Elementargeometrie 05

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5 Das Parallelenaxiom
5.1 Absolute Geometrie, euklidische
Geometrie, hyperbolische Geometrie
Alle Sätze, die aus den Axiomen I/1 bis
IV/3 folgen, gehören zur absoluten Geometrie.
Alle Sätze, die aus den Axiomen I/1 bis V
(Parallelenaxiom) folgen, gehören zur euklidischen Geometrie.
Axiom V’: Zu jeder Geraden g und zu
jedem Punkt P ∈
/ g gibt es mindestens
zwei Geraden h1, h2 mit P ∈ h1 ∩ h2 und
g ∩ h1 = ∅ = g ∩ h2.
Alle Sätze, die aus den Axiomen I/1 bis
IV/3 und V’ folgen, gehören zur (nichteuklidischen) hyperbolischen Geometrie.
5.2 Euklidisches Parallelenaxiom
5.2.1 Def.: Zwei Geraden g, h in E mit
g ∩ h = ∅ oder g = h heißen parallel, in
Zeichen: g k h.
5.2.2 Satz: Schneide eine Gerade g zwei
Geraden a, b in A, B mit A 6= B. Dann
gilt: a k b ⇔ Die Wechselwinkel bei A und
B sind gleich groß. ⇔ Die Stufenwinkel bei
A und B sind gleich groß.
Bew.: Übungen
5.2.3 Bem.: In Axiom V kann man ”genau eine” abschwächen zu ”höchstens eine”. Die Existenz einer Parallelen lässt sich
zeigen.
5.2.4 Satz: Die Winkelsumme in einem
Dreieck ∆ABC beträgt zwei Rechte.
Bew.: Sei C ∈ g k AB. Dann treten die
Innenwinkel von ∆ABC bei A und B als
Wechselwinkel bei C auf, und die drei Winkel bei C summieren sich zu zwei Rechten.
5.2.5 Satz: (Außenwinkelsatz)
In jedem Dreieck ist jeder Außenwinkel so
groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.
Bew.: 5.2.5 folgt aus 5.2.4.
5.2.6 Satz: Die Parallelität von Geraden
ist eine Äquivalenzrelation.
Bew.: Die Symmetrie und die Reflexivität
sind trivial.
Zur Transitivität:
Seien g k h, h k k und a eine Gerade, die g,
h und k in verschiedenen Punkten schneidet.
Gibt es so eine Gerade? Warum?
Dann sind nach 5.2.2 gleich:
die Stufenwinkel, die g und h mit a bilden
und
die Stufenwinkel, die h und k mit a bilden,
also auch
die Stufenwinkel, die g und k mit a bilden.
Nach 5.2.2 sind dann auch g und k parallel.
5.3 Nichteuklidisches (hyperbolisches)
Parallelenaxiom
Erinnerung:
Axiom V’: Zu jeder Geraden g und zu
jedem Punkt P ∈
/ g gibt es mindestens
zwei Geraden h1, h2 mit P ∈ h1 ∩ h2 und
g ∩ h1 = ∅ = g ∩ h2.
Kann man auch verlangen: Je zwei
verschiedene Geraden haben mindestens
einen Punkt gemeinsam?
Es gibt Geometrien, in denen das gilt, z.B.
die euklidische sphärische Geometrie,
wenn man Großkreise als Geradenersatz
nimmt,
die ebene projektive Geometrie,
die ebene elliptische Geometrie
aber in all diesen Geometrien gelten nicht
alle Axiomgruppen I bis IV.
In der absoluten Geometrie gibt es nichtschneidende Geraden.
Zurück zur hyperbolischen Geometrie:
Die hyperbolische Geometrie ist widerspruchsfrei, wie man anhand von Modellen zeigen kann.
Auch in der ebenen hyperbolischen Geometrie gilt der Fahnensatz.
In der ebenen hyperbolischen Geometrie
gilt zum Beispiel:
Die Parallelität von Geraden ist keine Äquivalenzrelation.
Die Winkelsumme im Dreieck ist kleiner als
zwei Rechte.
Je größer die Dreiecksfläche, desto kleiner
die Winkelsumme.
Trägt man auf den Loten zu einer Geraden
g nach einer Seite von g gleiche Abstände
6= 0 auf, so erhält man Punkte auf einer
Abstandslinie. Abstandslinien sind keine
Geraden!
Es gibt keine Rechtecke, also auch keine
Quadrate.
Ein Viereck ABCD (nicht überschlagen)
heißt (in der hyperbolischen Ebene) Parallelogramm, wenn je zwei Gegenseiten
gleich lang sind.
In einem Parallelogramm halbieren einander die Diagonalen.
In einem Parallelogramm mit gleich langen
Diagonalen sind alle vier Innenwinkel gleich
groß.
In einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC
mit dem rechten Winkel bei C gilt der
Lehrsatz des Pythagoras:
cosh c = cosh a · cosh b
Schneiden einander zwei Mittelsenkrechte
eines Dreiecks, dann schneiden einander
alle drei Mittelsenkrechten des Dreiecks,
und das Dreieck besitzt einen Umkreis.
Schneiden einander zwei Höhen eines Dreiecks, dann schneiden einander alle drei
Höhen des Dreiecks.
Die Höhen eines spitzwinkligen Dreiecks
schneiden einander stets im Inneren des
Dreiecks.
Es gibt stumpfwinklige Dreiecke mit und
stumpfwinklige Dreiecke ohne Höhenschnittpunkt.
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