Die elektromagnetische Theorie des Lichtes

Kapitel 3
Die elektromagnetische Theorie des
Lichtes
3.1
3.1.1
Maxwellgleichungen im Vakuum und Medien
Maxwellgleichungen im Vakuum
Während wir in der Wellentheorie eine skalare Wellenfunktion betrachteten, gehen wir nun
zu Vekorfeldern über. Diese Vektorfelder müssen die Maxwellschen Gleichungen im Vakuum
erfüllen
~
r
~
r
~
r
~
r
E~ = 0
~ = 0
H
~
@H
E~ + 0
= 0
@t
~
~ "0 @ E = 0
H
@t
(3.1a)
(3.1b)
(3.1c)
(3.1d)
Aus den Maxwellgleichung ergibt sich die Wellengleichung für jede Komponente von E und H
~ 2U
r
1 @2U
= 0;
c20 @t2
U = Ex ; Ey ; Ez ; Hx ; Hy ; Hz :
(3.2)
mit der Lichtgeschwindigkeit
c0 = p
3.1.2
1
"0
:
(3.3)
0
Maxwellgleichungen in Medien
In dielektrischen Medien sind die durch die elektrischen und magnetischen Felder induzierte
Polarisation P und Magnetisierung M zu berücksichtigen
D = "0 E + P
B =
0H
+
(3.4)
0 M:
(3.5)
Die elektrische Verschiebungsdichte D (auch elektrische Flussdichte, dielektrische Verschiebung)
und die magnetische Flussdichte B (auch magnetische Induktionsdichte) erfüllen die Maxwell36
3.1. MAXWELLGLEICHUNGEN IM VAKUUM UND MEDIEN
37
gleichung in Medien
~
r
~
r
~ = %
D
~ = 0
B
(3.6a)
(3.6b)
~
~ H
~ = ~j + @ D
r
@t
~
@
B
~ E~ =
r
@t
(3.6c)
(3.6d)
In quellfreien Medien verschwinden die elektrische Ladungsdichte % und die Stromdichte ~j auf
der rechten Seite.
3.1.3
Randbedingungen an der Grenz‡äche dielektrischer Medien
Im homogenen Medien sind alle Komponenten der Felder E, H; D; B kontinuierliche Funktionen
des Ortes. In Abwesenheit freier Ladungen und Ströme gilt an der Grenz‡äche dielektrischer
Medien
tangentiale Komponenten von E und H sind stetig
normale Komponenten von D und B sind stetig
Auß
erdem gilt, dass
an der Ober‡äche idealer Leiter die tangentiale Komponente von E verschwinden muss.
Diese Punkte sind in Abb. 3.1 dargestellt. Daraus ergibt sich sofort, dass bei der Re‡exion
Abb. 3.1: Randbedingungen an der Grenz‡äche dielektrischer Medien [Sal07].
an Metallen bei senkrechtem Einfall die einfallende und re‡ektierte Welle die gleiche Amplitude
besitzen müssen, aber um phasenverschoben sind. In der Summe ist das elektrische Feld damit
Null.
3.1.4
Intensität, Leistung und Energie
Diese Größ
en hängen mit dem dem Poyntingvektor zusammen. Der Fluss der elektrischen
Leistung ist durch den Poyntingvektor gegeben
S~ = E~
~
H
(3.7)
dessen Richtung die Richtung und dessen Magnitude den Betrag der Leistung angibt, die durch
eine Einheits‡äche senkrecht zum Vektor hindurch‡ieß
t. Die Intensität am Ort ~r ist die Magnitude des Zeitmittels des Poyntingvektors
D E
I (r; t) = S~ ;
(3.8)
t
38
KAPITEL 3. DIE ELEKTROMAGNETISCHE THEORIE DES LICHTES
wobei die Mittelung wieder über Zeitspannen erfolgt, die lang gegenüber der optischen Periode
aber kurz gegenüber den in I (r; t) interessierenden Zeitskalen sind. Die Quellen und Senken des
Poyntingvektors
r S=
@
@t
1 ~2 1
"0 E +
2
2
{z
|
~2
0H
+ E~
|
}
Energie des elektro-
magnetischen Feldes
~
~
@P
~ @M
+ 0H
@t {z
@t }
(3.9)
Arbeit an Dipolen
sind durch die zeitliche Änderung der elektromagnetischen Felder und die an den elektrischen
und magnetischen Dipolen des Mediums verrichtete Arbeit gegeben (Poyntingtheorem).
Auch die Impulsdichte des Feldes im Vakuum ist über
"0 E~
~ = 1 S~
B
c20
(3.10)
mit dem Poyntingvektor verknüpft. Der Impuls‡uss durch eine Einheits‡äche senkrecht zum
Vektor S~ ist daher durch hSit =c0 gegeben.
