Satz von Bayes und Totale Wahrscheinlichkeit

Übungs-Blatt 8 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master KI Höhere Mathematik I Master PI Stochastik 1 Prof. Dr. B. Grabowski
----------------------------------------------------------------------------------------------Satz von Bayes und totale Wahrscheinlichkeit
Sei V ein zufälliger Versuch mit Grundmenge .
B sei ein beliebiges Ereignis zu V mit P(B)0.
Seien A1, A2,...,An n weitere Ereignisse ( Ai   , i=1,...,n) mit folgenden Eigenschaften:
n
1)
A
i
  und
2) Ai  A j   für alle ij.
i 1
Dann gelten folgende Formeln:
n
I. Formel der totalen Wahrscheinlichkeit: P ( B )   P ( B / Ai ) P ( B )
i 1
II. Satz von Bayes: P( Ak / B) 
P( B / Ak ) P( Ak )
P( B / Ak ) P( Ak )
 n
P( B)
 P(B / Ai ) P( Ai )
i 1
Aufgabe 1)
Wie lautet die Formel der Totalen Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes, falls n=2,
A1=A und A2 = A ist?
Aufgabe 2)
Mit einem Lügendetektor werden des Diebstahls verdächtigte Personen überprüft. Der
Detektor schlägt durch ein rotes Lichtsignal an oder entwarnt durch ein grünes Lichtsignal. Er
ist zu 90% zuverlässig, wenn die überprüfte Person tatsächlich schuldig ist, und er ist zu 99%
zuverlässig, wenn die Person unschuldig ist.
Aus einer Gruppe von Personen, von denen 5% einen Diebstahl begangen haben, wird eine
Person überprüft. Der Detektor gibt ein rotes Signal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die
Person dennoch unschuldig?
Aufgabe 3)
Wir wollen die Zuverlässigkeit eines SPAM-Filters untersuchen, dabei nehmen wir an, dass
wir genau wissen, was eine SPAM-mail ist!. Unser SPAM-Filter arbeitet wie folgt: Es
werden alle Texte als SPAM eingestuft, in denen das Wort „Viagra“ vorkommt (Ereignis B).
In jedem anderen Fall werden die Texte als O.K. eingestuft. Es soll die Zuverlässigkeit dieses
SPAM-Filters, d.h., die Trennschärfe des Wortes „Viagra“ untersucht werden. Aus
Untersuchungen von Texten sei bekannt, dass 20 % aller Texte SPAM’s sind. Es sei
weiterhin bekannt, dass in 90% aller Texte, die tatsächlich SPAM’s sind, das Wort „Viagra“
vorkommt, aber leider auch in 1% aller Texte, die keine SPAM’s sind.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Text, der als SPAM eingestuft
wurde auch wirklich ein SPAM ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein nicht als SPAM eingestufter
Text ein SPAM ist?
(Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Bayes für n=2 und definieren Sie A1=A und
A2 = A )
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Aufgabe 4)
In einer Empfängerstation gehen Nachrichten von 3 verschiedenen Sendern ein. Der
Empfänger empfängt dabei 30 % aller Nachrichten von Sender 1, 20% bzw. 50% von Sender
2 und 3. Über die Fehlerrate (Anteil der fehlerhaft empfangenen Nachrichten unter den
gesendeten) sei bekannt, dass sie bei Sender 1 1%, bei Sender2 und Sender3 2% bzw. 0,5 %
beträgt.
a) Wie viel % fehlerhafte Nachrichten empfängt der Empfänger insgesamt?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt eine empfangene fehlerhafte Nachricht
von Sender 1?
c) Sind die beiden Ereignisse: ‚Die Nachricht ist wird fehlerhaft empfangen’ und
‚Nachricht stammt von Sender 1’ stochastisch unabhängig voneinander ?
(Begründung!)
(Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Bayes für n=3 und definieren Sie B, A1, A2 und A3
auf geeignete Weise!)
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