Wahrscheinlichkeit, Zufallsvariable

Vorlesung Statistische Mechanik: Wahrscheinlichkeitstheorie
Wahrscheinlichkeit, Zufallsvariable
• In der Statistik spricht man von Ereignissen und
Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten dieser Ereignisse.
• Ereignisse sind Mengen.
• Unter einen Elementarereignis versteht man eine
Teilmenge, die nicht leer ist und nicht weiter zerlegt
werden kann.
• Für Elementarereignisse ai gilt
ai ∩ a j = ∅
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.
(1)
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• Es sei E die Menge aller Elementarereignisse.
• In der statistischen Physik verstehen wir Mikrozustände
als Elementarereignisse. Dies sind vollständig
charakterisierte physikalische Zustände.
• In der klassischen Physik von N Teilchen in 3
Dimensionen sind sie durch Angabe aller Orte q1 · · · q3N
und Impulse p1 · · · q3N gegeben.
• Den 6N-dimensionalen Raum bezeichnet man als
Phasenraum, und damit entspricht einem Mikrozustand
ein Punkt im Phasenraum.
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• In der Quanten-statistischen Mechanik ist ein
Mikrozustand durch Angabe eines vollständigen Satzes
von Quantenzahlen gegeben.
• Betrachtet man etwa Teilchen in einem Volumen der
Lineardimension L, sind hierfür die Komponenten der
Wellenvektoren aller Teilchen ki = 2πni,α /L und deren
Spins si geeignet. Dabei sind ni,α ganze Zahlen und
i = 1 · · · N, α = 1 · · · 3.
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• Es seien A und B Teilmengen von E, nicht
notwendigerweise elementar. Falls
A∩B =∅
,
(2)
nennt man A und B unvereinbar.
• Ā ist komplementär zu A, falls
A ∩ Ā = ∅ und A ∪ Ā = E
,
(3)
wobei die Vereinigung (Summe) A ∪ B ist.
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• In der statistischen Physik werden wir Makrozustände
einführen, die unvereinbare Teilmengen aus
Mikrozuständen darstellen.
• Beispielsweise kann man alle Mikrozustände mit einer
Energie in einem Intervall E − 12 ≤ E · · · E + 12 ≤ E zu
einem Makrozustand der Energie E zusammenfassen.
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• In der Quantenmechanik sind die Energiewerte von
Mikrozuständen, für N Teilchen in einem Volumen der
Größe V = L3 , diskret.
• Der typische Abstand benachbarter Energieniveaus ist
∼ L−1 , wogegen die typische Energie E ∼ N ist. Im
thermodyamischen Grenzfall N → ∞, V → ∞ kann also
∆E sehr klein gewählt werden, und die Energie kann als
kontinuierliche Variable aufgefasst werden.
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• In der Statistik wird einem Ereignis A eine
Wahrscheinlichkeit P (A) für das Auftreten von A
zugeordnet, und es soll gelten:
1. 0 ≤ P (A) ≤ 1 reell
2. P (E) = 1 (das sichere Ereignis)
3. Für zwei Ereignisse A und B gilt
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
P (A ∪ B) < P (A) + P (B)
falls A ∩ B = ∅ oder P (A ∩ B)
sonst
Hieraus leitet man leicht ab:
– P (Ā)1 − P (A)
– P (Ā ∪ A) = 1
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• Für P (B) > 0 definiert man eine bedingte
Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von A, falls sich B
ereignet hat (Bayes-Gesetz)
P (A ∩ B)
.
P (A|B) =
P (B)
(5)
• Falls diese nicht vom Eintreffen von B abhängt, also
P (A|B) = P (A), bezeichnet man A und B als
unabhängig und dann gilt P (A ∩ B) = P (A)P (B).
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Grundgesamtheit, Verteilungen
• Das Maß an dem wir interessiert sind, ist das Gibbs-Maß
e−H(s)/kB T ds
,
jedoch lohnt es sich, allgemeiner vorzugehen.
• Die Grundmenge, auf die wir uns beziehen, kann sowohl
abzählbar, als auch überabzählbar sein. So ist
Ω = {s1 , . . . , sN |si = ±1},
Ω = 2N
abzählbar.
