Statistische Interpretation der Quantenmechanik

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Die statistische Interpretation der Quantenmechanik
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1.
E in le itu n g
Seit der Entwicklung der Quantenmechanik zu Beginn des 20. Jahrhunderts
gib t es Schwierigkeiten mit ihrer I nterp retatio n. I n der klassischen M echanik ist
die I nterp retatio n meist o f f ensichtlich und intuitiv einzusehen, weswegen es
o f tmals an ex akter V o rstellung f ehlt, was eigentlich eine I nterp retatio n einer
T heo rie ausmacht. D er ab strakte mathematische F o rmalismus der
Quantenmechanik macht es j edo ch no twendig, sich ü b er die genaue D ef initio n
einer I nterp retatio n, und warum man so etwas ü b erhaup t b raucht, G edanken zu
machen. I m f o lgenden so llen ex akte wissenschaf tstheo retische D ef initio nen
eingef ü hrt und zunä chst an H and der „ K o p enhagener D eutung“ der
Quantenmechanik p lausib el gemacht werden, da diese grundlegend und
allgemein am akzep tiertesten ist. I m weiteren V erlauf wird die statistische
I nterp retatio n v o rgestellt die sich in einigen P unkten wesentlich v o n der
K o p enhagener D eutung unterscheidet. D arü b er hinaus so ll eine Ü b ersicht
darü b er gegeb en werden, wo die P ro b leme einer ( statistischen) I nterp retatio n
der Quantenmechanik liegen.
2 .
W a ru m
In te r p r e ta tio n ?
D ie F rage warum eine I nterp retatio n einer T heo rie b enö tigt wird und was diese
ausmacht so ll Bestandteil dieses A b schnitts sein. Z unä chst einige D ef initio nen:
D ef .:
Eine Theorie ist eine ab strakte Beschreib ung der W elt ( des
U niv ersums) . F ü r sie gelten f o lgende Eigenschaf ten:
( i)
I hr ( mathematischer) F o rmalismus ist widersp ruchsf rei und wo hl
( ii)
D ie V o rschrif ten f ü r die Z uo rdnung zur R ealitä t sind eindeutig.
v erstanden.
( iii)
S ie is t a u f a lle ( v ie le ) S y s te m e a n w e n d b a r , g r u n d s ä tz lic h a u f
( iv )
e s g ib t k e in e W id e r s p r ü c h e z u ir g e n d e in e m
je d e n d u r c h d ie T h e o r ie b e g r e n z t e n T e ilb e r e ic h d e s U n iv e r s u m s .
( e x p e r im e n te lle n ) E r g e b n is
e m p ir is c h e n
D e f:
E i n e T h e o r i e h e i ß t vollständig, w e n n s i e j e d e d e n k b a r e e m p i r i s c h e
D e f.
D i e I nte r p r e ta tion e i n e r T h e o r i e b e s c h r e i b t d i e Z u o r d n u n g v o n
( e x p e r im e n t e lle ) S it u a t io n b e s c h r e ib e n k a n n
F o r m a lis m u s z u r R e a litä t
F ü r d ie P h y s ik b e d e u t e t I n te r p r e t a t io n e in e A u s s a g e d a r ü b e r , w a s d ie
M a th e m a tik ü b e r e in S y s te m
a u s s a g t, d a ß s ie a n g ib t w ie s ic h e in S y s te m
z e itlic h v e r h ä lt u n d w ie d a s z e itlic h v e r ä n d e r te S y s te m
b e s c h r e ib e n lä ß t .
w ie d e r d u r c h M a th e m a tik
D ie k la s s is c h e n M e c h a n ik lä ß t s ic h „ le ic h t “ u n d in t u it iv in t e r p r e t ie r e n , e in
S y s te m
w ir d ü b e r O r t s -u n d I m p u ls v e k t o r e n ( d . h . e in P u n k t im
P h a s e n ra u m )
fe s tg e le g t, ü b e r d ie W e c h s e lw ir k u n g e n ( P o te n tia l, R e ib u n g , e tc .) w ir d d ie
z e itlic h e V e r ä n d e r u n g b e s tim m t ( T r a je k to r ie n im
v e rä n d e rte S y s te m
P h a s e n r a u m ) u n d d a s z e itlic h
w ir d d u r c h e in n e u e s P a a r v o n Im p u ls u n d O r t b e s c h r ie b e n .
F ü r n ic h t z u v ie le T e ilc h e n ( K ö r p e r ) is t d ie s le ic h t n a c h z u v o llz ie h e n u n d s e h r
a n s c h a u lic h .
W ie h a t n u n a b e r e in e I n t e r p r e t a t io n e in e r Q u a n t e n m e c h a n ik a u s z u s e h e n ?
W ä h r e n d d ie M e c h a n ik o f f e n s ic h t lic h k e in e v o lls t ä n d ig e T h e o r ie is t , is t d ie s b e i
d e r Q u a n te n m e c h a n ik n o c h z u ü b e r p r ü fe n . A u c h d e r B e z u g z u r R e a litä t d e r
m a th e m a tis c h e n F o r m a lis m e n is t n ic h t o ffe n s ic h tlic h . E s is t a ls o n o tw e n d ig z u
ü b e r le g e n , w a s e ig e n tlic h ü b e r e in q u a n te n m e c h a n is c h e s S y s te m
3.
w ir d .
a u s g e s a g t
D ie K o p e n h a g e n e r In te r p r e ta tio n d e r Q u a n te n m e c h a n ik
D ie K o p e n h a g e n e r In te r p r e t a t io n d e r Q u a n te n m e c h a n ik b a s ie r t a u f s e c h s
A x io m e n
( i)
( R e in e ) p h y s ik a lis c h e Z u s tä n d e w e r d e n d u r c h ( k o m p le x )
( ii)
D ie O b s e r v a b le n a n e in e m
( iii)
e i n d i m e n s i o n a l e T e i l r ä u m e e i n e s s e p a r a b l e n H i l b e r t -R a u m s d a r g e s t e l l t .
p h y s ik a lis c h e n S y s te m
w e r d e n d u r c h d ie
s e l b s t a d j u n g i e r t e n O p e r a t o r e n d e s H i l b e r t -R a u m e s d a r g e s t e l l t .
D a s S p e k tru m
e in e s s e lb s ta d ju n g ie r te n O p e r a to r s e n ts p r ic h t d e n
m ö g lic h e n M e s s w e r te n e in e r M e s s u n g d e r z u g e h ö r ig e n O b s e r v a b le n
( iv )
(v )
a n d e m
S y s te m .
D ie W a h r s c h e in lic h k e it, b e i e in e r M e s s u n g d e r O b s e r v a b le n z u e in e m
O p e ra to r
¥ im Z u s ta n d
E ig e n v e k to r
¨
d e n M e s s w e rt
¦
z u f in d e n , is t g le ic h
§ m it z u g e h ö r ig e m
ª « ©.
D ie u n g e s tö r te Z e ite n tw ic k lu n g e in e s a b g e s c h lo s s e n e n
q u a n t e n m e c h a n i s c h e n S y s t e m s w i r d d u r c h d i e S c h r ö d i n g e r -G l e i c h u n g ,
¬ ¯
­
° ´ ¯ ® ±³² ±
( v i)
µ d e r E n e r g ie o p e r a to r d e s S y s te m s is
N a c h e in e r M e s s u n g d e r O b s e r v a b le n ¥ a n e in e m p h y s ik a
S y s te m u n d d e m E r g e b n is § a ls M e s s w e r t b e f in d e t s ic h d a
p h y s ik a lis c h e S y s t e m in d e m z u g e h ö r ig e n E ig e n z u s t a n d ¨
b e s c h r ie b e n , w o b e i
t.
lis c h e n
s
.
Allgemeine Zuordnungsvorschrift (i) und (ii)
D ie A x io m e ( i) u n d ( ii) m a c h e n e in e a llg e m e in e A u s s a g e d a r ü b e r , d u r c h w e lc h e
m a th e m a tis c h e n O b je k te d ie p h y s ik a lis c h e n O b je k te ” Z u s ta n d “ u n d
” O b s e r v a b le “ d a r g e s t e llt w e r d e n . D u r c h d ie s e b e id e n P u n k te is t je d o c h n o c h
k e in e Z u o r d n u n g s v o r s c h r if t d e f in ie r t . D a a lle u n e n d lic h d im e n s io n a le n
s e p a r a b l e n H i l b e r t -R ä u m e i s o m o r p h s i n d , u n t e r s c h e i d e n s i c h v e r s c h i e d e n e
p h y s ik a lis c h e S y s te m e n ic h t in ih r e m
ih r e r O b s e r v a b le n a u f d ie s e m
H i l b e r t -R a u m , s o n d e r n i n d e r D a r s t e l l u n g
H i l b e r t -R a u m .
Z u n ä c h s t is t z u k lä r e n , w a s e in ” p h y s ik a lis c h e r Z u s ta n d “ u n d e in e
” p h y s ik a lis c h e O b s e r v a b le “ ü b e r h a u p t s in d .U n te r e in e r p h y s ik a lis c h e n
O b s e r v a b le n v e r s te h t m a n im
M e s s v o r s c h r if t e n a n e in e m
a llg e m e in e n e in e Ä q u iv a le n z k la s s e v o n
p h y s ik a lis c h e n S y s te m .Z w e i M e s s v o r s c h r if te n s in d
d a b e i ä q u iv a le n t , w e n n s ie im m e r d ie s e lb e n M e s s e r g e b n is s e lie f e r n . D e r B e g r if f
d e s p h y s ik a lis c h e n Z u s ta n d s w ir d ü b e r d ie O b s e r v a b le n d e f in ie r t: Z w e i S y s te m e
b e f in d e n s ic h in d e m s e lb e n p h y s ik a lis c h e n Z u s ta n d , w e n n d ie E r w a r tu n g s w e r te
a lle r O b s e r v a b le n a n d ie s e n b e id e n S y s te m e n g le ic h s in d .E in Z u s ta n d is t s o m it
d u r c h d ie E r w a r t u n g s w e r t e s ä m t lic h e r O b s e r v a b le n d e f in ie r t . D ie s e D e f in it io n
b a s ie r t s o m it d a r a u f , w ie s ic h d e m
Z u s tä n d e s in d .
B e o b a c h te r Z u s tä n d e z e ig e n , n ic h t, w a s
H a t m a n d ie p h y s ik a lis c h e n O b s e r v a b le n d u r c h s e lb s ta d ju n g ie r te O p e r a to r e n
a u f e in e m
H i l b e r t -R a u m
d a r g e s te llt, s o s a g t A x io m
( v i) , w ie d ie Z u o r d n u n g d e r
Z u s t ä n d e v o r z u n e h m e n is t : N a c h e in e r M e s s u n g b e f in d e t s ic h e in
physikalisches System in dem entsprechenden Eigenzustand.
Es so llte b eto nt w erden, daß durch o b ige V o rschrif t zw ar eine D arstellung der
” klassischen“ O b serv ab len in einem H ilb ert-R aum gef unden w urde, es w urde
j edo ch nicht geklä rt, durch w elche physikalische M essano rdnung diese
O b serv ab le zu b estimmen ist.
