Der Satz des Pythagoras

3. Hier sollte sich eine Formulierungsvariante
des Satzes des Pythagoras ergeben.
Lösungen für den Lehrer/die Lehrerin
im Mathematikum
Der Satz des Pythagoras
2. a, b und c sind die Seitenlängen des Dreiecks und gleichzeitig Seitenlängen der
Quadrate an dessen Seiten. 𝑎², 𝑏² und c²
sind die Flächeninhalte dieser Quadrate.
Die Größe dieser Flächeninhalte kann über
die quadratischen Plättchen verglichen
werden.
5. Das Dreieck ist nicht rechtwinklig. Daher ist
die Summe der Kathetenquadrate auch
nicht gleich dem Hypothenusenquadrat.
16 + 9 ≠ 36
c) In das große Quadrat müssten 100
Plättchen passen, d.h. 10 x 10 Plättchen. In die Quadrate über den Katheten müssten 36 und 64 Plättchen passen, d.h. 6 x 6 Plättchen und 8 x 8 Plättchen.
Bemerkung: Es sind keine Schriften von Pythagoras
selbst überliefert. Die meisten Informationen über
ihn stammen aus späterer Zeit und sind teilweise
umstritten.
4.
3.
b) Das sind jeweils die Anzahlen der Plättchen, die nebeneinander in ein Quadrat
passen. Sie entsprechen den Seitenlängen 𝑎, 𝑏 und 𝑐.
2.
4. a) Das sind jeweils die Anzahlen der Plättchen in einem Quadrat. Sie entsprechen
den Flächeninhalten 𝑎², 𝑏² und 𝑐² . Es
gilt 9+16=25.
1.
Lebte Pythagoras vor oder nach Jesus Christus?
Er lebte vor Jesus Christus (ca. 570 bis ca. 510
v.Chr.).
Was durften die Pythagoreer essen: Fleisch oder
Bohnen?
Sie durften keine Bohnen essen. Ob sie Fleisch
essen durften, weiß man nicht. Also evtl. sogar
keines von beidem!
In welchem heutigen Land gründete Pythagoras
seine berühmte Schule?
Kroton (heute Crotone) liegt im heutigen Süditalien, welches damals griechisch besiedelt war.
Was meinten die Pythagoreer mit dem Ausspruch „Alles ist Zahl“?
Sie meinten damit, dass sich alles durch einen
Bruch (eine rationale Zahl) ausdrücken lässt und
das gesamt Universum gemäß diesem Gesetz
aufgebaut ist bzw. mit Hilfe von ganzzahligen
Verhältnissen beschrieben werden kann.
Infotafel zur Person Pythagoras (2. OG)
Pythagoras zum Legen (2. OG)
Pythagoras zum Legen (2. OG)
Pythagoras zum Klappen (2. OG)
Pythagoras zum Klappen (2. OG)
Das Pythagoras-Parkett (2. OG)
1. Im einen „Klappzustand“ ergeben sich ein
gelbes und ein rotes Quadrat. Im anderen
„Klappzustand“ entsteht ein großes Quadrat mit blauem Rand.
2. Die Summe der Flächeninhalte des roten
und des gelben Quadrats ist gleich dem
Flächeninhalt des blauen Quadrats.
3. Die Dreiecke sind deckungsgleich (kongruent).
4. Die beiden zu klappenden Dreiecke sind
zueinander kongruent. Daher sind alle
blauen Linien gleich lang.
Da es sich um rechtwinklige Dreiecke handelt, beträgt die Summe der beiden spitzen
Winkel eines Dreiecks 90°. In drei Ecken des
großen blauen Quadrats fügen sich diese
spitzen Winkel zu 90° zusammen. Der vierte rechte Winkel im großen blauen Quadrat
entsteht dadurch, dass von einem gestreckten Winkel zwei spitze Winkel mit Winkelsumme 90° weggeklappt wurden.
1. Es ergibt sich ein lückenloses Muster (Parkettierung) aus großen und kleinen Quadraten (wie das gelbe und das rote Quadrat).
Dreiecke sieht man nicht.
2. Es ergibt sich ein lückenloses Muster aus
gleichen, schräg liegenden großen Quadraten (wie das blaue Quadrat). Diese liegen
jeweils Seite an Seite.
3.
5.
Die hier dunkelgrün gefärbten Dreiecke
können durch Verschieben oder Drehen auf
die hellgrünen abgebildet werden.
Pythagoras zum Wiegen (2. OG)
Bemerkung: Die quadratischen Grundflächen der Quader
haben den gleichen Flächeninhalt wie die Seitenquadrate
des rechtwinkligen (!) Dreiecks. Das Gewicht der Quader
verhält sich proportional zu diesem Flächeninhalt (bei
gleicher Dichte und Höhe). Daher zeigt das Gleichgewicht
der Waage, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich
dem Hypotenusenquadrat ist.
2. (1) Falsch
(2) Richtig
(3) Falsch. Der Satz des Pythagoras ist mit (3)
nur unvollständig wiedergegeben. Es fehlt,
wofür die Buchstaben stehen – dass es sich
um Seitenlängen im rechtwinkligen (!) Dreieck mit der Hypothenuse c handelt.
3. Die Sterne sind zueinander ähnlich. Ihre Seitenund Flächenverhältnisse sind gleich denen der
Quadrate.