2 Thermodynamik (Thermodynamics)

Informationstechnik SG Mechatronik
2 Thermodynamik (Thermodynamics)
Aufgabe :
Beschreibung makroskopischer (c, α, λ, k, ...) Materieeigenschaften durch
physikalische Größen aus Kristallgitter, Atom- und Moleküleigenschaften.
Beispiele : spezifische Wärmeleitfähigkeit, molare Wärmekapazität, …
Grundlage
Statistik, da sonst pro Mol ca. 1025 Gleichungen zu lösen wären !
Bsp: Wärmekapazität c Gase pro Freiheitsgrad
1
2
kB T → c = c(T)
c1atomig = 32 kB T
:
3 x Translation, z.B. He
c2atomig = 52 kB T
:
3 x Translation + 2 x Rotation, z.B. H2
Aus Einleitung:
Blankenbach / Thermodynamik / SS 2015
1
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Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Geschwindigkeit von Gasmolekülen
Wahrscheinlichkeitsverteilung (aus statistischer Physik) als Grundlage der Thermodynamik
mit Näherung „Ideales Gas“.
Geschwindigkeitsverteilung für Stickstoff (macht ca. 80% der Luft aus, , Quelle Wikipedia)
wird durch Gauß-Formel (e-cv²) beschrieben)
Mittlere Geschwindigkeit: ∅
mit
- kB = 1,38 10-23 J/K (Boltzmann-Konstante)
- R= NA kB = 8,3 J / mol K (Gaskonstante, NA = 6 1023 1/mol, Avogadro-Konstante)
- m: Teilchenmasse; M: molare Masse (N2 = 28 g/mol)
Für Stickstoff ergibt sich bei 300 K: v∅ ≈ 475 m/s, aber ein nennenswerter Anteil erreicht auch
das Doppelte und mehr (siehe Diagramm).
Blankenbach / Thermodynamik / SS 2015
2
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2.1 System-Definitionen
Thermodynamische Systeme sind Materieansammlung, deren Eigenschaften durch
Zustandsvariablen (z.B. V, E, T, p, z.B. p V = N R T Ideales Gas) beschrieben werden
können.
System
Definition
Formel
keine Wechselwirkung (Ww)
Ab-
oder Materieaustausch
geschlossenes (Teilchenzahl konstant) mit
System
Technisch angenähert
- Eges = W = const
- n = const.
durch Dewar-Gefäß
(Thermoskanne)
der Umgebung;
kein Wärmetransport
Gesamtenergie (mechanisch,
durch Strahlung oder
elektrisch, ...) konstant
Wärmeleitung
Geschlossenes Energieaustausch mit der
System
Beispiel
Umgebung zugelassen,
jedoch kein Materieaustausch
Offenes
Energieaustausch und
System
Materieaustausch mit der
Umgebung zugelassen
- Eges = W ≠ const.
- n = const
- Eges = W ≠ const
- n ≠ const
Wärmebad,
Kühlkörper
Gehäuse mit Lüfter
wie geschlossenes
System mit
Materialtransport
Blankenbach / Thermodynamik / SS 2015
3
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2.2 Zustands-Definitionen
•
Gleichgewichtszustand
- Zustand, welcher sich von selbst einstellt
- 'Hineinlaufen' in den Gleichgewichtszustand meist ‘komplex’ (s.u. *)
Bsp: Thermisches Gleichgewicht:
Zusammenbringen zweier Teilsysteme im energetischem Kontakt
(kein Materieaustausch), bis keine Energie mehr fließt
(Nullter Hauptsatz der Thermodynamik),
z.B. taktile Temperaturmessung (s.u. **)
•
Stationärer Zustand
wie Gleichgewichtszustand aber mit Energiefluß
Bsp: - Warmhalteplatte T = const, aber elektrische Energiezufuhr
- Aufheizen Elektronikgehäuse (s.o.)
Beispiel : Gleichgewichtszustand (Steady State, Equilibrum) und das Hineinlaufen (*)
In eine Wanne werden aus einem Bottich 50 l mit 20 °C kaltem Wasser hineingegossen. Es
werden dann mit einem anderen Bottich 50 l mit 40 °C dazugegeben. In der Badewanne
befinden sich nach Durchmischen 100 l Wasser mit einer Temperatur von 30 °C.