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• Weiter für ein System von N Teilchen mit der
Hamiltonfunktion
H=
N
X
p2i /2m
+
i=1
X
U (rij )
(6)
i<j
ist Ω = R6N , also überabzählbar.
• Gewöhnlich ist Ω der Phasenraum.
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Definition 0.1 Sei Ω 6= 0 und A ⊂ POT(Ω). Dann
i.) A heißt vereinigungsstabil: ∀A, B ∈ A: A ∪ B ∈ A
ii.) A heißt Ring über Ω:
1.) ∅ ∈ A
2.) A vereinigungsstabil
3.) A, B ∈ A: A − B ∈ A
iii.) A heißt Algebra über Ω:
1.) Ω ∈ A
2.) A vereinigungsstabil
3.) ∀A ∈ A: Ā ∈ A
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iv.) A heißt σ-Algebra über Ω:
1.) Ω ∈ A
2.) ∀A ∈ A: Ā ∈ A
S
3.) ∀(An )n∈N , An ∈ A: n∈N An ∈ A
• Die kleinste σ-Algebra über Ω ist: A = {∅, Ω}.
• A = POT(Ω) ist die größte σ-Algebra über Ω.
• Sei mit R̄ = R ∪ {+∞, −∞} der Abschluss von R
bezeichnet.
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Definition 0.2 Sei A ein Ring über Ω und µ: A → R̄
1. µ heißt positiv:
µ(∅) = 0 und ∀ ∈ A: µ(A) ≥ 0
2. µ heißt additiv:
∀, B ∈ A, A ∩ B = ∅: µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B)
3. µ heißt σ-additiv:
S
∀ (An )n∈N , An ∈ A, n∈N An ∈ A
∀n, m ∈ N, n 6= m, An ∩ Am = ∅:
P
µ (An )n∈N = n∈N µ(An )
4. µ heißt Prämaß:
µ positiv und σ-additiv
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5. µ heißt Maß:
µ ist Prämaß und A ist eine σ-Algebra
6. µ heißt Wahrscheinlichkeitsmaß (W-Maß):
µ ist Maß und µ(Ω) = 1
• Sei A eine σ-Algebra über Ω und ω ∈ Ω. Die Abbildung
µ : A → R̄ sei durch
(
0 falls ω 6∈ A
µ(A) =
1 falls ω ∈ A
µ ist ein W-Maß und heißt Dirac-Maß.
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Definition 0.3
i.) Ein Paar (Ω, A) heißt Messraum:
Ω 6= 0 und A ist eine σ-Algebra über Ω.
ii.) Das Tripel (Ω, A, µ) heißt Maßraum:
(Ω, A) Meßraum und µ : A → R ein Maß.
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Definition 0.4 Seien (Ω, A, µ) ein Maßraum, (Ω0 , A0 ) ein
Messraum und f eine Abbildung f : Ω → Ω0 .
1. f heißt (A, A0 )-messbar:
∀0 ∈ A0 : f −1 (A0 ) ∈ A
2. Sei f (A, A0 )-messbar und µ0 : A0 → R̄ definiert durch
µ0 (A0 ) = µ(f −1 (A0 )), ∀0 ∈ A0 , dann heißt µ0 das Bild
von µ bzgl. f (µ0 = f (µ))
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Definition 0.5 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum, (Ω0 , A0 ) ein
Maßraum und X : Ω → Ω0 .
(i) (Ω, A, µ) heißt W-Raum ⇔ µ ist ein W-Maß.
(ii) (Ω, A, µ) sei ein W-Raum und X (A, A0 ) messbar,
dann heißt X (A, A0 )-messbare stochastische Variable.
(iii) Ist (Ω, A, µ) ein W-Raum und X (A, A0 )-messbare
stochastische Variable, dann heißt das Bild von µ
bzgl. X die Verteilung der stochastischen Variablen X.
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• Ist (Ω, A, µ) ein W-Raum und wählt man als Abbildung
X : Ω → Ω die Identität, dann ist das Bild von µ bzgl. X
wieder µ.
• Damit kann jedes W-Maß µ als Verteilung einer
stochastischen Variablen aufgefasst werden!