3.2
Charakterisierung dielektrischer Medien
Wir können dielektrische Medien in wichtige Klassen unterteilen. Folgende De…nitionen werden
im weiteren noch von Bedeutung sein: Ein Dielektrikum ist
linear, wenn die Polarisation P(~r; t) (Reaktion/Antwort des Mediums) eine lineare Funk~ _ E.
~
tion des Vektorfeldes E ist: P
nichtdispersiv, wenn die Antwort des Mediums dem Feld instantan folgt und nicht von
~ (~r; t) _
früheren Werten des elektrischen Feldes - also seiner Historie - abhängig ist P
E~ (~r; t). Dies ist natürlich eine Idealisierung. Keine Antwort kann wirklich instantan
erfolgen.
~ nicht vom Ort im Medium abhomogen, wenn der Zusammenhang zwischen E~ und P
hängig ist
~ nicht von der Richtung von E~ abhängig
isotrop, wenn die Beziehung zwischen E~ und P
~ müssen dann parallel sein.
ist. E~ und P
~ lokal ist, d.h. P
~ am
räumlich nicht dispersiv, wenn die Beziehung zwischen E~ und P
~
~
Ort ~r ist nur von E am Ort ~r abhängig und nicht von den Werten von E an anderen Orten.
Wir betrachten zunächst den einfachsten Fall linearer, nicht-dispersiver, homogener und
isotroper dielektrischer Medien. Dann gilt
~ = "0 E~
P
mit der skalaren, ortsunabhängigen elektrischen Suszeptibilität
dielektrische Verschiebungsdichte kann dann durch
~ = "0 E~ + "0 E~
D
~ = "0 (1+ ) E~
D
~ = "E~
D
(3.11)
("Übernahmefähigkeit"). Die
(3.12)
(3.13)
(3.14)
3.2. CHARAKTERISIERUNG DIELEKTRISCHER MEDIEN
39
mit der elektrischen Permittivität ("Durchlässigkeit")
" = "0 (1+ ) :
(3.15)
Die relative Permittivität
"
= 1+
(3.16)
"0
wird auch als dielektrische Konstante bezeichnet. Die entsprechende Beziehung für das magnetische Feld lautet
~= H
~
B
mit der magnetischen Permeabilität (ebenfalls "Durchlässigkeit") des Mediums . Aus den
Maxwellschen Gleichungen des Mediums ergibt sich dann wieder die Wellengleichung, jetzt aber
mit der Geschwindigkeit
1
c= p :
(3.17)
"
Dementsprechend erhalten wir für den Brechungsindex
r
"
c
=
n=
c0
"0 0
und für nichtmagnetische Materialien ( =
(3.18)
0)
n=
p
1+ :
(3.19)
Das Poyntingtheorem (3.9) lässt sich damit als Kontinuitätsgleichung
~ S~ =
r
@W
@t
(3.20)
mit der Energiedichte, die im Medium gespeichert ist
1 ~2
1
H ;
W = "E~2 +
2
2
(3.21)
formulieren.
Für lineare, nicht-dispersive, isotrope aber inhomogene Medien wird n und damit c eine
Funktion von ~r. Wenn die Variation von n auf einer Skala geschieht, die deutlich größ
er ist als
eine Wellenlänge, kann die folgende genäherte Wellengleichung erhalten werden
~ 2 E~
r
1 @2 ~
E
c2 (~r) @t2
0:
(3.22)
~ auf das Feld E~ von der Richtung
In einem anisotropen Medium hängt die Antwort des Mediums P
~
~
des Vektors E ab. P wird im Allgemeinen nicht mehr parallel zu E~ sein. In einem linearen,
homogenen und nichtdispersivem Medium gilt die Beziehung
X
Pi =
"0 ij Ej :
(3.23)
j
Die elektrische Suszeptibilität wird also von einer skalaren Größ
e zu einem Tensor zweiter Stufe
(3 3 Komponenten).