Der Anfangs- (2* 50 l, 20 bzw. 40°C) und Endzustand (100 l mit 30°C) ist leicht berechenbar.
Unberechenbar ist hingegen das Hineinlaufen in den Gleichgewichtszustand, d.h. die
zeitliche und räumliche Verteilung der Temperatur. Die Wasserströme können beispielsweise
mit gefärbten Wasser sichtbar gemacht werden (weiteres Beispiel: Milch in Kaffee gießen
ohne Umzurühren ergibt minutenlanges Strömen der Milch vor Gleichgewichtsverteilung).
Ferner ist es nicht möglich, den ursprünglichen Zustand (2 Bottiche mit je 50 l und 20 bzw. 40
°C) aus dem Gemisch zu extrahieren. Das Zusammengießen stellt also einen irreversiblen
Prozess (s.u.) dar.
Blankenbach / Thermodynamik / SS 2015
4
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Beispiel : Thermisches Gleichgewicht (**) (Thermal Equilibrum, - Balance)
Die Temperaturmessung mit einem Thermometer geschieht dadurch, daß das zu messende
Objekt in Kontakt mit dem Temperaturfühler gebracht wird. Nach einer gewissen Zeit stehen
Objekt und Fühler im thermischen Gleichgewicht, d.h. sie besitzen dieselbe Temperatur.
Dieser Prozess, der einem Mischen entspricht, verfälscht das Messergebnis:
Konkretes Beispiel: Die Temperatur von 1 l Luft mit 330 K (z.B. per Infrarot-Messung
bestimmt) soll mit einem Temperaturfühler aus Metall, der eine Temperatur von 300 K
aufweist, gemessen werden. Wie groß ist die gemessene Temperatur in diesem Extremfall:
c L mL TL + c F mF TF
c L m L + c F mF
aus (WL - 1')
TMisch =
hier : - Luft
mL = 1,2 g ; cL = 1 J/gK
- Fühler
→
mF = 10 g ; cF = 0,5 J/gK
TMisch =
1,2 ⋅ 330 + 5 ⋅ 300
K = 306 K
1,2 + 5
Damit der Fehler also klein bleibt, darf muß 'Beitrag' des Fühlers genügend klein sein !
Rein rechnerisch (theoretisch) könnte die wahre Lufttemperatur errechnet werden: nach TL
auflösen, Tmisch wurde gemessen, ‚Rest’ bekannt. Nachteile: Luft wird abgekühlt,
Messgenauigkeit relativ gering.
Blankenbach / Thermodynamik / SS 2015
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2.3 Hauptsätze der Thermodynamik
•
Nullter Hauptsatz der Thermodynamik
Alle Systeme, die mit einem System im thermischen Gleichgewicht stehen, sind auch
untereinander im thermischen Gleichgewicht.
Zur Erlangung des thermischen Gleichgewichtes findet solange ein Wärmetausch
(-transport) statt, bis die Temperaturen der betroffenen Systeme gleich sind.
Das ist der Fall bei taktilen (berührenden) Temperaturmessungen!
Thermisches
Gleichgewicht
Dies gilt auch für
mehrere Körper
(Systeme).
Achtung : Die
Alle untereinander im thermischen Gleichgewicht
‚Umwelt’ ist hier
nicht betrachtet !
•
Zur Verdeutlichung als Ring →
Erster Hauptsatz (law) der Thermodynamik
Die Änderung der Inneren Energie U eines Systemes bei einer beliebigen
Zustandsänderung ist die Summe der mit der Umgebung ausgetauschten Arbeit W und
der Wärme Q :
U = W + Q . Üblich ist die differentielle Formulierung :
Innere Energie
= 'Mechanische Arbeit + Wärmemenge'
dU = dW + dQ
(WL - 16)
dW < 0 : Arbeit, welche vom System geleistet wird
dW > 0 : Arbeit, welche am System geleistet wird, z.B. Luftpumpe wird warm
Folgerung: Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art!