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Definition 0.6 (Ω, A, µ) heißt Laplacescher W-Raum: ⇔
1. |Ω| = n ∈ N
2. A = P OT (Ω)
1 .
3. ∀ω ∈ Ω: µ({ω}) = n
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Beispiele
• Wir wollen nun praktisch Zahlen erzeugen, die einer
Gleichverteilung, d.h. einer Wahrscheinlichkeitsverteilung,
bei der für jeden möglichen Zustand die gleiche
Wahrscheinlichkeit bzw. Wahrscheinlichkeitsdichte des
Zutreffens besteht, genügen. Diese generieren wir mit
Hilfe einer Rekursion
xi+1 = G(xi ),
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x0 = Anfangswert
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.
(7)
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• Da die Zahlen rekursiv erzeugt werden, sind sie zwar
korreliert, aber man kann zeigen, dass sie statistische
Eigenschaften besitzen, die der gewünschten sehr nahe
kommen. Typisch ist die folgende Form der Rekursion
G(x) = (xa + b) mod M
,
(8)
wobei es ein Vielzahl von verschiedenen Parametern gibt.
• So wählt man etwa a = 16807, 630360016 oder
397204094 zusammen mit M = 231 − 1.
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R 0.1 RANDU <- function() {
seed <- ((2^16 + 3) * seed) %% (2^31)
seed/(2^31)
}
y<-rep(0,300000)
seed<-45813
for (i in 1:300000){
y[i]<-RANDU()
}
x<-cbind(y[1:29999],y[2:30000])
plot(x)
y<-matrix(y,ncol=3,byrow=T)
z<-y[(0.5<y[,2])&(y[,2]<0.51),c(1,3)]
plot(z[,1],z[,2])
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0.0
0.2
0.4
z[, 2]
0.6
0.8
1.0
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0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
z[, 1]
Abbildung 1: Test der Gleichverteilung des Zufallszahlengenerators RANDU
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• Nehmen wir an, dass wir ein Computerprogramm
geschrieben hätten und nun testen möchten, ob die
Zahlen auch gleichverteilt sind.
• Dazu berechnen wir die Momente der Verteilung . Das
k-te Moment einer Verteilung P (x) ist (bzw. zentrales
Moment)
n
X
1
k
<x > =
xki P (xi )
n i=1
(9)
n
X
1
(xi − < x >)k P (xi )
< (x− < x >)k > =
n i=1
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k = 2,
(10)
...
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• Wenn die Verteilung also gleichmäßig im
Definitionsbereich sein soll, dann darf sie nicht schief sein.
Dies messen wir durch Schiefe
< (x− < x >)3
S=
[< (x− < x >)2 >]3/2
(11)
• Für spätere Betrachtungen ist noch der Excess von
Interesse
< (x− < x >)4 >
e=
[(< (x− < x >)2 >]2 − 3
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.
(12)
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Verteilungen
• Wir befassen uns nun mit einigen praktischen Verteilungen
von Zufallsvariablen.
• Als erstes widmen wir uns der Binomial-Verteilung
n x
Pn (x) =
p (1 − p)n−x
x
(13)
Die Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an,
dass ein bestimmtes Ereignis bei n unabhängigen
Ausführungen eines Experimentes genau x-mal eintrifft,
wenn es bei einer Einzelausführung die Wahrscheinlichkeit
p besitzt.
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• Die Varianz ergibt sich zu
np(1 − p)
.
Der Erwartungswert ist
np
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.
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MAPLE 0.1
> restart;
> with(stats);
> n:=100;
> p:=0.4;
> binom:=(x)->statevalf[pf,binomiald[n,p]](x);
> pts:=seq([i,binom(i)],i=1..100);
> plot([pts],x=1..100,style=point,symbol=circle);
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0,08
0,06
0,04
0,02
0
20
40
60
80
100
x
Abbildung 2: Binomial-Verteilung
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• Wir betrachten nun die Approximation der
Binomial-Verteilung durch die Gauss-Verteilung
−(x−hxi)2
1
P (x) = √ e 2σ2
σ 2π
(14)
wobei σ die Standardabweichung ist.
