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Märkte und Preise
Mengenwettbewerb und Kostenwettbewerb
Harald Wiese
UL/DIU
Universität Leipzig/Dresden International University
WS 2013
Harald Wiese (UL/DIU
Universität
Mengenwettbewerb
Leipzig/Dresden
und Kostenwettbewerb
International University)
WS 2013
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Gliederung der Vorlesung
Einführung
Spieltheorie
Ein wenig Mathematik
Preispolitik im Monopol
Preiswettbewerb und Kostenwettbewerb
Mengenpolitik im Monopol
Mengenwettbewerb und Kostenwettbewerb
Grundzüge des Innovationswettbewerbs
Varianten-, Standort- und Qualitätswettbewerb
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Universität
Mengenwettbewerb
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und Kostenwettbewerb
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WS 2013
2 / 47
Überblick „Mengenwettbewerb und
Kostenwettbewerb“ I
Einführung
Preis- versus Mengenwettbewerb
Simultaner versus sequentieller Wettbewerb
Das Cournot-Modell
Das Cournot-Modell mit zwei Unternehmen
Reaktionsfunktionen
Gleichgewicht bei Eintrittszulassung
Das Cournot-Modell mit n Unternehmen
Komparative Statik
Marketing-Aktivitäten
Stücksteuer
Kostenführerschaft
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Mengenwettbewerb
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Überblick „Mengenwettbewerb und
Kostenwettbewerb“ II
Blockierter Eintritt
Simultaner Mengenwettbewerb: Unternehmenspolitische
Schlussfolgerungen
Das Stackelberg-Spiel (sequentieller Mengenwettbewerb)
Das Kartell
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Preis- versus Mengenwettbewerb
Cournot 1838 :
Bertrand 1883 :
x1
Π1
x2
Π2
p1
Π1
p2
Π2
Bertrand kritisiert Cournot, aber Kreps/Scheinkman 1983:
simultaner Kapazitätswettbewerb
+ simultaner Preiswettbewerb (Bertrand-Wettbewerb)
= Cournot-Ergebnisse
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Simultaner versus sequentieller Wettbewerb
Cournot 1838 :
Stackelberg 1934:
x1
Π1
x2
Π2
x1
x2
Π1
Π2
Gewinnfunktion Unternehmen 1 (analog für Unternehmen 2):
Harald Wiese (UL/DIU
Π1 (x1 , x2 ) = p (x1 + x2 ) x1 C1 (x1 )
= (a b (x1 + x2 )) x1 c1 x1
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Das Cournot-Modell mit zwei Unternehmen
Unternehmen legen ihre Angebotsmengen simultan fest
Outputmengen: x1 0 und x2 0
Lösungsskizze:
Bestimmung der Reaktionsfunktionen
Schnittpunkt der Reaktionsfunktionen
Cournot-Nash-Gleichgewicht x1C , x2C :
!
x1C = x1R x2C
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!
und x2C = x2R x1C
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Erinnerung: Reaktionsfunktion und
Nash-Gleichgewicht
Jäger 2
Hirsch Hase
Hirsch
5, 5
0, 4
Hase
4, 0
4, 4
Jäger 1
Hirsch
Hase
Hirsch 5, 5 1
0, 4
Hase
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4, 0
4, 4 1
Hirsch
Hirsch 5, 5 1 2
Hase
4, 0
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Hase
0, 4
4, 4 1 2
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Reaktionsfunktion beim Mengenwettbewerb I
∂Π2 (x1, x2 )
= MR2 (x2 )
∂x2
MC2 (x2 ) = a
bzw.
MR2 (x2 ) = a
2bx2
bx1
!
c2 = 0
!
bx1 = c2 = MC2 (x2 )
2bx2
Au‡ösen nach x2 ergibt die Reaktionsfunktion von Unternehmen 2:
x2R (x1 ) =
Aber für x1 >
a c2
b
a
1
x1
2
= x1L möchte 2 die Menge null anbieten. Denn
p x1L = a
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c2
2b
bx1L = c2
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Reaktionsfunktion beim Mengenwettbewerb II
Also
x2R (x1 ) =
a c2
2b
0,
x1
2,
x1 < a bc2 = x1L
sonst
x2
x 2M
x 2R (x1 )
x1L
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x1
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Eintrittszulassung: Cournot-Gleichgewicht I
Reaktionsfunktion von Unternehmen 1
!
x1 = x1R (x2 ) =
a
c1
2b
x2
2
Reaktionsfunktion von Unternehmen 2
!
x2 = x2R (x1 ) =
a
c2
2b
x1
2
Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen:
Cournot-Nash-Gleichgewicht
x1C , x2C
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=
1a
3
2c1 + c2 1 a
,
b
3
2c2 + c1
b
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Eintrittszulassung: Cournot-Gleichgewicht II
x2
x1R (x 2 )
Cournot-NashGleichgewicht
x2M
C
x2C
x 2R (x1 )
x1C
x1M
x1
Problem
Die inverse Nachfragefunktion beträgt p = 20 x. Die konstanten
Stückkosten sind C
= 8. Wie hoch ist der Output von den
Cournot-Dyopolisten? Wie hoch ist der Output im Monopol?