(Maschine, welche dauernd Arbeit leistet, ohne die Umgebung zu verändern)
Innere Energie gibt’s auch in der Elektrotechnik :
Entladen Akku (reversibel), Batterie (irreversibel)
Blankenbach / Thermodynamik / SS 2015
6
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•
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Wärme kann nur dann in Arbeit umgewandelt werden, wenn ein Teil der Wärme von
einem wärmeren auf einen kälteres System übergeht (Wärmekraftmaschine).
Wärme kann von einem kälteren auf ein wärmeres System nur mittels mechanischer
Arbeit übertragen werden (Kältemaschine).
Folgerung:
Es gibt kein Perpetuum mobile 2. Art
Durch Abkühlung kann Wärme nicht zu 100% in Arbeit umgewandelt werden
('Ein Körper kann nicht durch selbsttätige Abkühlung in die Luft springen')
physikalische Formulierung über Entropie S (Maß für Ordnung)
Entropie (Entropy)
[S] =
J
K
dS =
dQ
T
(WL - 17)
Je größer die Entropie S, desto größer die 'Unordnung'
Fälle: dS = 0 reversibler Prozess, kann in beide Richtungen ablaufen
dS > 0 irreversibel, Prozess läuft nur in eine Richtung ab, Unordnung nimmt zu
dS < 0 nur möglich, wenn von außen Energie zugeführt wird. Ordnung kann also nur
durch Energieaufwand erzeugt werden !
Abgeschlossene Systeme streben einen Gleichgewichtszustand an, der durch ein Maximum
der Entropie gekennzeichnet ist.
Mechanische und elektrische Systeme streben ein Minimum an potentielle Energie an (Stein
fällt zur Erde / Ladungsdifferenzen gleichen sich aus)
Alle Naturvorgänge verlaufen so, dass die gesamte Entropie aller beteiligten Systeme
zunimmt.
Blankenbach / Thermodynamik / SS 2015
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Beispiele :
- Durch Expansion des Weltalls wird dessen Ordnung kleiner, S nimmt also zu
- Zusammenmischen zweier Wassereimer erhöht die Unordnung, da zuvor zumindest
der Ort der Moleküle (Eimer 1 oder 2) festgelegt war, danach kann dies nicht mehr
'gesagt' werden (s.o.)
Alternative Formulierung 2. Hauptsatzes
dS ≥ 0
•
(WL - 18)
Dritter Hauptsatz der Thermodynamik
Die Entropie am absoluten Nullpunkt ist Null:
S(0K) = 0 J/K
Folgerungen:
- die spezifische Wärmekapazität im Nullpunkt ist Null
c (T=0) = 0
- der absolute Nullpunkt ist experimentell nicht erreichbar, 'Rekord' ≈ 10-6 K
2.4 Zustandsänderungen
•
reversibel
Durch Umkehr der Ablaufrichtung wird der Ausgangszustand wieder erreicht, ohne daß
Energiezufuhr notwendig ist.
Beispiele: Mechanisches Pendel, Entladen Akku
•
irreversibel
Eine Umkehr des Ablaufes ist von alleine nicht möglich. Dies betrifft alle Übergänge vom
Nichtgleichgewicht ins Gleichgewicht.
Beispiele: - Temperaturausgleich zweier Systeme
2 Eimer werden zusammengeschüttet. Ein Trennen in den Ausgangszustand
ist nicht mehr möglich (s.o.)!
- Ein Akku lädt sich nicht von ‚alleine‘ auf. Durch elektrische Energiezufuhr
kann aber der ‚Ausgangszustand‘ wiederhergestellt werden
- Entladen Batterie
Blankenbach / Thermodynamik / SS 2015
8
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2.5 Thermodynamik Idealer Gase
reversible Arbeit beim 1. Hauptsatz
V2
(WL - 19)
Wrev = ∫ p dV
für p V = n R T
V1
Zustandsänderung
Gleichung
p - V - Diagramm
p
Isochor
p
= const.
T
V
p
Isobar
V
= const.