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MAPLE 0.2
> restart;
> with(plots, display):
> n := 6;
> binomials := n -> [seq([m,2^(-n)*n!/(m! * (n-m)!)], m
> Gaussian_approx := x -> exp(-(x-n/2)^2/(n/2)) / sqrt(
> plot({binomials(n), Gaussian_approx}, 0..n);
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0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
1
2
3
4
5
6
Abbildung 3: Approximation der Binomial-Verteilung durch eine GaussVerteilung
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• Hypergeometrische-Verteilung.
• Die Hypergeometrische-Verteilung beschreibt die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei N gegebenen
Elementen, d.h. einer Grundgesamtheit vom Umfang N ,
von denen M die gewünschte Eigenschaft besitzen, beim
Herausgreifen von n Probestücken, d.h. einer Stichprobe
mit Umfang n, genau x Treffer erzielt werden.
f (x) =
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M
x
N −M
n−x
N
n
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(15)
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MAPLE 0.3
> restart;
> with(stats);
> n:=20;
> a:=5;
> N:=100;
> pts:=seq([i,hypgeo(i)],i=0..5);
> plot([pts],x=0..5,style=point,symbol=circle);
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0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
x
Abbildung 4: Hypergeometrische Verteilung
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• Kommen wir zurück zur Physik.
• Für ein, wenigstens im Mittel, räumlich homogenes
System hängt der Erwartungswert einer Dichte nicht vom
Ort ab, und damit wird
hÂi = V hn̂A (r)i.
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(16)
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• Beobachtet man etwa zwei Dichten n̂A (r) und n̂B (r0 ), so
findet man im Regelfall, daß deren Korrelation
CAB (r, r 0 ) = CAB (|r−r 0 |) = hn̂A (r)n̂B (r0 )i−hn̂A (r)ihn̂B (r0 )i
(17)
als Funktion des Abstandes der Punkte r und r 0 rasch
abfallen.
• Für große Abstände findet man typischerweise
CAB (r) ∼ e−r/ξ
,
(18)
wobei die “Korrelationslänge” ξ auch im
thermodynamischen Grenzfall endlich bleibt.
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• Sie von der Größenordnung der Reichweite der
Wechselwirkung oder der mittleren freien Weglänge der
Teilchen ist.
• Nur in unmittelbarer Nähe von kontinuierlichen
Phasenübergängen kann ξ stark anwachsen.
• Für die Korrelation der extensiven Observablen findet man
hÂB̂i−hÂihB̂i =
Z
d3 rd3 r̄ hn̂A (r+r̄)n̂B (r)ic ∼ V ξ 3
,
(19)
wobei zu beachten ist, dass die beiden Terme auf der
linken Seite jeweils von der Größenordnung V 2 sind.
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• Speziell für die Varianz der Observablen  erhält man
q
p
∆A = hÂ2 i − hÂi2 ∼ V ξ 3
,
(20)
und damit verschwinden die relativen Schwankungen
∆A/hÂi einer extensiven Variablen im
thermodynamischen Grenzfall
p
∆A/hÂi ∼ ξ 3 /V −→ 0.
V →∞
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(21)
Seite 39
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• Im Fall der Quantenmechanik, falls die Operatoren  und
B̂ nicht kommutieren, hängt eine simultane Bestimmung
der Erwartungswerte von der Reihenfolge ab, also
hÂB̂i 6= hB̂ Âi.
• Konstruiert man die zugehörigen Dichten, findet man
jedoch im Regelfall
[n̂A (r), n̂B (r0 )] −→
0
0
|r−r |ζ
,
(22)
wobei auch ζ im thermodynamischen Grenzfall endlich
bleibt.
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• Beispielsweise findet man
[ĵ(r), n̂Epot (r0 )] = 2i~ n̂(r)∇0 W (2r − 2r 0 )n̂(2r 0 − r)
,
(23)
und man erhält für die Kohärenzlänge ζ die Reichweite der
Wechselwirkung.
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• Damit ist für endliche ζ
Z
h[Â, B̂]i = d3 rd3 r0 h[n̂A (r), n̂B (r0 )]i ∼ V ξ 3
, (24)
und folglich können Operatoren, die extensiven Variablen
entsprechen, im thermodynamischen Grenzfall als
vertauschbar und damit simultan messbar angesehen
werden.