In dispersiven Medien hängt die Polarisation von der "Historie" des elektrischen Feldes E
ab, d.h. die Antwort erfolgt nicht instantan sondern nach einer gewissen Antwortzeit oder "verschmiert" über einen längeren Zeitraum. Ein solches Medium wird vollständig charakterisiert
40
KAPITEL 3. DIE ELEKTROMAGNETISCHE THEORIE DES LICHTES
über die Impuls-Responsefunktion (Impuls-Antwortfunktion) { (t
Mediums auf einen deltaförmigen Impuls zum Zeitpunkt t = 0
t0 ), also die Reaktion des
E = (t):
(3.24)
Die Antwort auf ein beliebiges Feld E(t) kann dann als Faltung von E(t) mit der Antwortfunktion
erhalten werden
Z1
{ t t0 E(t0 ) dt0 :
(3.25)
P(t) = "0
1
Ein letzter wichtiger Fall sind die nichtlinearen Medien bei denen die Relation zwischen P
und E nicht linear ist. Sie sind von groß
er Bedeutung, da mit ihnen eine Verdopplung optischer
Frequenzen möglich ist. Aus den Maxwellgleichungen des Mediums können wir die allgemeine
Wellengleichung mit Quellterm
~
@2P
1 @ 2 E~
~ 2 E~
=
(3.26)
r
0
@t2
c20 @t2
~ =
herleiten. Wenn P nun keine lineare Funktion von E mehr ist, sondern allgemein als P
geschrieben werden muss, so erhalten wir mit
1 @ 2 E~
=
c20 @t2
~ 2 E~
r
0
@ 2 (E)
@t2
~
(E)
(3.27)
eine nichtlineare partielle Di¤erentialgleichung für das elektrische Feld. Man beachte, dass das
Superpositionsprinzip in diesem Falle nicht mehr gilt. Dielektrische Medien sind meist linear
bis die Intensität des elektrischen Feldes eine gewisse Amplitude überschreitet und die Elektronen des Mediums soweit ausgelenkt werden, dass das Potential Abweichungen von einem
harmonischen Potential zeigt.
3.3
Monochromatische Wellen in komplexer Notation
Ausgehend von
o
n
~ r; t) = Re E(~
~ r)ei!t
E(~
o
n
~ r)ei!t
~ r; t) = Re H(~
H(~
(3.28)
(3.29)
mit den komplexen Amplituden E und H - analog D und B ergeben sich die Maxwellgleichungen
der komplexen Feldamplituden in einem quellenfreien Medium
~
r
~
r
~ = i! D
~
H
~ =
~
E
i! B
~ D
~ = 0
r
~ B
~ = 0
r
(3.30)
(3.31)
(3.32)
(3.33)
mit den Beziehungen
D = "0 E + P
B =
0H
+
(3.34)
0 M:
(3.35)
3.4. ABSORPTION UND DISPERSION
41
Damit ergibt sich für den komplexen Poyntingvektor die einfache Beziehung
~ = 1E
~
S
2
~ :
H
(3.36)
Unter Verwendung der Materialgleichungen
~ = "E
~
D
~ =
~
B
H
(3.37)
(3.38)
für ein lineares nicht-dispersives, homogenes, isotropes und quellfreies Medium erhalten wir
wieder die bekannte skalare Helmholtzgleichung für die Komponenten der Felder E und H
r2 U + k 2 U = 0
(3.39)
r
(3.41)
p
mit k = nk0 = ! " .
~ und E
~ sind wechselseitig orFür transverse elektromagnetische Wellen (TEM), d.h. ~k, H
thogonal zueinander, wird das Verhältnis der Amplituden E0 und H0 als Impedanz des Mediums
r
E0
=
=
(3.40)
H0
"
bezeichnet. Im Vakuum gilt
0
=
0
120
"0
377
und für nichtmagnetische Medien
0
:
(3.42)
n
Für den Zusammenhang zwischen Intensität und elektrischem Feld lässt sich der einfache Zusammenhang
jE0 j2
(3.43)
I=
2
=
herleiten, d.h. ein Laserstrahl mit einer Intensität von 10 W/cm2 besitzt eine elektrische Feldstärke von 87 V/cm.
3.4
3.4.1
Absorption und Dispersion
Die komplexe Suszeptibilität
Phänomenologisch beschreibt man die zusätzliche Absorption elektromagnetischer Wellen in
einem Medium über eine komplexe Suszeptibilität
=
0
+i
00
(3.44)
bzw eine komplexe Dielektrizitätskonstante. Nach wie vor gilt die Helmholtzgleichung aber auch
k wird jetzt komplex
p
p
p
k = ! " 0 = k0 1 + = k0 1 + 0 + i 00
(3.45)
mit der Wellenzahl k0 = !=c0 . Zerlegen wir k analog
i
2
= k0
p
1+
0
+i
00
42
KAPITEL 3. DIE ELEKTROMAGNETISCHE THEORIE DES LICHTES
in seinen Realteil und den Imaginärteil und setzen dies in eine ebene Welle ein, so erhalten wir
für die komplexe Amplitude
U
= Ae
ikz
= Ae
i z
(3.46)
e
2
z
:
(3.47)
Die Amplitude der Welle wird also exponentiell abklingen mit einer Zerfallskonstante =2. Für
die Intensität der Welle gilt folglich I _ U 2 und deshalb
jU (z)j2 = jA(z)j2 e
z
:
(3.48)
ist also der Absorptionskoe¢ zient (Extinktionskoe¢ zient). hingegen gibt die Änderungsrate
der Phase mit z und ist somit die Ausbreitungskonstante der Welle.