T
V
p
Isotherm
p V = const.
Hyperbel p ~ 1/V
Boyle Mariotte
V
p
Adiabatisch
hier κ =
κ
p V = const
cp
adiabatisch
cv
einatomiges Gas: κ =
5
3
Zustandsänderung
isotherm
Isochor
Blankenbach / Thermodynamik / SS 2015
isobar
V
isotherm
ad
9
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Bedingung
Beispiel für Ideales Gas:
Wärmeenergie
V2
Arbeit Wrev = ∫ p dV
V = const
p = const
T = const
S = const
dQ = 0
Temperaturänderung in
einem Behälter
'Luftpumpe'
(frei) bei äußerer
T-Erhöhung
Wärmebad
Dewar-Gefäß
Q = cv m ∆T
Q = cp m ∆T
Q=W
Q=0
W=0
(keine mechanische
Arbeit, da V = const))
W = p ∆V
W = p ∆V
W = - cv m ∆T
dU = dQ
dU = dW + dQ
dQ = dW
dU = - dW
pVκ = const
schnelle Prozesse
in nichtisolierten
Systemen
V1
1. Hauptsatz
κ: Adiabaten- bzw. Polytropenkoeffizient
dU = dW + dQ
κ = 0 isobare Prozesse
κ = 1 isotherme "
κ → ∞ isochore "
sonst adiabatisch
Blankenbach / Wärme + Thermodynamik / 12.06.2016 11:06:00
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2.6 Carnotscher Kreisprozess (Carnot Cycle)
periodisch arbeitende Maschine mit Idealem Gas als Arbeitsmedium in einem Kreisprozess als
Idealisierung realer Kreisprozesse z.B. Motor
p
Isotherm: T = const,
isotherme Expansion
d
a
adiabatische
Kompression
p∼
T hoch
b adiabatische
Expansion
adiabatisch: pVκ = const,
T ≠ const
c
isotherme Kompression
1
(Hyperbel)
V
T niedrig
V
Ziel: mechanische Energieerzeugung durch periodischen Wechsel zwischen warm und kalt !
Lernziel: „Wissen, dass es Carnot gibt + Grundprinzip“
Teilzyklen:
Beschreibung
a
Innere Energie konstant
Wärme wird zugeführt
(Isothermal heat supply)
b
Formel
∆U = 0
V 
→ ∆ Q = N kB T ln  2 
 V1 
durch Expansion geleistete Arbeit wird aus U
entnommen, T sinkt
∆W = ∆U = cv m ∆T
(isentropic expansion)
c
wie a, nur Wärme wird abgegeben
(Isothermal heat rejection)
d
wie b, nur T steigt (isentropic compression)
nach einem Umlauf muß die Summe aller Parameter Null sein → ∆ S =
Blankenbach / Thermodynamik +Wärmelehre / SS 2015
∫
dQ
=0
T
11
Informationstechnik SG Mechatronik
Definition : Entropie d S =
dQ
; ∆S =
T
b
dQ
T
a
∫
Entropie ist die bei der Temperatur T ausgetauschte Wärmemenge
Energiebilanz
im Prozeß erzeugt Wärme = umgesetzte Wärmemenge
∆W = - ∆Q
Wärme(energie) wird in Arbeit umgewandelt
Wirkungsgrad
η =1 −
[T] = K
Tniedrig
Thoch
<1
(WL - 20)
Wirkungsgrad ist hoch für große T- Differenzen
reale Maschinen : ηreal < ηcarnot
Der Carnotscher Kreisprozeß ermöglicht die Erzeugung von Arbeit durch Wärmetausch zwischen
kalten und heißen Medien.
Anwendung: Wärmepumpe, Kältemaschine, Motor
Beispiel für Solarzellen bei Sonnentemperatur von 6.000 K :
Tniedrig
= 1−
300 K
= 95 %
6.000 K
- Durch Sonnenstrahlung erwärmte Solarzelle: η = 1 −
400 K
= 93 %
6.000 K
- Solarzelle bei Raumtemperatur : η = 1 −
Thoch
Der theoretische Höchst-Wirkungsgrad verringert sich aufgrund der geringeren
Temperaturdifferenz – Hochleistungs-Solarzellen werden deshalb mit einer Wärmeabfuhr
versehen. Praktisch werden 10 – 20% erreicht.