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Erinnerung: Her…ndahl-Index
n
H =
xi
X
∑
i =1
=
2
n
=
∑ si2
i =1
1 + V2
n
mit der Varianz
Standardabweichung
V =
=
Mittelwert
q
1
n
∑ni=1 xi
X 2
n
X
n
Her…ndahl-Index für
Monopol: 1
n gleich groß
en Unternehmen:
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1
n
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Der Lerner’sche Machtindex im Oligopol
Bei n Unternehmen ergibt sich die insgesamt produzierte Menge
X als Summe
X = x1 + x2 + ... + xn .
Bedingung für das Gewinnmaximum für Unternehmen i:
MR (xi ) = p (X ) + xi
Aufgrund von
herleiten:
∂X
∂x1
= 1 kann man die Amoroso-Robinson-Relation
MR (xi ) = p + xi
εX ,p
si
dp ∂X !
= MC (xi )
dX ∂xi
dp
x X dp
= p 1+ i
dX
X p dX
= p 1+
si
εX ,p
.
: unternehmensspezi…sche Nachfrageelastizität
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Der Lerner’sche Machtindex im Oligopol
Der Lerner’sche Monopolgrad für ein einzelnes Unternehmen i im
Oligopol beträgt unter Verwendung der Amoroso-Robinson-Relation
p
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MCi
=
p
p
p 1
p
si
jεX ,p j
=
si
jεX ,p j
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.
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Simultaner Mengenwettbewerb mit n Unternehmen
Der Lerner’sche Monopolgrad im Oligopol
Der Lerner’sche Monopolgrad für die gesamte Branche beträgt
n
∑ si
i =1
p
n
n
MCi
si
1
H
=
si2 =
.
= ∑ si
∑
p
ε
jεX ,p j i =1
jεX ,p j
i =1 j X ,p j
Der Monopolgrad der gesamten Branche ist damit umso höher,
je unelastischer die Marktnachfrage, d. h. je niedriger jεX ,p j,
je höher die Konzentration der Marktanteile, d. h. je höher H.
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Komparative Statik: Marketing-Aktivitäten
X C = x1C + x2C =
c1
c2 ) , pC =
1
1
(a 2c1 + c2 )2 , ΠC2 =
(a
9b
9b
= ΠC1 + ΠC2 < ΠM .
ΠC1 =
ΠC
1
(2a
3b
1
(a + c1 + c2 ) ,
3
2c2 + c1 )2 ,
Die Gewinne beider Unternehmen hängen positiv von a und negativ
von b ab.
Gemeinsame Werbeaktivitäten einer gesamten Branche:
Blumen als „schönste Sprache der Welt“
CMA: „Die Milch macht’s“
(Die CMA Centrale Marketing-Gesellschaft wird infolge eines
Urteils des Bundesverfassungsgerichts vom 3. Februar 2009
liquidiert.)
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Komparative Statik: Stücksteuer I
Problem
Zwei Unternehmen verkaufen Benzin mit Stückkosten von c1 = 0.2
bzw. c2 = 0.5. Die inverse Nachfragefunktion lautet
p (X ) = 5 0, 5X .
1
2
Bestimmen Sie das Cournot-Gleichgewicht und den
resultierenden Marktpreis.
Die Regierung erhebt nun eine Stücksteuer t auf Benzin. Wie
beein‡usst diese den Preis, den die Konsumenten zu zahlen
haben?
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Komparative Statik: Stücksteuer II
Problem
Zwei Unternehmen verkaufen Benzin mit Stückkosten von c1 = 0.2
bzw. c2 = 0.5. Die inverse Nachfragefunktion lautet
p (X ) = 5 0, 5X .
2
Bestimmen Sie das Cournot-Gleichgewicht und den
resultierenden Marktpreis.
Die Regierung erhebt nun eine Stücksteuer t auf Benzin. Wie
beein‡usst diese den Preis, den die Konsumenten zu zahlen
haben?
1
x1C = 3.4, x2C = 2.8 und pC = 1.9
1
2
C
pC = 1.9 + 23 t. Di¤erenzierung nach t : dpdt = 23 , d.h. eine
Steuererhöhung um einen Euro führt zu einer Preiserhöhung von
66 Cents.
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Komparative Statik: Reduzierung der eigenen
Kosten I
Kostenersparnis
FuE
ΠC1 (c1 , c2 ) = Π1 c1 , c2 , x1C (c1 , c2 ) , x2C (c1 , c2 ) .