Konkrete Interpretationsvorschriften Axiom (iii) und (iv)
A x io m ( iii) und ( iv ) ko nkretisieren die B eziehungen zw ischen b estimmten
mathematischen G rö ß en – den Eigenw erten eines O perato rs und dem
Skalarpro dukt zw ischen zw ei Z ustä nden – und physikalischen G rö ß en und
b ilden damit die G rundlage zur I nterpretatio n des F o rmalismus. A x io m ( iii)
macht eine A ussage ü b er die mö glichen M essw erte einer O b serv ab len und
A x io m ( iv ) sagt, mit w elcher W ahrscheinlichkeit dieser M essw ert in einem
Z ustand Φ gemessen w ird. H ier liegt die eigentliche statistische „ N atur“ der
Q uantenmechanik. D em Skalarpro dukt Ψ Φ w ird dab ei selb er keine
unmittelb are B edeutung zugeschrieb en ( der B egrif f ” W ahrscheinlichkeitsamplitude“ ist nur eine B ezeichnung und zumindest in der K o penhagener
I nterpretatio n o hne eine direkte physikalische B edeutung) , so ndern nur seinem
A b so lutq uadrat.
Z eitentw ickl ung in der Kopenhag ener Interpretation (Axiome (v) und (vi))
D ie A x io me ( v ) und ( v i) sagen etw as ü b er die zeitliche Entw icklung eines
Systems aus. N ach A x io m ( v i) erf o lgt die ungestö rte Entw icklung eines
q uantenmechanischen Systems nach der Schrö dingergleichung. D iese
Entw icklung ist hinsichtlich der Z ustä nde deterministisch. A x io m ( v i) b eschreib t,
w as b ei einer W echselw irkung des zu untersuchenden Systems mit der
makro sko pischen M essapparatur ( o der allgemeiner einem klassischen System)
geschieht.
D ie A x io me ( iv ) und ( v i) machen die eigentliche K o penhagener D eutung der
Q uantenmechanik aus. A lle anderen A x io me w erden grundsä tzlich v o n allen
I nterpretatio nen geteilt. A x io m ( iv ) b eto nt dab ei den statistischen C harakter der
I nterpretatio n. A x io m ( v i) v erdeutlicht, daß die K o penhagener D eutung ganz
w esentlich v o n der A uf teilung der W elt in ein Q uantensystem und den
klassischen Rest abhängt. Diese
I nter p r etatio n d er Q u antenm echanik
basier t eher au f d er klassischen P hy sik
als u m gekehr t, w ie m an es v o n einer
¾K¿ À
Á:Â}ÃÄ&ÅoÆÇ]È&ÉÅoÆÊfÆÅ0É.ËUÉ¿ ÌÈ
f u nd am entalen T heo r ie eigentlich
er w ar ten w ü r d e. Daher gehen d ie
m eisten B estr ebu ngen heu te d ahin, d iesen P u nkt ( v i) au s d er
Q u antenm echanik her au s z u v er stehen. Dam it eng v er bu nd en sind au ch d ie
bekannten F r agen nach d em
K o llap s d er W ellenf u nktio n u nd d er
A nw end bar keit d er Q u antenm echanik au f d as gesam te U niv er su m .
Das d ie o ben genannten A x io m e d er Def initio n d er I nter p r etatio n genü gen,
4.
kann m an sich z u sätz lich an F ig.1 klar m achen.
D ie U n s c h ä r fe r e la tio n
Z u einem
gegebenen Z u stand entsp r icht j ed e O bser v able
¶ einer statistischen
V er teilu ng d er W er te. E ine angem essene A ngabe f ü r d ie B r eite einer V er teilu ng
ist d ie S tand ar d abw eichu ng
·
( ∆A )
=
(A− A
)
·
O bw o hl es Z u ständ e gibt, f ü r d ie d ie A bw eichu ng f ü r eine O bser v able beliebig
klein gem acht w er d en kann, kann m an z eigen, d aß f ü r j e z w ei O bser v ablen
u nd
¸ gilt
¹
( ∆A ) ( ∆B )
Der er ste T er m
¹
º
≥ ( ¹ AB + BA − A B
)
¹
+»
º
[ A, B ]
¶
¹
kann nu ll w er d en, j ed o ch er gibt sich m it d er K o m m u tato r r elatio n
f ü r z w ei ko nj u gier te O bser v ablen [ q, p ] = ih d ie bekannte U nschär f er elatio n
∆q ∆p ≥
h
2
W ie ist nu n d iese A u ssage z u v er stehen? A llgem ein v er br eitet ist d ie A u ssage:
„Man kann keine zwei Größen
¼ u nd ½ g l eic h zeit ig o h ne einem P ro d u kt d er
F eh l er g rößer al s h 2 m es s en. “ Diese A u ssage stü tz t sich au f f o lgend e
A r gu m ente
( i)
[ H eisenber g ( 1 9 2 7 ) ] A m easu r em ent o f
( ii)
[ B o hm
u nco ntr o llable d istu r bance o f
¼ cau ses an u np r ed ictable and
½ , and v ice v er sa.
( 1 9 5 1 ) ] T he p o sitio n and m o m entu m
o f a p ar ticle d o no t ev en
ex ist w ith sim u ltaneo u sly and p er f ectly w ell d ef ined ( tho u gh p er hap s
u n k n o w n ) v a lu e s .
D ie s e A u s s a g e n m it a ll ih r e n Im p lik a t io n e n s o lle n h ie r z u n ä c h s t im
s t e h e n g e la s s e n w e r d e n , im
R a u m
w e ite r e n V e r la u f w ir d g e z e ig t, d a ß e s d a m it
S c h w ie r ig k e it e n g e b e n k a n n u n d w ie d ie s e d u r c h A b ä n d e r u n g d e r In te r p r e t a t io n
5.
g e lö s t w e r d e n k ö n n e n .
(G e d a n k e n )e x p e r im e n te , ih r e Im p lik a tio n e n u n d d e r K o lla p s d e r
W e lle n fu n k tio n .
D e r D o p p e ls p a ltv e r s u c h
D e r b e k a n n te D o p p e ls p a lt v e r s u c h is t e in K la s s ik e r u n t e r d e n
G e d a n k e n e x p e r im e n te n u n d e in B e is p ie l f ü r v e r s c h ie d e n e P r o b le m e , d ie m it
d e r Q u a n te n m e c h a n ik z u s a m m e n h ä n g e n .
W h e e le r s „ D e la y e d C h o ic e “ E x p e r im e n t
D a s E x p e r im e n t e r s tm a lig v o n v o n
W e iz s ä c k e r v o r g e s c h la g e n u n d
s p ä te r v o n W h e e le r e n D e ta il
a u s g e a r b e ite t u n te r s c h e id e t s ic h n u r
in e in e m
P u n k t w e s e n tlic h v o m
o b r ig e n E x p e r im e n t . D ie
M e ß a p p a r a tu r e n s in d s o w e it v o m
D o p p e ls p a lt e n tfe r n t, d a ß d e r
E x p e r im e n ta to r la n g e n a c h d e m
ÎKÏ Ð
Ñ^ÒpÓMÔ:Õ0ÕoÖ ÕK×Ø?ÙÕoÖ ÚUÛUÕ&Ü?ÝJÔoÞÏ ß0ÕjàKáâ:ÕK×PÏã+Õ:ä&å
d a s T e ilc h e n d e n D o p p e ls p a lt p a s s ie r t h a t
e n ts c h e id e n k a n n , o b e r d ie In te r fe r e n z m e s s e n o d e r b e s tim m e n m ö c h te , d u r c h
w e lc h e n S p a lt d a s T e ilc h e n g e f lo g e n is t( F ig . 2 ) . E s z e ig t s ic h b e i d e m
E x p e r im e n t, d a s E n d e d e r 8 0 z ig e r J a h r e d u r c h g e fü h r t w e r d e n k o n n te , k e in e r le i
U n te r s c h ie d z u m
e in fa c h e n D o p p e ls p a lte x p e r im e n t.
D a s d e B r o g lie s P a r a d o x o n
D e r fo lg e n d e A b s c h n itt is t d e m
S k r ip t „ G r u n d la g e n u n d P r o b le m e d e r
Q u a n te n m e c h a n ik “ v o n T h o m a s F ilk , U n iv e r s itä t F r e ib u r g e n tn o m m e n , d a
d ie s e r e in e s e h r s c h ö n e B e s c h r e ib u n g d e s D e B r o g lie s P a r a d o x o n v o r n im m t
“M a n d e n k e s i c h z w e i S c h a c h t e l n , j e w e i l s v o m
V o lu m e n
Í , m it id e a l
r e f le k t ie r e n d e n W ä n d e n . J e w e ils e in e W a n d d ie s e r S c h a c h te ln k a n n d u r c h
e in e n S c h ie b e r w e g g e n o m m e n w e r d e n . Z u n ä c h s t s te h e n d ie b e id e n S c h a c h te ln
n e b e n e in a n d e r , d ie b e id e n g e ö f f n e t e n W ä n d e e in a n d e r z u g e w a n d t. D a s
Gesamtvolumen der beiden Schachteln ist somit
æ ç . I n diesen Schachteln
bef inde sich ein E lek tron. D ie W ellenf unk tion dieses E lek trons ist
r
Ψ( x) =
w obei
∆
é
1
r
Ə ( x )
2V
r 1
( x) = 
0
r
x innerhalb der Schachtel
s o ns t
O hne das E lek tron z u beeinf lussen w erden nun die W ä nde in die Schachteln
g eschoben. E ine Schachtel w ird nach P aris, die andere nach T ok io g ebracht.
D a nicht bek annt ist, in w elcher der beiden Schachteln sich das E lek tron
bef indet, ist die neue W ellenf unk tion:
w obei
und
1
r
r
r
Ψ( x) =
( Ψ êRëƒì‡í ë ( x ) + Ψ î<ïcðí ñ ( x )
2
)
1
r
r
Ψ ò[ó#ô‡õ ó ( x ) =
∆ òRóƒô‡õ ó ( x )
V
1
r
r
Ψ öx÷cøù ú ( x ) =
∆ öx÷cøù ú ( x )
V
∆ ûxücýþ ÿ bz w . ∆ sind die charak teristischen F unk tionen f ü r die Schachtel in
P aris bz w . T ok io.
I m Sinne der Q uantenmechanik k ö nnen w ir nun nicht sag en, das E lek tron
bef inde sich entw eder in P aris oder in T ok io. ä hnlich w ie beim
D op p elsp altex p eriment, w o w ir annehmen mussten, das Sy stem E lek tron g ehe
durch beide Sp alte, sof ern das E lek tron nicht nachg ew iesen w ird, mü ssen w ir
auch hier annehmen, dass sich das ” Sy stem E lek tron“ an beiden O rten
bef indet. E ine vorsichtig ere A usdruck sw eise w ä re z u sag en, dass eine
M essung in P aris oder T ok io das E lek tron mit der durch Ψ
g eg ebenen
W ahrscheinlichk eit an einem dieser O rte f inden lä sst. W ird nun in P aris z um
Z eitp unk t t das E lek tron in der dortig en Schachtel nachg ew iesen, so steht
damit auch g leichz eitig f est, dass sich bei einer sp ä tere M essung in T ok io in der
dortig en Schachtel k ein E lek tron f inden w ird. E s besteht eine vollstä ndig e
A ntik orrelation hinsichtlich des E rg ebnisses, ob ein E lek tron in einer Schachtel
nachg ew iesen w ird oder nicht. E s ist ebenf alls k lar, daß w ir niemals in T ok io
und Paris ein halbes Elektron nachweisen werden. [...]
Ψ ( x ) ist die W ahrscheinlichkeitsam p litude und Ψ ( x ) die W ahrscheinlichkeit
daf ü r, das Elektron bei einer M essung an der S telle x v orz uf inden. D ie
A m p litude hat einen T rä g er in Paris und in T okio. I n dem
M om ent, in dem
beisp ielsweise in Paris das Elektron nachg ewiesen wird, v erschwindet der T eil
der W ellenf unktion in T okio und das Elektron ist durch eine neue W ellenf unktion
in Paris z u beschreiben. D iese p lö tz liche Ä nderung der W ellenf unktion
bez eichnet m an als ihren ” K ollap s“ . W ir f inden hier auch wieder den K ollap s
ohne S tö rung des M essobj ekts: W enn wir in T okio die S chachtel ö f f nen und
f inden kein Elektron, so kollabiert die W ellenf unktion instantan z u einer
W ellenf unktion, die in Paris konz entriert ist. D a sich das Elektron nicht in der
S chachtel in T okio bef and, f and bei dieser M essung auch keine
W echselwirkung m it dem
Elektron statt. I m
S inne der Q uantenm echanik hat sie
aber die ” m ö g lichen A rten v on V oraussag en“ ( ein A usdruck B ohrs) beeinf lusst.
U m
die nachf olg enden Ü berleg ung en noch etwas krasser erscheinen z u lassen,
wä hlen wir z wei O rte f ü r die S chachtelhä lf ten, die etwas weiter als T okio und
Paris v oneinander entf ernt sind, beisp ielsweise auf der Erde und auf dem
J up iter. [...] W ir m achen nun z ur v ollen S tunde auf der Erde eine M essung , d.h.,
wir ö f f nen die S chachtel und schauen nach, ob sich das Elektron darin bef indet.
I n allen F ä llen, wo wir auf der Erde das Elektron v orf inden, m uss die
W ellenf unktion instantan auf dem
J up iter kollabieren. W ü rde sich das ” S ig nal“
dieser M essung nä m lich nur m it L ichtg eschwindig keit ausbreiten, d.h., die
W ellenf unktion erst rund 4 0 m in. sp ä ter auf dem
J up iter kollabieren, dann
m ü sste nach den G esetz en der Q uantenm echanik eine M essung auf dem
J up iter innerhalb dieser 4 0 m in. in der H ä lf te der F ä lle noch ein Elektron lief ern.
D as ist aber weg en der absoluten A ntikorrelation nicht der F all. D a in keinem
der F ä lle, wo auf der Erde ein Elektron g ef unden wurde, auf dem
Elektron g ef unden wird, m uss die W ellenf unktion auf dem
J up iter ein
J up iter g leich N ull
sein. D as G leiche g ilt natü rlich in um g ekehrter R ichtung : W enn auf der Erde
kein Elektron g ef unden wurde, kollabiert die W ellenf unktion instantan z u einem
Paket m it T rä g er auf dem
J up iter. [...] I n der H ä lf te der F ä lle werden wir auf der
Erde das Elektron in unserer S chachtel nachweisen, und in der H ä lf te der F ä lle
ist die S chachtel leer. D as G leiche g ilt f ü r die Ex p erim ente auf dem
J up iter. Erst
ein späterer Vergleich der Messergebnisse wird zeigen, daß eine absolute
A ntik orrelation v orliegt. Man k ann an den Messergebnissen auf dem
J upiter
noch nicht einm al ablesen, ob auf der E rde schon eine Messung an der
anderen Schachtel erf olgt ist oder nicht. I m
Sinne der speziellen
R elativ itätstheorie ist eine solche F ragestellung auch eigentlich nicht sinnv oll.
[ . . . ] E s wird som it zu einer F rage der K onv ention, welches E reignis den K ollaps
der W ellenf unk tion auslö st und inwief ern dieser K ollaps ” instantan“ stattf indet.
E instein hat in einem
ähnlichen Z usam m enhang v on einer ” spook y action at a
distance“ gesprochen. E igentlich benutzt j eder B eobachter seine eigene
K onv ention. D as f ü r ihn erste E reignis ( die erste Messung an einer der beiden
Schachteln) lö st den K ollaps aus, das zweite E reignis ist dann im m er
antik orreliert, d. h. , dort hat der K ollaps dann schon stattgef unden. D iese
Sichtweise entspricht einer sehr subj ek tiv en I nterpretation der W ellenf unk tion:
D ie W ellenf unk tion entspricht eigentlich dem
Sy stem , nicht dem
Sy stem
W issen des B eobachters ü ber ein
selber Man k ö nnte gegen diese A rgum entation
zunächst einwerf en, dass wir einen nichtrelativ istischen F orm alism us der
Q uantenm echanik auf E reignisf olgen anwenden, die eigentlich nur m it einem
relativ istischen F orm alism us behandelt werden dü rf en. D och auch die
Verwendung der D irac-G leichung an Stelle der Schrö dinger-G leichung ändert
an der A rgum entation nichts. E s ist nicht die D y nam ik der
q uantenm echanischen W ellengleichung, die hier eingeht. E s ist die T heorie des
Messprozesses, und f ü r die gibt es eigentlich k eine relativ istische Version. E in
ebenf alls berechtigter, eher positiv istisch geprägter E inwand ist der, daß der
K ollaps der W ellenf unk tion ohnehin nicht direk t beobachtbar ist. E s wird k eine
E nergie, k ein Signal, k eine I nf orm ation ü bertragen, also haben wir auch k einen
W iderspruch zur R elativ itätstheorie. E s bleibt j edoch die F rage, welchen
” R elatitätsgrad“ die W ellenf unk tion hat. W ie schon erwähnt, entspricht die obige
A rgum entation eher der subj ek tiv en I nterpretation der Q uantenm echanik ,
wonach der Z ustand eines Sy stem s eine A ussage ü ber unser W issen ü ber das
Sy stem
m acht. E in prom inenter Vertreter dieser A nsicht war beispielsweise
W igner, der das B ewusstsein des Menschen ex plizit in die D eutung der
Q uantenm echanik einbauen wollte. [ . . . ] “
M e in u n g v e r s c h ie d e n e r A u to r e n z u m
K o lla p s d e r W e lle n f u n k t io n
Als Erklärung seinen hier M einungen v ersc hied ener P hy siker a ngegeb en
( ent no m m en a us [ 1 ] )
1 .
D a w y d o w , d er a ls P ra gm a t iker d en M essp ro z ess nic ht m ehr z ur
Q ua nt enm ec ha nik z ählt und f ü r d en d er K o lla p s d er W ellenf unkt io n
eigent lic h d urc h d en P hy siker ” gem a c ht “ w ird , d er neue
2 .
Anf a ngsb ed ingungen set z t .
P a uli, d er d ie U num gänglic hkeit eines v o n d er Q ua nt enm ec ha nik
a usgesc hlo ssenen B ereic hes ( R egist riera p p a ra t o d er B ew usst sein)
a kz ep t iert , und d en K o lla p s d er W ellenf unkt io n a ls Ax io m
d er I nt era kt io n v o n Q ua nt ensy st em
3 .
Q ua nt enm ec ha nik hinz unim m t .
und d iesem
hinsic ht lic h
” äuß eren“ B ereic h z ur
L a nd a u und L if sc hit z , d ie d en K o lla p s d er W ellenf unkt io n eines
Q ua nt ensy st em s d urc h d ie W ec hselw irkung m it d em
M essa p p a ra t
erklären, a b er d ie d en K o lla p s d er W ellenf unkt io n f ü r d en M essa p p a ra t
a ls T eil seiner kla ssisc hen Eigensc ha f t en p o st ulieren.
6.
D ie s ta tis tis c h e o d e r E n s e m b le In te r p r e ta tio n d e r Q u a n te n m e c h a n ik
D a s v iert e Ax io m
b ringt d en B egrif f d er W a hrsc heinlic hkeit in d ie Ax io m a t ik d er
Q ua nt enm ec ha nik. D er B egrif f d er W a hrsc heinlic hkeit ist in seiner Anw end ung
sehr p ro b lem a t isc h. W a hrsc heinlic hkeit sa ussa gen la ssen sic h nur d a d urc h
f a lsif iz ieren, d a ß m a n sie a n einem
gro ß en Ensem b le v o n gleic ha rt igen
S y st em en na c hp rü f t . D er B egrif f d er W a hrsc heinlic hkeit w ird d a nn d urc h d en
B egrif f d er rela t iv en H äuf igkeit erset z t . D a es sic h b ei d en Ä uß erungen d er
Q ua nt enm ec ha nik v ielf a c h um
W a hrsc heinlic hkeit säuß erungen ha nd elt
b ed eut et d ies, d a ß v iele o b serv a b le G rö ß en ex p erim ent ell ü b erha up t erst f ü r
ein Ensem b le v o n S y st em en sinnv o ll w erd en; b eisp ielsw eise G rö ß en w ie ( ∆Q )
o d er ( ∆P ) , a lso d ie V a ria nz en v o n Q und
a uf t ret en. H ier ha nd elt es sic h z w a r um
, d ie in d er U nsc härf erela t io n
O b serv a b len, a b er d er W ert d ieser
O b serv a b len ka nn d urc h kein no c h so p räz ises M essinst rum ent m it einer
einz elnen M essung b est im m t w erd en. Es erheb t sic h a lso d ie F ra ge, o b m a n
eine so lc he O b serv a b le d a nn ü b erha up t einem
einz elnen S y st em
z usp rec hen
so ll. G era d e d ie Q ua nt enm ec ha nik ha t uns gelehrt , d a ß m a n nic ht ü b er d en
W ert v o n O b serv a b len sp rec hen d a rf , w enn m a n nic ht gleic hz eit ig eine
M essv o rsc hrif t a ngeb en ka nn, d ie es erla ub t , d iesen W ert a uc h z u b est im m en.
Ist es daher überhaupt zulässig, die Observable Q ein em
zuzusc hreiben , w en n sie do c h n ur an ein em
E in zelsy stem
E n sem ble vo n S y stem en
gem essen w erden k an n ? G en au an dieser Ü berlegun g setzten die
In terpretatio n en der Q uan ten m ec han ik an , die die Q uan ten m ec han ik gar
k ein em
E in zelsy stem
zusc hreiben w o llen . G en au gen o m m en gibt es viele
E n sem ble In terpretatio n en , die sic h in ein zeln en P un k ten un tersc heiden . E s so ll
hier j edo c h n ur auf ein ige grun dlegen de Ideen ein gan gen w erden . E in stein
sc hreibt in sein em
“D i e
B uc h „ A us m ein en späten J ahren “ dazu ex plizit:
-F u n k t i o n b e s c h r e i b t ü b e r h a u p t n i c h t e i n e n Z u s t a n d , d e r e i n e m
e in z e ln e n S y s te m
z u k o m m e n k ö n n te ; s ie b e z ie h t s ic h v ie lm e h r a u f v ie le
S y s t e m e , e i n e „ S y s t e m -G e s a m t h e i t “ i m
W e n n d ie
S in n e d e r s ta tis tis c h e n M e c h a n ik .
-F u n k t i o n a b g e s e h e n v o n b e s o n d e r e n F ä l l e n n u r s t a t i s t i s c h e
A u s s a g e n ü b e r m e s s b a r e G r ö ß e n lie f e r t, s o lie g t d ie s a ls o n ic h t n u r d a r a n , d a ß
d e r V o r g a n g d e r M e s s u n g u n b e k a n n te , n u r s ta t is t is c h e r fa s s b a r e E le m e n t e
e in fü h r t, s o n d e r n e b e n d a r a n , d a ß d ie
-F u n k t i o n ü b e r h a u p t n i c h t d e n
Z u s t a n d e i n e s E i n z e l s y s t e m s b e s c h r e i b t . D i e S c h r ö d i n g e r -G l e i c h u n g b e s t i m m t
d i e z e i t l i c h e n Ä n d e r u n g e n , w e l c h e d i e S y s t e m -G e s a m t h e i t e r f ä h r t , . . .