= nk0
(3.49)
und die Welle breitet sich mit der Phasengeschwindigkeit c = c0 =n aus. Wir erhalten unmittelbar
den Zusammenhang
r
p
"
i
=
= 1 + 0 + i 00 :
(3.50)
n
2 k0
"0
Für die komplexe Impedanz gilt
=
r
0
"
=
0
1+
:
Generell sind k, , " und komplexe Größ
en, während , und n reell sind.
In schwach absorbierenden Medien gilt 00
1 + 0 , so dass nährungsweise
s
00
00
p
p
p
i
0 1+
1 + 0 + i 00 = 1 + 0 1 + i
1
+
1+ 0
21+ 0
genähert werden kann. Damit ergeben sich die "einfachen" Relationen
p
n
1+ 0
k0 00
=
:
n
(3.51)
(3.52)
(3.53)
(3.54)
Der Brechungsindex ist also im Wesentlichen durch den Realteil der Suszeptibilität 0 gegeben,
während der Absorptionskoe¢ zient proportional zum Imaginärteil 00 ist. In einem absorptiven
Medium ist 00 negativ und damit positiv, in einem verstärkenden Medium ist es umgekehrt.
3.4.2
Dispersion
Die Dispersion wird in der weiteren Vorlesung eine wichtige Rolle spielen. Sie wird beispielsweise
benutzt um wellenlängenselektive Elemente zu erhalten (z.B. Prismen) und sie spielt auch eine
zentrale Rolle bei der Propagation von Pulsen in Medien. Beides ist in Abb. 3.2 veranschaulicht.
Die Wellenlängenabhängigkeit der Phasengeschwindigkeit führt dazu, dass jede Frequenz eine
ihr eigene Verzögerung bei der Propagation eines optischen Systems erfährt. Dementsprechend
wird der Puls verzerrt, in den meisten Fällen verbreitert und bei der üblichen Steigung (abnehmender Brechungsindex mit zunehmender Wellenlänge) laufen die roten Komponenten den
blauen voraus. Wir werden darauf später im Detail noch eingehen. Die Dispersion kann durch
verschiedene Größ
en charakterisiert werden, am wichtigsten sind die Ableitung dn=d 0 bei einer
Zentralwellenlänge 0 und die zweite Ableitung d2 n=d 20 . Wir sprechen von
3.4. ABSORPTION UND DISPERSION
43
Abb. 3.2: Ein‡uss der Dispersion in dielektrischen Medien bei optischen Komponenten (oben)
und beim Durchgang eines Pulses (unten) [Sal07].
normaler Dispersion, wenn
dn
d 0
< 0, bzw.
dn
d!
> 0 ist.
anomaler Dispersion, wenn
dn
d 0
> 0, bzw.
dn
d!
< 0 ist.
Dispersion und Absorption sind tief verknüpft. Jedes dispersive Material muss Absorption
besitzen und der Real- und der Imaginärteil von sind über die Kramers-Kronig Relationen
verknüpft, die hier ohne Beweis angegeben seien:
0
( ) =
2
Z1
s 00 (s)
ds
2
s2
0
00
( ) =
2
Z1
0 (s)
2
s2
ds:
0
Kennt man also entweder
3.4.3
0
oder
00 ,
so kann man die jeweils andere Größ
e berechnen.
Ein einfaches Modell der Atom-Licht Wechselwirkung: Das Lorentz
Oszillator Modell
Wir wollen hier das Lorentz-Oszillator Modell kurz zuammen fassen, welches in der Literatur
ausführlich behandelt wird und aus dem sich ein mikroskopisches Verständnis für den Zusammenhang zwischen Dispersion und Absorption ergibt. Dazu betrachten wir die DGL der Polarisation
P(t) in einem Medium, die von einem externen elektrischen Feld E(t) einer Lichtwelle gerieben
wird
d2 P
dP
+
+ ! 20 P =! 20 "0 0 E:
(3.55)
2
dt
dt
Die Größ
en , ! 0 und
ein, so erhalten wir
sind Konstanten. Setzen wir E(t) = Re Eei!t und P(t) = Re P ei!t
! 2 + i ! + ! 20 P = ! 20 "0
0 E:
(3.56)
44
KAPITEL 3. DIE ELEKTROMAGNETISCHE THEORIE DES LICHTES
Das Umformen dieser Beziehung in die Form P = "0 ( )E und der Vergleich der beiden Formen
ergibt
( )=
mit den De…nitionen
und Imaginärteil von
= =2 und
gewinnen
0
( ) =
00
( ) =
0
2
0
0 2
0
2
(3.57)
+i
= ! 0 =2 . Daraus lassen sich Ausdrücke für den Real
2
0
0
2
0
2 2
2
0
0
2
2
0
2 2
2
0
(3.58)
)2
+(
)2
+(
:
(3.59)
0( )
Diese Funktionen sind in Abb. 3.3 dargestellt. Bei kleinen Frequenzen
0 ist
0
00
und ( ) 0, für sehr hohe Frequenzen jenseits der Resonanz (
0 ), ist die Suszeptibilität
0( )
des Mediums praktisch gleich der des Vakuums 00 ( )
0. In der Nähe der Resonanz
Abb. 3.3: Real- und Imaginärteil der Suszeptibilität
[Sal07].
eines resonanten dielektrischen Mediums
verwenden wir die Näherung
2
0
2
= (
0
2
im Nenner von Gl. (3.57) und verwenden
(
0
(
)
0
0( 0
0
0)
+ )(
(3.60)
)
im Imaginärteil. Damit ergibt sich
0 =2
2
) +i
0
(3.61)
2
und somit
00
0
( )
1
0
( )
0
2
4
0
(
00
:
0
2
2
) +
(3.62a)
2
(3.62b)
3.4. ABSORPTION UND DISPERSION
45
Für den absorptiven Anteil 00 erhalten wir also eine Lorentzfunktion.
Weit weg von der Resonanz (j
) vereinfacht sich die Suszeptibilität zu
0j
( )
0 2
0
2
0
2
;
(3.63)
wird damit reell und das Medium weisst vernachlässigbare Absorption auf.
3.4.4
Die Sellmaier Gleichung
Die gewonnen Kenntnisse über das Wesen der Dispersion und Absorption und die Wellenlängenabhängigkeit des Brechungsindexes können wir nutzen, um eine Näherungsgleichung für den
Brechungsindex in Medien mit mehreren Resonanzübergängen zu erhalten. Wenn wir die Relation
n2 = 1 +
und Gl. (3.63) verwenden, so ergibt sich die Form
n2 = 1 +
X
2
j
0j
j
2
j
2
:
(3.64)
Empirisch wird die Sellmeier-Gleichung
n2
1+
X
j
2
Bj
2
2
j
(3.65)
mit den Wellenlängen statt der Frequenzen verwendet, die mit üblicherweise 3 Termen über
weite Bereiche den Verlauf des Brechungsindex gut wiedergibt. Einige Gleichungen für häu…g
verwendete transparente Materialien sind in Abb. 3.4 gezeigt.
Abb. 3.4: Sellmeiergleichungen für verschiedene optische Materialien [Sal07].
46
3.5
KAPITEL 3. DIE ELEKTROMAGNETISCHE THEORIE DES LICHTES
Materialien zur Herstellung optischer Komponenten
Für den Bau von Spiegeln benötigen wir Materialien, die eine hohe Re‡ektivität besitzen, für
Linsen benötigt man durchsichtige Materialien. Diese müssen für den jeweiligen Wellenlängenbereich angepasst sein. Selbst die Eigenschaften der Luft müssen in bestimmten Wellenlängenbereichen berücksichtigt werden.
Die Absorption dämpft einen Strahl beim Durchgang durch ein Medium gemäßdes LambertBeer’schen Gesetzes
P (d) = P0 e
kD
(3.66)
mit der Absorptions- oder Dämpfungskonstanten k. Diese wird meist in der Form des relativen
Verlustes pro festgelegter Wegstrecke angegeben: 0,01/cm bedeutet eine Dämpfung um 1% nach
einer Wegstrecke von 1 cm. Insbesondere bei Lichtleitfasern ist die Angabe in Dezibel pro km
üblich (dB/km).
3.5.1
Spiegel
Klassische Spiegel sind dünne Metallschichten die auf ein Substrat - z.B. Glas - aufgebracht
werden. Früher wurden Spiegel aus Silber gefertigt, wesentlich günstiger sind aluminiumbeschichtete Spiegel. Der Verlauf der Re‡exion für Au, Ag und Al ist in Abb. 3.5 dargestellt.
Unterhalb der sogenannten Plasmakante fällt die Re‡ektivität drastisch ab. Daher sind Gold und Silber
im UV Bereich nicht verwendbar. Goldspiegel werden insbesondere im IR-Bereich verwendet. Im UVBereich kommen Aluminiumspiegel und dielektrische
Spiegel zum Einsatz. Bei dielektrischen Spiegeln
werden sehr dünne transparente Schichten mit unterschiedlicher Brechzahl auf ein Substrat aufgebracht. Die Schichtdicken liegen im Bereich der
Wellenlänge des Lichtes. Durch Feinabstimmung
der Schichtdicken können sowohl hochre‡ektierende
(HR) Beschichtungen (HR) als auch antire‡ektierende
Abb. 3.5: Wellenlängenabhängigkeit
Beschichtungen für sehr enge Wellenlängenbereiche
der Re‡ektivität der Metalle Au, Ag
hergestellt werden (AR). Dies gelingt indem man
und Al.
dafür sorgt, dass sich die Re‡exionen von den unterschiedlichen Grenz‡ächen entweder konstruktiv (HRBeschichtung) oder destruktiv (AR-Beschichtung) überlagern (siehe Wellenoptik).
Das
Beschichten der Substrate wird als Coating bezeichnet.
3.5.2
Transmittierende Elemente
Abbildung 3.6 zeigt für eine Reihe von wichtigen Materialien die Wellenlängenbereiche in denen
das Medium hinreichend transparent ist. Im UV Bereich spielt Quarz eine wichtige Rolle, im
sichtbaren Bereich die gewöhnlichen Silikatgläser (z.B. BK-7) und im Infrarotbereich sind Materialien transparent, die bei sichtbaren Wellenlängen lichtundurchlässig sind. Hier seien Silizium,
Germanium, Galliumarsenid und Zinkselenid genannt, die allesamt in der Lasertechnologie eine
wichtige Rolle spielen.
3.6. POLARISATION
47
Abb. 3.6: Transmissionsbereich verschiedener optischer Materialien für Fenster und Linsen
[Sal07].
3.6
3.6.1
Polarisation
Polarisation des Lichtfeldes
Wir betrachten eine monochromatische ebene Welle, die sich entlang der z-Achse ausbreitet
n
o
~ t) = Re A
~ ei!(t zc )
E(z;
(3.67)
~ liegt in der xy-Ebene
Das komplexe elektrische Feld A
~ = Ax~ex + Ay ~ey :
A
(3.68)
Zur Beschreibung der Polarisation folgt man dem Verlauf des Endpunktes des Vektors E(z; t)
an jedem Punkt z.
Ausgehend von
E~ = Ex~ex + Ey ~ey
(3.69)
mit
h
Ex = ax cos ! t
h
Ey = ay cos ! t
i
z
+ 'x
c
i
z
+ 'y
c
lässt sich zeigen, dass die Endpunkte auf einer Ellipse der Gleichung
Ex2 Ey2
+ 2
a2x
ay
2 cos '
Ex Ey
= sin2 '
ax ay
(3.70a)
(3.70b)
(3.71)
mit der Phasendi¤erenz ' = 'y 'x liegen. Die Endpunkte des Veldfektors liegen also auf
der Ober‡äche eines elliptischen Zylinders um z. Man spricht daher allgemein von elliptisch
polarisiertem Licht.
Wichtige Spezialfälle sind
48
KAPITEL 3. DIE ELEKTROMAGNETISCHE THEORIE DES LICHTES
1. Linear polarisiertes Licht
Für ' = 0;
folgt
Ey =
ay
Ex :
ax
(3.72)
Die Ellipse in Abb. 3.7 (a) kollabiert zu einer Geraden (c), bzw. der Zylinder in (b) zu
a
einer Ebene in (d) die in einem Winkel
= arctan axy zur x-Achse steht.
2. Zirkular polarisiertes Licht
Für ' =
2;
ax = ay = a0 folgt
h
Ex = a0 cos ! t
h
Ey = a0 sin ! t
i
z
+ 'x
c
i
z
+ 'x
c
(3.73a)
(3.73b)
woraus sich
Ex2 + Ey2 = a20
(3.74)
ergibt. Aus dem elliptischen Zylinder ist ein kreisförmiger Zylinder geworden und das
Licht wird als zirkular polarisiert bezeichnet. Man unterscheidet zwischen recht-zirkular
polarisiertem Licht und links-zirkular polarisiertem Licht, je nachdem ob sich der Feldvektor im (' = =2) oder entgegen (' =
=2) dem Uhrzeigersinn rotiert, wenn man dem
Lichtstrahl entgegenblickt1 .
(a)
(c)
(b)
(d)
(e)
(f)
Abb. 3.7: Rotation des Endpunktes des Feldvektors an einer festen Position z bzw. als Funktion von z zu fest vorgegebener Zeit t für den Fall elliptisch polarisiertenLIchts (a,b), linear
polarisierten Lichts (c,d) und zirkular polarisierten Lichts (e,f) [Sal07].
1
Diese De…nition wird in den meisten Optikbüchern verwendet. In den Ingenieurswissenschaften wird sie aber
oftmals entgegengesetzt verwendet.
