Höhere Mathematik KI Master Übung 9 Prof. Dr. B.Grabowski E

Höhere Mathematik KI Master
Prof. Dr. B.Grabowski
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Übung 9
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe 1
G sei ein Gerät mit n parallelen Reihen, die jeweils 2 Bauelemente in Reihe geschaltet enthalten.
Das Gerät fällt aus, falls alle Reihen ausfallen.
Eine Reihe fällt aus, falls eines der beiden Bauelemente der Reihe ausfällt.
Die Bauelemente Ei j fallen stochastisch unabhängig voneinander mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
P(Ei j = not OK) = 0,1 für alle i = 1,...,n; j = 1, 2, aus.
Wieviele Reihen muß das Gerät haben, damit die Ausfallwahrscheinlichkeit p des Gerätes 0,1 % nicht
überschreitet, d.h. damit gilt
p = P(G = not OK) ≤ 0,001 ?
Aufgabe 2
G sei ein Gerät mit 2 parallelen Reihen, die jeweils 2 Bauelemente in Reihe geschaltet enthalten.
Das Gerät fällt aus, falls alle Reihen ausfallen.
E1
E2
E3
E4
Eine Reihe fällt aus, falls eines der beiden Bauelemente der Reihe ausfällt.
Die Bauelemente Eij fallen stochastisch unabhängig voneinander mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit P(Ei = not OK) = q für alle i = 1,...,4, aus.
Welche Ausfallwahrscheinlichkeit q der Bauelemente darf nicht überschritten werden, damit das
Gerät mit mindestens 90%tiger Wahrscheinlichkeit nicht ausfällt?
Aufgabe 3
Wir wollen die Zuverlässigkeit eines SPAM-Filters untersuchen, dabei nehmen wir an, dass
wir genau wissen, was eine SPAM-mail ist!. Unser SPAM-Filter arbeitet wie folgt: Es
werden alle Texte als SPAM eingestuft, in denen das Wort „Viagra“ vorkommt (Ereignis B).
In jedem anderen Fall werden die Texte als O.K. eingestuft. Es soll die Zuverlässigkeit dieses
SPAM-Filters, d.h., die Trennschärfe des Wortes „Viagra“ untersucht werden. Aus
Untersuchungen von Texten sei bekannt, dass 20 % aller Texte SPAM’s sind. Es sei
weiterhin bekannt, dass in 90% aller Texte, die tatsächlich SPAM’s sind, das Wort „Viagra“
vorkommt, aber leider auch in 1% aller Texte, die keine SPAM’s sind.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Text, der als SPAM eingestuft
wurde auch wirklich ein SPAM ist?
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein nicht als SPAM eingestufter Text
ein SPAM ist?
Aufgabe 4
Ein Übertragungssystem sendet und empfängt die Zeichen 0 und 1 (Ereignisse S0 und S1). In
80 % aller Fälle wird eine 0 in 20 % aller Fälle eine 1 gesendet. Die Übertragung ist
fehlerbehaftet. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine 1 empfangen wird (Ereignis E1), unter
der Bedingung, dass eine 0 gesendet wurde, beträgt 0,01. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
eine 0 empfangen wurde (E0) unter der Bedingung, dass eine 1 gesendet wurde, ist 0,02. Wir
stellen uns nun auf den Standpunkt, dass wir nur die empfangenen Zeichen beobachten
können. Es werden nur die Zeichen 0 und 1 empfangen.
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Übung 9
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a) In wie viel % aller Fälle wird eine 1 empfangen
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass tatsächlich auch eine 1 gesendet
wurde, wenn eine 1 empfangen wurde?
Aufgabe 5
Im folgenden ist ein stochastischer Zustandsautomat (Markowgraf) gegeben:
Die Kullern kennzeichnen die beiden Zustände des Automaten. Die Zustandsübergänge
geschehen taktweise. Die Zahlen an den Kanten kennzeichnen die
Übergangswahrscheinlichkeiten von einem Zustand in den anderen in einem Schritt (Takt).
Sei X(n) der zufällige Zustand des Automaten im Takt n.
Dann ist also P(X(n) = „grün“| X(n-1)=“gelb“) = 0.75.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit im 2. Takt (n=2) im Zustand „gelb“ zu sein, wenn
der Automat im Zustand „grün“ startet? (d.h. es ist P(X(0)=“grün“)=1)
b) Wie groß ist P(X(1)=“grün“/X(2)=“gelb“) ?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgenden Zustandsverlauf:
P ( X (0) =" grün"∩ X (1) =" gelb"∩ X (2) =" grün" ) , wenn P(X(0)=“grün“)=1 vorausgesetzt
wird?
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