Das weiss ich schon.

Klasse 9
Math./Ähnlichkeitssätze S.1
Let
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Ähnlichkeitssätze für Dreiecke
Def.: Die Verkettung (Hintereinanderausführung) einer zentrischen
Streckung mit einer Kongruenzabbildung heißt Ähnlichkeitsabbildung.
Zwei Figuren, die durch ein Ähnlichkeitsabbildung aufeinander
abgebildet werden können, heißen zueinander ähnlich.
Satz: Ähnliche Figuren stimmen in entsprechenden Winkeln und im
Verhältnis entsprechender Strecken überein.
Bew. folgt aus den Treueeigenschaften zentrischer Streckungen und
Kongruenzabbildungen.
Kehrsatz: Stimmen zwei Figuren in allen entsprechenden Winkeln und in
allen Verhältnissen entsprechender Strecken überein, dann lassen
sie sich durch eine Ähnlichkeitsabbildung ineinander überführen,
d.h. dann sind sie zueinander ähnlich.
Ohne Beweis.
Gesucht sind für Dreiecke - den Kongruenzsätzen analog - einfache
Kriterien, die ohne den mühsamen Nachweis der Existenz einer
Ähnlichkeitsabbildung die Ähnlichkeit zwischen Dreiecken garantieren.
1. Ähnlichkeitsmerkmal (W-W-Satz)
Zwei Dreiecke sind bereits ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.
Beweis:
Klasse 9
Math./Ähnlichkeitssätze S.2
Let
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Voraussetzung: Die Dreiecke ABC und AzBzCz stimmen in den Winkeln
α und β überein.
Behauptung:
Die Dreiecke ABC und AzBzCz sind zueinander ähnlich,
d.h. es gibt eine Ähnlichkeitsabbildung, die ABC auf AzBzCz abbildet.
Begründung:
Es gibt eine zentrische Streckung S(Z|λ), die Dreieck
ABC so abbildet, daß AzBz = A′ B′ gilt. Z ist dabei beliebig wählbar, für |λ|
AzBz
muß der Wert
genommen werden. Das Bilddreieck A´B´C´ weist
AB
wegen der Winkeltreue zentrischer Streckungen ebenfalls die Winkel α
und β auf.
Somit haben die Dreiecke A´B´C´ und AzBzCz übereinstimmende
Streckenlängen AzBz , A′ B′ und die an diesen Strecken liegenden
paarweise gleichen Winkel α und β. Der Kongruenzsatz WSW sagt unter
diesen Voraussetzungen aus, daß es eine Kongruenzabbildung gibt, die
Dreieck A´B´C´ auf Dreieck AzBzCz abbildet.
Obiges zeigt, daß Dreieck ABC durch eine zentrische Streckung mit sich
anschließender Kongruenzabbildung auf Dreieck AzBzCz abbildbar ist.
Die Dreiecke ABC und AzBzCz sind deshalb ähnlich, d.h. sie stimmen in
allen Winkeln und Verhältnissen entsprechender Seiten überein.
2. Ähnlichkeitsmerkmal (S:S-S:S-Satz)
Zwei Dreiecke sind bereits ähnlich, wenn sie in zwei Streckenverhältnissen übereinstimmen.
Beweis:
Klasse 9
Math./Ähnlichkeitssätze S.3
Let
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Voraussetzung: Die Dreiecke ABC und AzBzCz weisen die
Übereinstimmungen a:b = az:bz und b:c = bz:cz auf.
a a b az bz az
Daraus folgt wegen = ⋅ = ⋅
=
auch die Übereinstimmung
c b c bz cz cz
a:c = az:bz. (Kurzschreibweise für diese drei Beziehungen: a:b:c = az:bz:cz)
Diese Voraussetzung und ihre Folgerung läßt sich mittels Diagonaltauschäquivalentumformung der drei Verhältnisgleichungen über die
a az
a
b b bz
b
c
a
b
c
az bz cz
Schlußkette =
⇔
=
∧ =
⇔
= ⇒
=
=
⇔
=
=
b bz
az bz c cz
bz cz
az bz cz
a
b
c
az bz cz
auf die Gestalt
=
=
bringen.
a
b
c
Behauptung:
Die Dreiecke ABC und AzBzCz sind einander ähnlich.
az bz cz
=
=
wird als λ-Wert für eine
a
b
c
zentrische Streckung mit beliebigem Zentrum Z gewählt.