D a ß d ie Q u a n te n m e c h a n ik in s o e in fa c h e r W e is e A u s s a g e n ü b e r
( s c h e in b a r ) d is k o n tin u ie r lic h e Ü b e r g ä n g e v o n e in e m
G e s a m t z u s t a n d in e in e n
a n d e r n a b z u le it e n g e s ta t t e t, o h n e w ir k lic h e in e D a r s t e llu n g d e s e ig e n t lic h e n
P r o z e s s e s z u g e b e n , h ä n g t d a m it z u s a m m e n , d a ß d ie T h e o r ie in W a h r h e it n ic h t
m it d e m
E i n z e l s y s t e m , s o n d e r n m i t e i n e r S y s t e m -G e s a m t h e i t o p e r i e r t . D a m i t i s t
g l e i c h z e i t i g d i e E n s e m b l e -I n t e r p r e t a t i o n d e r Q u a n t e n m e c h a n i k k l a r u m r i s s e n . “
D iese In terpretatio n steht n ic ht im
direk ten G egen satz zur K o pen hagen er
D eutun g, so n dern sie versuc ht die F rage zu bean tw o rten , auf w elc hes S y stem
sic h die W ellen f un k tio n eigen tlic h bezieht.
D ie E n sem ble-In terpretatio n um geht ein e gan ze R eihe vo n in terpretato risc hen
P ro blem en der K o pen hagen er D eutun g. D azu zählt beispielsw eise der K o llaps
der W ellen f un k tio n . In ein em
ausreic hen d gro ß en E n sem ble w erden säm tlic he
m ö glic hen M essergebn isse m it der k o rrek ten relativen H äuf igk eit auc h
auf treten . E s f in det also gar k ein K o llaps statt. A m
E n de der M essun g liegt ein e
D ic htem atrix vo r. E in ” K o llaps“ en tsteht n ur durc h den E in grif f des
E x perim en tato rs. E n tsc heidet er, f ür die f o lgen den E x perim en te n ur die
S y stem e zuzulassen , bei den en die M essun g ein bestim m tes E rgebn is erbrac ht
hat, so wählt er aus dem Ensemble ein Unterensemble aus. Diese entspricht
dem K ollaps. A uch die P robleme im Z usammenhang mit dem EP R -P aradox on
( im nächsten V ortrag ausf ü hrlich besprochen) werden durch die EnsembleI nterpretation umg ang en.
M an erk ennt, daß die Ensemble-I nterpretation hinsichtlich v ieler of f ener F rag en
der K openhag ener Deutung eine L ö sung darstellt. Die Ensemble-I nterpretation
entspricht auch einer positiv istischen Einstellung z ur Q uantenmechanik . Da die
Q uantenmechanik W ahrscheinlichk eitsaussag en macht und solche A ussag en
nur an Ensembles ü berprü f t werden k ö nnen, sollte f ü r einen streng en
P ositiv isten ( sof ern er sich ü berhaupt G edank en ü ber die beg rif f liche
B edeutung des an sich nicht beobachtbaren Z ustandes macht) die
Q uantenmechanik auch nur auf Ensembles anwendbar sein.
Doch was sind die N achteile der Ensemble-I nterpretation, daß sie v on v ielen
P hy sik ern abg elehnt wird? Der H auptg rund dü rf te darin lieg en, daß eine
Ensemble-I nterpretation der Q uantenmechanik ihr den C harak ter einer wirk lich
f undamentalen T heorie z u nehmen scheint. P hy sik er wie Einstein waren wohl
der M einung , daß die Q uantenmechanik eher als ef f ek tiv e T heorie einer
f undamentaleren T heorie z u v erstehen ist. F ü r streng e P ositiv isten steht eine
statistische T heorie nicht im W iderspruch z u einer f undamentalen T heorie.
Doch wer die Q uantenmechanik als f undamentale T heorie v ersteht, mö chte sie
auch auf S y steme anwenden, v on denen sich k ein Ensemble präparieren läß t.
I nsbesondere A nhäng er einer Q uantenk osmolog ie mü ssen die EnsembleI nterpretation natü rlich ablehnen. N immt man die Ensemble-I nterpretation
j edoch Ernst, so muss man natü rlich f rag en, ab welcher A nz ahl v on
präparierten S y stemen man v on einem Ensemble sprechen darf , d.h., ab wann
die W ellenf unk tion z ur B eschreibung dieses Ensembles benutz t werden darf .
Die A nz ahl der S y steme, die ein Ensemble bilden, und auf die dann die
W ellenf unk tion ang ewandt werden darf , ist somit v on der A rt der O bserv ablen
abhäng ig , die man messen mö chte, und v on der statistischen G enauig k eit, die
man anstrebt. Damit wird aber die F rag e, auf welches Ensemble die
W ellenf unk tion ang ewandt werden darf , sehr subj ek tiv . S treng g enommen
besteht ein Ensemble aus einer unbeg renz ten A nz ahl v on g leichartig
präparierten S y stemen. Ein solches Ensemble ist aber nie prak tisch
realisierbar, auch nicht f ü r M ik rosy steme. Das bedeutet aber im P rinz ip, daß die
Wellenfunktion strenggenommen auf überhaupt kein System (oder Ensembel
v on Systemen) in unserem U niv ersum angew andt w erden darf. Wenn w ir es
trotz dem tun, mac hen w ir eine N ä herung. Q uantenmec hanik w ä re damit immer
eine N ä herung z ur B esc hreibung der Welt, und z w ar nur der Welt, in der
gleic hartige P rä parierungen mö glic h sind, also beispielsw eise nic ht der
7.
M akrow elt.
K u rz e Z u s a m m e n fa s s u n g
D as interpreterisc he H auptproblem der Q uantenmec hanik ist der K ollaps der
Wellenfunktion. F ür deren L ö sung gibt es v ersc hiedene A nsä tz e
1 .
2 .
D ie Wellenfunktion besc hreibt unser Wissen über einen Z ustand. D er
K ollaps entspric ht der spontanen Ä nderung unseres Wissens.
(H eisenberg, B ohr)
D ie Wellenfunktion besc hreibt eine R elation z w isc hen z w ei T eilen des
U niv ersums: dem Q uantensystem und dem R est des U niv ersums. Sie
kommt daher eher der G renz flä c he z w isc hen diesen beiden T eilen z u
und besc hreibt so etw as w ie das Wissen des R ests des U niv ersums
über das Q uantensystem.
3 .
(L andau)
D ie Ensemble-I nterpretation der Q uantenmec hanik: D ie Wellenfunktion
besc hreibt grundsä tz lic h nur Ensembles v on Q uantensystemen. Sie ist
auf Einz elsysteme nic ht anw endbar. D amit umgeht man nahez u alle
G rundlagenprobleme der Q uantenmec hanik, beraubt sie j edoc h auc h
ihres fundamentalen C harakters.
(Einstein)
I ns besondere sei hier darauf hingew iesen, daß sow ohl 1 . als auc h 2 . mit
8 .
K openhagener I nterpretation konsistent sind.
D ie a k tu e lle F o r s c h u n g (C o n s is te n t h is to r ie s -u n d T r a n s a c tio n a l
In te r p r e ta tio n )
..............................
9 .
L ite r a tu r v e r z e ic h n is
[1 ]
[2 ]
F ilk, T h. : Skript z ur V orlesung Grundlagen und Probleme der
Q uant enmec h ani k , Wintersemester 2 0 0 3 / 2 0 0 4 , U niv ersitä t
F reiburg
B allentine, I . E. : T h e S t at i s t i c al I nt erp ret at i on of Q uant um M ec h ani c s ,
[3 ]
[4 ]
[5 ]
1 9 7 0 R e v . M o d . Ph y s . 4 2 3 5 8
O m n è s , R . : Consistent interpretations of quantum mechanics, 1 9 9 2 ,
R e v . M o d . Ph y s . , 2 , 3 3 9
T . H e l l m u t , H . W a l t h e r , A . G . Z a j o n c a n d W . S c h l e i c h ; D el ay ed -choice
ex periments in quantum interference; Ph y s . R e v . A 3 5 ( 1 9 8 7 ) , 2 5 3 2
C r a m e r , J . G . : T he transactional interpretation of quantum mechanics,
R e v . M o d . Ph y s . , 1 9 8 6 , 5 8 , 6 4 7
Anhang: Diverse Folien
Folie I
Die Axiome der Kopenhagener Interpretation der
Q u antenmec hanik
(1 )
( R eine) phy s ik al is c he Z u s tä nde w erden du rc h
( k ompl ex) eindimens ional e T eil rä u me eines
s eparab l en H il b ert-R au ms darges tel l t.
(2 )
Die O b s erv ab l en an einem phy s ik al is c hen S y s tem
w erden du rc h die s el b s tadj u ngierten O peratoren des
H il b ert-R au mes darges tel l t.
(3 )
Das S pek tru m eines s el b s tadj u ngierten O perators
ents pric ht den mö gl ic hen M es s w erten einer M es s u ng
der z u gehö rigen O b s erv ab l en an dem S y s tem.
(4 )
Die W ahrs c heinl ic hk eit, b ei einer M es s u ng der
O b s erv ab l en z u einem O perator A im Z u s tand Φ den
M es s w ert λ mit z u gehö rigem E igenv ek tor λ z u
f inden, is t gl eic h λ Φ .
(5 )
Die u nges tö rte Z eitentw ic k l u ng eines
ab ges c hl os s enen q u antenmec hanis c hen S y s tems
w ird du rc h die S c hrö dinger-G l eic hu ng,
i ∂
−
Φ = H Φ
h ∂t
b es c hrieb en, w ob ei H der E nergieoperator des
S y s tems is t.
(6 )
N ac h einer M es s u ng der O b s erv ab l en A an einem
phy s ik al is c hen S y s tem u nd dem E rgeb nis λ al s
M es s w ert b ef indet s ic h das phy s ik al is c he S y s tem in
dem z u gehö rigen E igenz u s tand λ .
Folie II
K le in e s P r o b le m
z u m
N a c h d e n k e n
S e i L d i e z K o m p o n e n t e d e s D r e h
r e p r ä s e n t i e r t w i r d d u r c h −i h ∂ ∂ ϕ , w
fo lg te
h
∆ϕ∆L ≥
2
D ie s is t n u n a b e r o ffe n s ic h tlic h fa ls
w e r d e n k a n n , d a ß ∆ϕ > 2π . D i e s i s
S i n n m a c h t f ü r ϕ ∈ [ 0, 2π [
i m p u l s e s . W e n n L
ä r e [ϕ , L ] = ih , u n d d a r a u s
c h , d a ∆L s o k l e i n g e m a c h t
t a b e r w id e r s in n ig , d a ϕ n u r
Abb. 1 D
e in e r f e s
H in te r d e
g e s c h lo s
a u f d ie P
a s D o p p e ls p a lt e x p e r im
te n G e s c h w in d ig k e it a
m S c h i r m be f i n d e t s i c
s e n .D ie K u r v e h in te r
la tte g e tr o ffe n s in d .
e n t . Au s e i n
u s u n d tre ffe
h e in e p h o to
d e r P la tte d e
e r E
n a u
g ra p
u te t
le k tr o
f e in e
h is c h
a n , w
n e n q u e lle tr e te n E
n S c h ir m m it z w e i
e P la tte .Z u n ä c h s t
ie v ie le E le k tr o n e n
le k tr o n e n m it
S p a lte n .
is t e in S p a lt
p r o F lä c h e
Abb. 2 : D a s D o p p e l s p a l t e x p e r i m e n t . B e i d e S p a l t e s i n d o f f e n . M a n e r k e n n t a u f d e r
P la tte d ie In te r fe r e n z s tr e if e n in F o r m v o n o s z illie r e n d e n D ic h te s c h w a n k u n g e n .
Abb. 3 : D a s D o p p e l s p a l t e x p e r i m e n t . M i s s t m a n , d u r c h w e l c h e n S p a l t d i e E l e k t r o n e n
f lie g e n , is t d a s In te r f e r e n z m u s te r v e r s c h w u n d e n .