Blankenbach / Thermodynamik +Wärmelehre / SS 2015
12
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Anwendung des Carnotschen Kreisprozesses : Otto – Motor (nur zur Info)
Beim Viertaktmotor werden vier Arbeitsgänge
Ansaugen - Verdichten - Arbeiten - Ausstoßen
in vier Bewegungen eines jeden Kolbens verrichtet. Bei allen Verbrennungsmotoren mit
Ausnahme des Wankelmotors treiben die aufwärts – und abwärtsgleitenden Kolben über Pleuel
eine Kurbelwelle an. Die Antriebskraft wird über die Kupplung, das Wechselgetriebe, die
Kardanwelle, das Ausgleichsgetriebe und die Antriebswellen auf die Räder übertragen.
Blankenbach / Thermodynamik +Wärmelehre / SS 2015
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Der Kreisprozess im Otto – Motor soll durch folgenden Idealisierten Kreisprozess angenähert
werden:
I
Adiabatische Kompression des idealen Arbeitsgases vom Volumen V1, der
Temperatur T1 und dem Druck p1 zum Volumen V2
II
isochore Druckerhöhung, wobei das Gas mit einem Wärmebad der konstanten
Temperatur T3 in Berührung gebracht und Temperaturausgleich abgewartet wird
III
adiabatische Expansion bis zum Anfangsvolumen V1
IV
isochore Druckerniedrigung bis zum Anfangsdruck p1, wobei das Gas mit einem
zweiten Wärmebad der konstanten Temperatur T1 in Berührung gebracht und
Temperaturausgleich abgewartet wird
p - V – Diagramm des Kreisprozesses
p
3
II
Die Ziffern 1 – 4 bezeichnen die
Anfangszustände der vier Teilprozesse
2
∆W
III
4
I
V2
Blankenbach / Thermodynamik +Wärmelehre / SS 2015
1
IV
V1
V
14
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Druck, Volumen und Temperatur für die Anfangspunkte der vier Teilprozesse
'Motorwerte' - Volumen aller Zylinder
V1 = 1,5 dm³
V1
=8
V2
- Kompressionsverhältnis
ε=
- Umgebungstemperatur der angesaugten Luft
T1 = 303 K
- Umgebungsdruck der angesaugten Luft
p1 = 1 bar
- Höchsttemperatur des gezündeten Gemisches
T3 = 1973 K , κ = 1,4
- cV konstant angenommen
Anfangszustand
1
2
3
4
V /dm³
1,5
0,1875
0,1875
1,5
p /bar
1,0
18,38
52,10
2,84
T /K
303
696,1
1973
858,9
Prozeß
κ
=
V2
p2
V1
p1
I
Berechnung obiger Tabellendaten
κ
; p2 = p1 ⋅ εκ = 1 bar ⋅ 81,4 = 18,38 bar
V 
T2 = T1  1 
 V2 
II
III
IV
p3 = p 2
κ−1
= T1 εκ − 1 = 303 K ⋅ 80,4 = 696,1 K
T3
1973,0 K
= 18,38 bar ⋅
= 52,1 bar
T2
696,1 K
κ
V 
p
52,10 bar
p4 = p3  3  = κ3 =
= 2,84 bar
ε
81,4
 V4 
T4 = T1
p4
2,84 bar
= 303 K ⋅
= 858,9 K
p1
1 bar
Blankenbach / Thermodynamik +Wärmelehre / SS 2015
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Gewonnene Arbeit pro Umlauf im p V – Diagramm
Arbeit
∆W = ∆Q23 + ∆Q41
Aufgenommene Wärmemenge
∆Q23 = m c v (T3 − T2 ) > 0
Abgegebene Wärmemenge
∆ Q 41 = m c v (T1 − T4 )< 0
Wärmekapazität des Arbeitsgases
Cv = m cv
Mit : m =
Cv =
p V c
p V
cv
p V 1
p1 V1
= 1 1⋅
; Cv = 1 1 ⋅ v = 1 1 ⋅
T1 Rs
T1 cp − c v
T1 κ − 1
Rs T1
105 1,5103 Nm3
J
= 1,238
2
303 (1,4 − 1) K m
K
Wärmemengen :
→
∆Q 23 = 1,238
Nm
⋅ (1973 − 696,1) K = 1580,3 J
K
∆Q 23 = 1,238
Nm
⋅ (303 − 858,9 ) K = 688 J
K
∆W = 1580,3 J − 688 J = 892,3 J
Leistung des Viertakt – Motors bei einer Drehfrequenz f = 4500 min−1
P = ∆W ⋅
f
4500
= 892,3 J
= 33,5 kW
2
60 ⋅ 2 s
denn ∆W wird während zweier Umdrehungen des Motors erzeugt !