Angewandt auf Dreieck ABC liefert sie als Bild das Dreieck A´B´C´ mit
az
bz
cz
den Seitenlängen a′= λ ⋅ a = ⋅ a = az ; b′ = λ ⋅ b =
⋅b = bz ; c′= λ ⋅c = ⋅ c = cz .
a
b
c
Dieses stimmt somit in allen Seitenlängen mit denen des Zieldreiecks
AzBzCz überein, so daß wegen des SSS-Kongruenzsatzes eine
Kongruenzabbildung zwischen beiden besteht.
Damit ist gezeigt, daß sich das Dreieck ABC durch eine zentrische
Streckung mit nachgeschalteter Kongruenzabbildung auf das Dreieck
AzBzCz abbilden läßt. Beide Dreiecke sind somit zueinander ähnlich.
Begründung:
Der Wert von
3. Ähnlichkeitsmerkmal (S:W:S-Satz)
Zwei Dreiecke sind bereits ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten
und dem Zwischenwinkel übereinstimmen.
Beweis:
Klasse 9
Math./Ähnlichkeitssätze S.4
Let
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Voraussetzung: Für die beiden Dreiecke ABC und AzBzCz gilt o.B.d.A.
(Ohne Beschränkung der Allgemeinheit) a:b = az:bz und γ = γ z.
Behauptung:
∆ ABC ~ ∆ AzBzCz .
a az
a
b
az bz
=
⇔
=
⇔
=
= λ . Eine zentrische Streckung
b bz
az bz
a
b
az bz
mit beliebigem Zentrum Z und dem Streckungsfaktor
=
= λ bildet
a
b
das ∆ ABC auf das ∆ A′ B′C′ ab.
az
bz
Dabei gilt a′= λ ⋅ a = ⋅ a = az ; b′ = λ ⋅ b =
⋅b = bz und γ = γ ′= γz .
a
b
Das Dreieck A´B´C´ stimmt somit mit dem Zieldreieck AzBzCz in zwei
Seiten und dem Zwischenwinkel überein. Nach dem SWS-Kongruenzsatz
gibt es eine Kongruenzabbildung zwischen beiden.
Damit ist gezeigt, daß sich das Dreieck ABC durch eine zentrische
Streckung mit nachgeschalteter Kongruenzabbildung auf das Dreieck
AzBzCz abbilden läßt. Beide Dreiecke sind somit zueinander ähnlich.
Begründung:
4. Ähnlichkeitsmerkmal (S:s-W-Satz)
Zwei Dreiecke sind bereits ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten
und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen.
Beweis:
Klasse 9
Math./Ähnlichkeitssätze S.5
Let
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a az
Voraussetzung:
=
∧ γ = γz o.B.d.A.
c cz
Behauptung:
∆ ABC ~ ∆ AzBzCz .
a az
a
c
az cz
=
⇔
=
⇔
= = λ . Eine zentrische Streckung
c cz
az cz
a
c
az cz
mit beliebigem Zentrum Z und dem Streckungsfaktor
=
= λ bildet
a
c
das ∆ ABC auf das ∆ A′ B′C′ ab.
az
cz
Dabei gilt a′= λ ⋅ a = ⋅ a = az ; c′= λ ⋅c = ⋅ b = cz und γ = γ ′= γz . Das
a
c
Dreieck A´B´C´ stimmt somit mit dem Zieldreieck AzBzCz in zwei Seiten
und dem Gegenwinkel der größeren Seite überein. Nach dem SsWKongruenzsatz gibt es somit eine Kongruenzabbildung zwischen beiden.
Damit ist gezeigt, daß sich das Dreieck ABC durch eine zentrische
Streckung mit nachgeschalteter Kongruenzabbildung auf das Dreieck
AzBzCz abbilden läßt. Beide Dreiecke sind somit zueinander ähnlich.
Begründung: