Saalübung am 24. November 2011

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Dr. Antje Kiesel
Wintersemester 2011/2012
Grundlagen der Biometrie in Agrarwissenschaften /
Ernährungswissenschaften
Saalübung zu diskreten und stetigen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Donnerstag, 24. November 2011
Dieses Aufgabenblatt enthält einfache, elementare Übungsaufgaben zum Abschnitt 5 und 6 der
Vorlesung. Bitte bereiten Sie die Aufgaben vor. Wir besprechen sie am Donnerstag, den 24.
November, in der Vorlesung.
Aufgabe 1.1 Am Ende des Schuljahres haben 20% der Schüler eine gute Mathematiknote,
25% haben eine gute Chemienote, 10% ein gute Note in Mathematik und Chemie. Ein Schüler
wird zufällig ausgewählt.
a) Er hat eine gute Mathematiknote. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch eine
gute Chemienote hat?
b) Er hat eine gute Chemienote. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch eine gute
Mathematiknote hat?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine gute Mathematik- oder Chemienote hat?
Aufgabe 1.2 Wir wollen die Zuverlässigkeit eines SPAM-Filters untersuchen, dabei nehmen
wir an, dass wir genau wissen, was eine SPAM-Mail ist. Unser SPAM-Filter arbeitet wie folgt: Es
werden alle Texte als SPAM eingestuft, in denen das Wort “Viagra“ vorkommt (Ereignis B). In
jedem anderen Fall werden die Texte als O.K. eingestuft. Es soll die Zuverlässigkeit dieses SPAMFilters, d.h., die Trennschärfe des Wortes “Viagra” untersucht werden. Aus Untersuchungen von
Texten sei bekannt, dass 20% aller Texte SPAM sind. Es sei weiterhin bekannt, dass in 90% aller
Texte, die tatschlich SPAM sind, das Wort “Viagra” vorkommt, aber leider auch in 1% aller
Texte, die keine SPAM sind.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Text, der als SPAM eingestuft wurde,
auch wirklich ein SPAM ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein nicht als SPAM eingestufter Text ein
SPAM ist?
Aufgabe 2 Ein riskantes Experiment wird durchgeführt. Die Wahrscheinlichkeit eines Unfalles
bei der Durchführung betrgt 2 · 10−4 . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 1000 Wiederholungen kein oder 2 Unfälle geschehen? Vergleichen Sie die Binomialwahrscheinlichkeiten mit
den Approximationen der Poissonverteilung.
Aufgabe 3 Die Lufttemperatur T im Monat Juni sei normalverteilt mit Mittelwert 20◦ und
Standardabweichung 3◦ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass die Temperatur zwischen
21◦ und 26◦ liegt?
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Aufgabe 4 Die Durchmesser der in einer Fabrik hergestellten Schrauben seien normalverteilt
mit dem Mittelwert 2.5mm und der Standardabweichung 0.2mm. Eine Schraube wird als unbrauchbar betrachtet, wenn ihr Durchmesser kleiner als 2.0mm oder größer als 2.8mm ist. Wie
groß ist der Ausschuss in Prozent?
Aufgabe 5 Baktosil-Drops sollen im Mittel 500mg Wirkstoff enthalten. Erfahrungsgemäß ist
1% der Ware Ausschuss, da der Wirkstoffgehalt zu gering ist. Wie hoch ist der Wirkstoffgehalt
(in mg) an dieser Grenze, wenn die Standardabweichung 25mg beträgt?
Aufgabe 6: Verteilungsfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichten Eine Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit den Parameters n = 10 und p = 12 .
a) Zeichnen Sie das Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung sowie die Verteilungsfunktion.
b) Zeichnen Sie Histogramm und Verteilungsfunktion der standardisierten binomialverteilten
Zufallsvariable.
c) Zeichen Sie in die Koordinatensysteme von b) die Approximation durch eine Normalverteilung ein.
Aufgabe 7 Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen über die Normalverteilung richtig
bzw. falsch sind!
a) Die spezielle Form der Normalverteilung ist unabhängig von der Varianz σ 2 .
b) Bei einer Normalverteilung liegen alle Werte zwischen µ − 3σ und µ + 3σ.
c) Die Dichtefunktion wird durch eine Glockenkurve graphisch dargestellt.
d) Der Erwartungswert µ ist immer gleich Null.
e) Die Dichtefunktion ist symmetrisch bezüglich des Erwartungswertes µ .
f) Das Integral unter der gesamten Kurve hat den Wert 1.
g) Je größer die Varianz, desto flacher verläuft die Glockenkurve.
h) Je kleiner die Varianz, desto flacher verläuft die Glockenkurve.
i) Die Dichte hat für alle x-Werte zwischen −∞ und +∞ einen Funktionswert, der größer
als Null ist.
j) Der Erwartungswert µ kann keine negativen Werte annehmen.
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