der erste Teil ist die vom System gewonnene Arbeit.
• Der zweite Teil ist die zugeführte Wärmemenge.
Für die Arbeit erhalten wir
−∆W = Q1 − Q2
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(77)
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• Den Wirkungsgrad definieren wir als
∆W
η=
∆Q
(78)
• Der Wirkungsgrad stellt eine theoretische obere Grenze
dar, die nur bei hinreichend langsam (quasistatisch,
reversibel) arbeitenden Maschinen erreicht wird.
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• Der Wirkungsgrad bei Carnot-Prozess ist
η =
=
=
=
−∆W
∆Q
Q1 − Q 2
Q1
Q2
1−
Q1
T2
1−
T1
(79)
(80)
(81)
(82)
also der maximal mögliche.
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