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Gesetz der großen Zahlen
• Im Folgenden sei stets (Ω, A, µ) als W -Raum
vorausgesetzt.
Definition 0.7 Seien X, Y stochastische Variable.
R
1. hXi = Ω Xdµ heißt Erwartungswert von X.
2. Sei n ∈ N, n > 0, α ∈ R. h(X − α)n i heißt n-tes
Moment von X bzgl. α. hX n i heißt n-tes Moment von
X.
2
3. Sei hXi endl. τ := (X − hXi) heißt die Varianz von
X.
4. Sei hxi , hY i , hXY i endl.
cov [X, Y ] := h(X − hXi) (Y − hY i)i heißt Kovarianz
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von X und Y .
5. X und Y heißen unkorreliert, wenn cov[X, Y ] = 0.
p
6. ρ(X, Y ) = cov[X, Y ]/ σ(x)σ(y) heißt
Korrelationskoeffizient, falls 0 < σ(x), σ(y) < ∞.
7. Lα (µ) := {X| h|X|α i < ∞} , α ∈ R, α ≥ 1 (Menge der
über (Ω, A, µ) definierten reellwertigen stochastischen
Variablen mit endlichem Moment)
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• Wir müssen uns nun mit der Konvergenz von Folgen
stochastischer Variablen befassen.
Definition 0.8 Sei (Xn )n∈N eine Folge stochastischer
Variablen.
1. (Xn )n∈N konvergiert gegen X (Xn → X)n→∞
gdw für alle ω ∈ Ω : limn→∞ Xn (ω) = X(ω)
2. (Xn )n∈N konvergiert mit Wahrscheinlichkeit 1 gegen X
(Xn → X)n→∞
gdw ∃N ∈ M, µ(N ) = 0, für alle ω ∈ N̄ :
limn→∞ Xn (ω) = X(ω)
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3. (Xn )n∈N konvergiert µ-stochstisch gegen X
µ
(Xn → X)n→∞
gdw für alle ∈ <, > 0 :
limn→∞ µ({ω ∈ Ω||Xn (ω) − X(ω)| ≥ ) = 0
4. X und Xn , n ∈ N ∈ Lα (µ)
(Xn )n∈N konvergiert im α-ten Mittel gegen X
α
(Xn → X)n→∞
gdw limn→∞ (|Xn − X|α )1/α = 0
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• Bemerkungen:
1. α = 1 bedeutet Konvergenz im Mittel.
α = 2 bedeutet Konvergenz im quadratischen Mittel.
α
2. Falls (Xn → X)n→∞ und (Xn → X)n→∞ , folgt
µ
.
(Xn → X)n→∞
3. < |Xn − X|α >1/α definiert eine Norm auf dem Raum
Lα (µ)
.
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Definition 0.9 Sei (Xn )n∈N eine Folge stochastischer
Variablen mit Xn ∈ L1 (µ).
1. (Xn )n∈N genügt dem schwachen Gesetz der großen
Zahlen
Pn
µ
1
gdw n i=1 (Xi − < Xi >) → 0 für n → ∞
2. (Xn )n∈N genügt dem starken Gesetz der großen Zahlen
Pn
1
gdw n i=1 (Xi − < Xi >) → O(µ) für n → ∞
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• Eine Summe von sehr vielen unabhängigen
Zufallsvariablen ist also unter der Voraussetzung, dass jede
der unabhängigen Zufallsvariablen nur einen geringen
Einfluss auf die Summe hat, angenähert normalverteilt.
• Gegeben seien n voneinander unabhängige Zufallvariablen
X1 , X2 , ..., Xn , die nur den Wert 1 (mit
Wahrscheinlichkeit p) und den Wert 0 (mit
Wahrscheinlichkeit q) annehmen k¨önnen.
• Wie gross ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die
Summe X := X1 + X2 + ... + Xn den Wert x annimmt?
• Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis “Wert 1
annehmen” genau x-mal von n-mal eintreten muss.
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• Die Wahrscheinlichkeit dafür ist eben Pn (x).
• Nach dem zentralen Grenzwertsatz ist X angenähert
normalverteilt.
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