Lösungen zu Übungs-Blatt 8 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Lösungen zu Übungs-Blatt 8 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master KI Höhere Mathematik I Master PI Stochastik 1 Prof. Dr. B. Grabowski
----------------------------------------------------------------------------------------------Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit
Zu Aufgabe 1)
Formel der totalen Wahrscheinlichkeit: P( B)  P( B / A) P( A)  P( B / A ) P( A )
P( B / A ) P( A)
P( B / A) P( A )
Satz von Bayes: P( A / B) 

P( B)
P( B / A) P( A)  P( B / A ) P( A )
Zu Aufgabe 2)
Mit einem Lügendetektor werden des Diebstahls verdächtigte Personen überprüft. Der
Detektor schlägt durch ein rotes Lichtsignal an oder entwarnt durch ein grünes Lichtsignal. Er
ist zu 90% zuverlässig, wenn die überprüfte Person tatsächlich schuldig ist, und er ist zu 99%
zuverlässig, wenn die Person unschuldig ist.
Aus einer Gruppe von Personen, von denen 5% einen Diebstahl begangen haben, wird eine
Person überprüft. Der Detektor gibt ein rotes Signal. Mit welcher Warscheinlichkeit ist die
Person dennoch unschuldig?
Lösung:
Gegeben:
Ereignisse: S=Person ist schuldig, R = Signal ist rot. (A = S , B=R)
Wahrscheinlichkeiten: P( R /S)=0,9 , P( R | S )=0,99, P(S)=0,05.
Gesucht: P( S | R)
Lösung: Es gilt nach Satz von Bayes:
P( R | S ) P( S ) (1  P( R | S ))(1  P( S ))
P( S | R) 

P( R)
P( R)
Nach Formel der tot. Wkt ist:
P( R)  P( R / S ) P( S )  P( R / S ) P( S ) = 0,9 * 0,05 + 0,01*0,95 =0,0545
und wir erhalten das Ergebnis:
(1  P( R | S ))(1  P( S )) 0,01  0,95 95
P( S | R) 


 0,174
P( R)
0,0545
545
1
Zu Aufgabe 3)
Wir wollen die Zuverlässigkeit eines SPAM-Filters untersuchen, dabei nehmen wir an, dass
wir genau wissen, was eine SPAM-mail ist!. Unser SPAM-Filter arbeitet wie folgt: Es
werden alle Texte als SPAM eingestuft, in denen das Wort „Viagra“ vorkommt (Ereignis B).
In jedem anderen Fall werden die Texte als O.K. eingestuft. Es soll die Zuverlässigkeit dieses
SPAM-Filters, d.h., die Trennschärfe des Wortes „Viagra“ untersucht werden. Aus
Untersuchungen von Texten sei bekannt, dass 20 % aller Texte SPAM’s sind. Es sei
weiterhin bekannt, dass in 90% aller Texte, die tatsächlich SPAM’s sind, das Wort „Viagra“
vorkommt, aber leider auch in 1% aller Texte, die keine SPAM’s sind.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Text, der als SPAM eingestuft
wurde auch wirklich ein SPAM ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein nicht als SPAM eingestufter
Text ein SPAM ist?
(Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Bayes für n=2 und definieren Sie A1=A und A2 = A )
Lösung:
Gegeben: A=“Nachricht ist ein Spam“, B=“Viagra kommt vor (als Spam eingestuft)“,
P(A) = 0,2 , P(B|A) = 0,90, P(B/ A )=0,01.
Zu a) Ges: P(A|B)
Lösung: Nach Satz von Bayes ist:
P(A/B) =
P( B / A) P( A) 0,9  0,2

P( B)
P( B)
P(B) berechnen wir in Anwendung der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit . Es ist:
P(B) = P(B/A)P(A) + P(B/ A ) P( A )
= 0,9 0,2 + 0,01 0,8
= 0,188
0,9  0,2
Daraus folgt: P(A/B) =
 0,957 = 95,7% %
0,188
Zu b) Ges: P(A| B )
Lösung: Nach Satz von Bayes gilt:
P ( B / A) P ( A) 0,1  0,2
0,02
P(A| B ) =


 0,024=2,4%
P( B )
1  0,188 0,822
2
Zu Aufgabe 4)
In einer Empfängerstation gehen Nachrichten von 3 verschiedenen Sendern ein. Der
Empfänger empfängt dabei 30 % aller Nachrichten von Sender 1, 20% bzw. 50% von Sender
2 und 3. Über die Fehlerrate (Anteil der fehlerhaft empfangenen Nachrichten unter den
gesendeten) sei bekannt, dass sie bei Sender 1 1%, bei Sender2 und Sender3 2% bzw. 0,5 %
beträgt.
a) Wie viel % fehlerhafte Nachrichten empfängt der Empfänger insgesamt?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt eine empfangene fehlerhafte Nachricht
von Sender 1?
c) Sind die beiden Ereignisse: ‚Die Nachricht ist wird fehlerhaft empfangen’ und
‚Nachricht stammt von Sender 1’ stochastisch unabhängig voneinander ?
(Begründung!)
(Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Bayes für n=3 und definieren Sie B, A1, A2 und A3
auf geeignete Weise!)
Lösung :
Gegeben: Ereignisse: Si=”Nachricht kommt von Sender i”, F=“Nachricht ist fehlerhaft“.
(Ai = Si, B=F)
P(S1) = 0,3, P(S2)= 0,2, P(S3) = 0,5 ,
P(F/S1) = 0,01, P(F/S2) = 0,02, P(F/S3) = 0,005
Zu a) Ges: P(F)
Lösung: Nach Formel der totalen Wahrscheinlichkeit ist:
P(F) = P(F/S1)P(S1) + P(F/S2) P(S2) + P(F/S3) P(S3)
= 0,01 0,3 + 0,02 0,2 + 0,005  0,5
= 0,0095 = 0,95%
Zu b) Ges: P(S1/F)
Lösung:
Nach Satz von Bayes gilt:
P( A / S1) P( S1) 0,01  0,3 30
P(S1/A) =


 0,316
P( A)
0,0095
95
zu c) P(F/S1) = 0,01  P(F)= 0,0095. D.h. S1 und F sind nicht stochastisch unabhängig!
3