Blankenbach / Thermodynamik +Wärmelehre / SS 2015
16
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Wirkungsgrad ηrev einer Carnot–Maschine, die mit den beiden Wärmebädern arbeitet :
Thermodynamischer Wirkungsgrad
T3 − T1 (1973 − 303)K
=
= 84,6 %
T3
1973K
ηrev =
Effektiver Wirkungsgrad des 'realen' Motors:
K
3
,
0
8
5
1
=
%
5
,
6
5
K
3
,
2
9
8
−
−
T 4T 2
+
T 1T 3
=
1
∆
∆
3
2
+
1
4
=
Q Q
1
3
2
∆
W Q
Effektiver Wirkungsgrad η = ∆
=
aus den Formeln für die betreffenden Prozesse:
folgt
κ −1
I
V 
T1 = T2  2 
 V1 
III
V 
T4 = T3  2 
 V1 
I – III
T1 − T4  V2 

=
T2 − T3  V1 
κ −1
κ −1
= 1−
1
1
= 1 − 0, 4 = 56,5 %
εκ −1
8
Der Wirkungsgrad η hängt nur vom Kompressionsverhältnis ε ab!
Blankenbach / Thermodynamik +Wärmelehre / SS 2015
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Informationstechnik SG Mechatronik
Entropieerzeugung pro Umlauf im p - V – Diagramm
geg.: Abgeschlossenes System aus Arbeitsgas und Wärmebehältern
Die Entropie des Gases ändert sich bei einem Umlauf im p – V – Diagramm nicht,
weil S eine Zustandsgröße ist.
Für die Wärmebehälter / - speicher gilt :
Abgabe bei T3 = konst.:
∆S3 = −
∆Q23
1580,3 J
J
=−
= − 0,801
T3
1973 K
K
Aufnahme bei T1 = konst.:
∆S1 = −
∆Q 41 688 J
J
=
= 2,271
T1
303 K
K
Resultierende Entropie – Erzeugung:
∆ S = ∆S1 + ∆S3 = (2,27 − 0,80 )
→
J
J
= 1,47
K
K
∆S > 0 , weil die Prozesse II und IV irreversibel sind.
Blankenbach / Thermodynamik +Wärmelehre / SS 2015
18
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Entropieänderungen des Arbeitsgases bei den einzelnen Zustandsänderungen I – IV
Adiabatische Prozesse I und III
∆S = 0
Isochore Prozesse
T 
∆SII = Cv ln  3 
 T2 
T 
∆SIV = Cv ln  1  = − ∆SII
 T4 
mit Division von
V 
T1 = T2  2 
 V1 
κ −1
durch
V 
T4 = T3  2 
 V1 
κ −1
siehe Wirkungsgrad
T1
T
= 2
T4
T3
erhält man
→
∆SII = 1,238
 1973K 
J
J
 = 1,29
⋅ ln 
K  696,1K 
K
Entropie S(T) – Temperatur -
S
III
Diagramm
IV
II
Der Wert von S(T1) braucht nicht bekannt
zu sein. Die Kurven II und IV laufen
I
proportional zu ln(T)
T1
Blankenbach / Thermodynamik +Wärmelehre / SS 2015
T2
T4
T
T3
19