6.2.6 Ohmsches Gesetz ****** 1 Motivation 2 Experiment

V060206
Ohmsches Gesetz
6.2.6 Ohmsches Gesetz
******
1 Motivation
Das Ohmsche Gesetz wird mithilfe von verschiedenen Anordnungen von leitenden Drähten
untersucht.
2 Experiment
5
4
3
2
1
6
7
8
9
10
Abbildung 1: Versuchsaufbau Ohmsches Gesetz“. Die Ziffern bezeichnen die zehn Messpunkte.
”
Der experimentelle Aufbau ist in Abb. 1 wiedergegeben. Eine elektrischer Schaltkreis wird mithilfe von Konstantandrähten hergestellt, und zwar (im Bild oben) ein einzelner Draht für die
Hinleitung und zwei parallele Drähte (im Bild unten) für die Rückleitung des Stroms.
Man stellt den Strom I0 derart ein, dass die Spannung zwischen den Messpunkten 1 und 10
U0 = 1,5 V beträgt. Man untersucht nun das Ohmsche Gesetz
U = RI
(1)
Die Grösse R wird als (elektrischer) Widerstand bezeichnet (Einheit: 1 Ohm = 1 Ω = 1 V/A).
Der Widerstand eine Drahtes (Länge `, Querschnitt A und spezifischer elektrischer Widerstand
ρ) beträgt
`ρ
(2)
R=
A
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1
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Ohmsches Gesetz
5
R0
4
1
6U
R0
3
1
6U
R0
2
1
6U
R0
1
I
1
6U
+
U
1
12 U
1
12 U
1
12 U
1
12 U
R0
R0
R0
R0
6
7
R0
8
R0
9
R0
−
10
R0
Abbildung 2: Ersatzschaltbild
Konstantan hat den spezifischen elektrischen Widerstand ρ = 5 × 10−7 Ω·m.
Man greift nun die Spannung zwischen verschiedenen Messpunkten der Schaltung ab. Abb. 2
zeigt das Ersatzschaltbild, wobei R0 der Widerstand eines Drahtstückes zwischen zwei Messpunkten ist.
Mit den folgenden Messungen verifiziert man die Gleichungen 1 und 2:
a) Eine Verdopplung der Länge ergibt den doppelten Spannungsabfall, demnach ist
R∼`
(3)
b) Eine Verdopplung des Querschnitts ergibt den halben Spannungsabfall, demnach
ist
1
R∼
(4)
A
c) Eine Halbierung des Stroms ergibt den halben Spannungsabfall, und es gilt
U ∼I
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2
(5)
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E
v
+
-
+
+
-
`
Abbildung 3: In einem Leiter wandern die Elektronen entgegengesetzt zur Richtung des elektrischen Feldes.
3 Theorie
3.1 Stromleitung, Ohmsches Gesetz
Wir betrachten einen Leiter der Länge ` und des (konstanten) Querschnitts A, an welchen wir
eine Spannung U anlegen.
Das elektrische Feld E führt zu einer Kraft auf die Ladungen q mit der Masse m. Falls wir
zusätzlich eine geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft annehmen, erhalten wir folgende Differentialgleichung für die Bewegung der Ladungen :
m r̈ = q E − 6π η a v
(6)
Dabei bedeuten η die Viskosität des Mediums und a den Radius der bewegten Ladung. Man
beachte, dass sich negative Ladungen (Elektronen) entgegengesetzt zur Feldrichtung bewegen
(siehe Abb. 3), so dass sich bei beiden Termen auf der rechten Seite der Gl. (6) das Vorzeichen
umkehrt. Da die elektrische Kraft konstant ist, die Reibungskraft aber mit der Geschwindigkeit
zunimmt, stellt sich nach einer Anlaufphase eine konstante Geschwindigkeit v ∞ der Ladungsträger ein:
q
v∞ =
E.
(7)
6π η a
Mit der Teilchenladungsdichte q · d3 n/dV erhalten wir schliesslich die Stromdichte:
j=
d3 n
q2
·
E = σE
dV 6π η a
(8)
σ wird als Leitfähigkeit, der Kehrwert ρ = 1/σ als spezifischer Widerstand bezeichnet.
Für den gesamten Leiter ergibt sich:
I = A·j
U
= `·E =`
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3
j
`ρ
=
I
σ
A
(9)
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bzw. das Ohmsche Gesetz:
(10)
U = RI
Die Grösse R wird als (elektrischer) Widerstand bezeichnet (Einheit: 1 Ohm = 1 Ω = 1 V/A) .
R=
`ρ
A
(11)
In Tabelle 1 sind einige typische Werte für die Leitfähigkeit angegeben. Zu beachten ist aber,
dass sich σ (oder ρ) i.a. stark mit der Temperatur ändert.
Tabelle 1: Elektrische Leitfähigkeit verschiedener Materialien
Material
ρ/(Ω·m)
Ag
16 · 10−9
Cu
17 · 10−9
Al
25 · 10−9
Pb
192 · 10−9
Konstantan
500 · 10−9
AgNO3 (1n)
-
Ge
10−1
Si
101
Porzellan
1010 - 1012
Glas
109 - 1012
Quarz
1012 - 1016
Luft
-
Bemerkungen
Metalle, typische Elektronenleiter
Ionenleiter, Elektrolyt;
je nach Konzentration
Halbleiter, Dotierung
Temperatur wichtig !
und
Isolatoren, praktisch
freien Ladungsträger
keine
Je nach Ionisationsgrad
3.2 Die Kirchhoffschen Gesetze
Häufig müssen in einem komplizierteren Netzwerk die Ströme, Spannungen, Leistungen berechnet werden. Dazu werden die Kirchhoffschen Gesetze verwendet:
A) Die Summe aller Ströme eines Stromknotens ist 0:
n
X
Ii = 0
(12)
i=1
Hierbei werden zufliessende Ströme positiv und abfliessende Ströme negativ gerechnet
(Ladungserhaltung).
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B) In einem geschlossenen Kreis ist die Summe der an den einzelnen Elementen liegenden
Spannungen gleich gross wie die Summe der Batteriespannungen .
Bei komplizierteren Problemen liefert das folgende Verfahren ein Minimum an Gleichungen (und
damit an Rechenarbeit !):
a) Man führe als Unbekannte die Spannungen Ui bezüglich eines Fixpunktes ( = Spannungen
gegen Erde) in den Knoten ein.
b) Man schreibe die Stromerhaltung für die Netzwerkknoten auf, wobei die Ströme durch die
unbekannten Spannungen und die Widerstandswerte auszudrücken sind.
c) Die Lösung dieses (linearen !) Gleichungssystems liefert die Unbekannten Ui . Aus diesen
können alle andern Grössen leicht berechnet werden.
Für n Widerstände Ri , i = 1, ..., n) in Serie gilt für den resultierenden Gesamtwiderstand R:
R=
n
X
Ri
(13)
i=1
Bei Parallelschaltung dieser Widerstände gilt dagegen:
n
X 1
1
=
R
Ri
i=1
5
(14)