3.6. POLARISATION
3.6.2
49
Re‡exion und Brechung an Ober‡ächen
Die Polarisation des Lichtes spielt in der Laserphysik ebenfalls eine groß
e Rolle. Ohne auf die
formale Beschreibung der Polarisation, z.B. in der Jones Repräsentation einzugehen (Übungen!),
wollen wir hier einige Punkte nennen, die in den nachfolgenden Kapiteln von Bedeutung sein
werden:
Die Re‡exion an der Grenz‡äche zwischen zwei Medien hängt von der Polarisation ab
In manchen Materialien hängt die Absorption von der Polarisation ab.
Der Brechungsindex anisotroper Materialien hängt von der Polarisation ab. Wellen unterschiedlicher Polarisation besitzen unterschiedliche Geschwindigkeiten und dadurch kommt
es zu unterschiedlichen Phasenverschiebungen für die beiden Polarisationsrichtungen. Bei
schrägem Eintritt kann es auch zum Auseinanderlaufen der beiden Polarisationsanteile
kommen.
In optisch aktiven Materialien kann die Polarisationsebene des Lichtes beim Durchgang
gedreht werden.
Von besonderer Wichtigkeit ist das Re‡exions- und Brechungsverhalten an Ober‡ächen.
Zunächst müssen wir die beiden Fälle unterscheiden, ob der elektrische Feldvektor senkrecht
zur Einfallsebene (gebildet aus einfallendem Strahl
und Normale auf der Grenz‡äche) liegt (TEPolarisation, transversal-elektrisch) oder ob dies
für den magnetischen Feldvektor zutri¤t (TMPolarisation, transversal-magnetisch). Diese Verhältnisse sind in Abb. 3.8 dargestellt.
Die Beträge der komplexen Re‡exionskoe¢ zienten
Abb. 3.8: Re‡exion und Brechung
rx für TE-Polarisation und ry für TM-Polarisation und
an der Grenz‡äche zweier Medien
die zugehörigen Phasen sind in Abb. 3.9 gezeigt. Wir
[Sal07].
wollen di wichtigsten Punkte zusammenfassen und ansonsten auf die Literatur verweisen.
3.6.2.1
TE-Polarisation
Bei externer Re‡exion (n1 < n2 ) ist rx immer reell und negative. Dementsprechend tritt immer
ein Phasensprung 'x = bei der Re‡exion am optisch dichteren Medium auf. Die Magnitude
ist jrx j = (n2 n1 )=(n1 + n2 ) bei Re‡exion unter 1 = 0 und steigt auf 1 bei streifendem Einfall
( 1 = 90 ). Letzteres macht man sich auch für die Re‡exion von Röntgenstrahlung zunutze, für
die es keine gewöhnlichen Optiken und Spiegel mehr gibt.
Bei innerer Re‡exion (n1 > n2 ) ist rx für kleine Winkel 1 reell und positive. Die Magnitude
steigt von (n1 n2 )=(n1 +n2 ) für 1 = 0 an und erreicht beim kritischen Winkel der Totalre‡exion
ere Winkel konstant bleibt. Die Phase bleibt
c = arcsin(n2 =n1 ) den Betrag 1, der für noch größ
zunächst 'x = 0 im Bereich 1 = [0; c ] und wächst oberhalb von c graduell von 0 bis .
3.6.2.2
TM-Polarisation
Der Re‡exionskoe¢ zient ry ist bei externer Re‡exion (n1 < n2 ) immer reell und steigt zunächst
von einem negativen Wert ry = (n1 n2 )=(n1 + n2 ) bei 1 = 0 auf 0. Letzteres wird beim
50
KAPITEL 3. DIE ELEKTROMAGNETISCHE THEORIE DES LICHTES
sogenannten Brewsterwinkel
n2
(3.75)
n1
erreicht und hier verschwindet die Re‡exion. Die Phasenverschiebung 'y springt hier von auf
0 (Vorzeichenwechsel) und damit wird ry positiv und steigt langsam auf den Wert 1 an. Die
Unterdrückung der Re‡exion der TM Komponente beim Brewsterwinkel macht man sich beim
Laserbau häu…g zunutze.
B
= arctan
TE-extern
TM-extern
TE-intern
TM-intern
Abb. 3.9: Betrag des komplexen Amplitudenre‡exionskoe¢ zienten und Phasenverschiebung
fü verschiedene Re‡exionstypen: TE-Polarisation (links), TM-Polarisation (rechts) externe
Re‡exion (oben) und interne Re‡exion (unten) [Sal07].
Bei innerer Re‡exion (n1 > n2 ) ist ry für normalen Einfall ( 1 = 0) positiv und besitzt die
Magnitude ry = (n1 n2 )=(n1 + n2 ). Auch hier verschwindet die Re‡exion am Brewsterwinkel.
Jenseits von c springt die Phase von 'y = 0 auf um dann oberhalb des kritischen Winkels
der Totalre‡exion graduell wieder auf 0 abzufallen.
Man beachte, dass bei senkrechtem Einfall in allen Fällen der Re‡exionskoe¢ zient durch
n1 n 2
jrj =
(3.76)
n1 + n2
gegeben ist.
3.6.2.3
Leistungsre‡exion und -transmission
Die Re‡exions- und Transmissionskoe¢ zienten für die Lichtleistung R bzw. T , sind durch die
Betragsquadrate der Amplitudenre‡exionskoe¢ zienten gegeben. Da re‡ektierte und einfallende
3.6. POLARISATION
51
Welle im gleichen Medium und unter gleichem Winkel zur Normalen propagieren, gilt
R = jrj2
(3.77)
und für den senkrechten Einfall gilt
R=
n1 n2
n1 + n2
2
:
(3.78)
Wichtig Beispiele sind die Trenn‡ächen Glas/Luft (n =1,5/1) mit R 0:04, d.h. 4% des Lichtes
werden re‡ektiert, und GaAs/Luft (n =3,6/1) mit R 0:32. Die transmittierte Leistung ist
T =1
R:
(3.79)
Im Allgemeinen gilt aber aufgrund der Winkeländerung beim Übertritt T =
6 jtj2 , vielmehr lautet
der Zusammenhang
n2 cos 2 2
jtj ;
(3.80)
T =
n1 cos 1
weil der Leistungs‡uss senkrecht zur Grenz‡äche jeweils durch
jEj2
jEj2
cos =
n cos
2
2 0
gegeben ist. Die re‡ektierte Leistung von einer Glasplatte mit 2 parallelen Ober‡ächen ist
annährend durch
R 1+T2
0; 04 (1 + 0; 962 ) 0; 077
(3.81)
gegeben.
Abb. 3.10: Leistungsre‡exion für TE und TM Polarisation [Sal07].
3.6.3
Optische Elemente zur Erzeugung und Manipulation der Polarisation
Die wichtigsten Elemente zur Erzeugung und Manipulation seien hier nur kurz genannt.
3.6.3.1
Polarisatoren
Linear Polarisiertes Licht kann durch verschiedene Methoden erzeugt werden:
Polarisation durch selektive Absorption (Dichroismus)
52
KAPITEL 3. DIE ELEKTROMAGNETISCHE THEORIE DES LICHTES
Polarisation durch selektive Re‡exion im Brewsterwinkel
Polarisation durch selektive Brechung in anisotropen Kristallen (Polarisationsstrahlteiler)
Es sei noch angemerkt, dass Laser in den meisten Fällen ohnehin linear polarisiertes Licht
produzieren.
3.6.3.2
Wellenplatten
Mit =4 Platten kann linear (zirkular) polarisiertes Licht in zirkular (linear) polarisiertes Licht
umgewandelt werden, mit =2 Platten lässt sich die Polarisationsrichtung linear polarisierten
Lichtes drehen.
3.6.3.3
Optische Isolatoren
Unter Ausnutzung des Faraday E¤ektes - also der Drehung der Polarisationsebene linear polarisierten Lichtes in einigen Medien bei Vorhandensein eines Magnetfeldes - lässt sich ein optischer
Isolator aufbauen, der Licht in nur einer Richtung passieren lässt. Dazu plaziert man einen
solchen Rotator zwischen zwei Polarisatoren, die um 45 gegeneinander gedreht sind. Wird
die Magnetfeldstärke so eingestellt, dass die Polarisationsebene beim Durchgang gerade um 45
gedreht wird, kann das Licht den zweiten Polarisator passieren. In der Gegenrichtung müsste
das Licht um 45 in der entgegengesetzten Richtung gedreht werden, damit es passieren kann.
Die Besonderheit des Faraday-E¤ektes liegt aber darin, dass die Drehrichtung unabhängig ist
von der Ausbreitungsrichtung des Lichts, d.h. Licht in der Gegenrichtung wird ebenfalls um 45
in die gleiche Richtung gedreht und dadurch am zweiten Polarisator völlig ausgelöscht (siehe
Abb. 3.11).
Optische Isolatoren werden häu…g verwendet, um die Rückre‡exion des Laserlichtes in den
Laser zu vermeiden, weil eine solche Rückkopplung zu Instabilitäten im Laserbetrieb führt.
Abb. 3.11: Prinzip des optischen Isolators: (a) in Durchlassrichtung und (b) entgegen der
Durchlassrichtung [Sal07].