∂ΠC1
=
∂c1
∂Π1
∂c1
|{z}
<0
+
direkter E¤ekt
∂Π1 ∂x1C
+
∂x1 ∂c1
|{z}
=0
∂Π1 ∂x2C
∂x2 ∂c1
|{z}
|{z}
<0 >0
| {z }
<0
< 0.
strategischer E¤ekt
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Komparative Statik: Reduzierung der eigenen
Kosten II
x2
x1R (x2 )
c1 sinkt
Cournot-NashGleichgewichte
x 2R (x1 )
x1
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Komparative Statik: Erhöhung der Kosten des
Rivalen I
Sabotage
Umweltanforderungen auch beim Konkurrenten
ΠC1 (c1 , c2 ) = Π1 c1 , c2 , x1C (c1 , c2 ) , x2C (c1 , c2 ) .
∂ΠC1
=
∂c2
∂Π1
∂c2
|{z}
=0
direkter E¤ekt
∂Π1 ∂x1C
+
+
∂x1 ∂c2
|{z}
=0
∂Π1 ∂x2C
∂x2 ∂c2
|{z}
|{z}
<0 <0
| {z }
>0
> 0.
strategischer E¤ekt
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Komparative Statik: Erhöhung der Kosten des
Rivalen II
x2
x1R (x 2 )
Cournot-NashGleichgewichte
c2 wächst
x 2R (x1 )
x1
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Komparative Statik: Erhöhung der Kosten des
Rivalen III
Der Bus-Fernlinienverkehr ist in Deutschland seit den dreiß
iger
Jahren des vorigen Jahrhunderts zum Schutz der Bahn untersagt.
Künftig sollen Fernbus-Linien fast ohne Einschränkungen
zugelassen sein (Vorhaben des Koalitionsvertrages
CDU/CSU/FDP).
Deutsche Bahn fordert eine Mautp‡icht für Busse auf
Autobahnen. Die Bahn sieht in der Maut ein Instrument zur
Wettbewerbsgleichheit mit der Schiene, auf der Trassenpreise
entrichtet werden müssen.
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Blockierter Eintritt für beide
Markteintritt ist blockiert für beide Unternehmen, falls
c1
a
c2
a
und
gelten.
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Blockierter Eintritt für Unternehmen 2
Nehmen Sie
c1 < c2 an.
Markteintritt ist
für Unternehmen
2 blockiert, falls
c2
pM (c1 ) =
x2
x1R (x2 )
a + c1
.
2
x2M
oder
x 2R (x1 )
C
Monopol
Unternehmen 1
M
x1L
x1M
x1L x1M
x1
gilt.
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Zusammenfassung
c2
kein
Angebot
a
Monopol 1
a
2
Dyopol
Monopol 2
a
2
a
c1
Markteintritt ist blockiert für Unternehmen 2, falls
c2 pM (c1 ) = 21 a + 21 c1 erfüllt ist.
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Simultaner Mengenwettbewerb:
Unternehmenspolitische Schlussfolgerungen
1
2
Die Marktstruktur eines Dyopols ist nur zu erwarten, falls der
Marktzutritt für weitere Unternehmen blockiert ist. Andernfalls
würde der Branchengewinn potentielle Konkurrenten anlocken.
Blockiert sein kann der Markteintritt aufgrund nicht
wettbewerbsfähiger Kostenstrukturen oder aufgrund gesetzlicher
Bestimmungen.
Gleichmäß
ige Kostenreduktion für alle, z.B. bei
branchenbezogenen
Tarifverhandlungen
Deregulierungsforderungen
Forderungen nach staatlicher Technologieförderung
3
4
Branchenbezogene Marketingmaß
nahmen (siehe oben)
Widerstreitende Interessen in Bezug auf individuelle Kosten
(siehe oben)
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Kartellvertrag zwischen Dyopolisten I
Kartellabsprache
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x1
Π1
x2
Π2
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Kartellvertrag zwischen Dyopolisten II
Eine Kartellabsprache muss Festlegungen zu wenigstens drei Punkten
tre¤en:
1
2
3
Verteilung des Kartellgewinns: Jedem Kartellmitglied muss
wenigstens ein Gewinn in Höhe des Cournot-Dyopolgewinns
zugesichert werden (Πi
ΠCi ; i = 1, 2). Die Verteilung des
darüber hinaus aus dem Kartellgewinn verbleibenden Betrages
ergibt sich aus dem Verhandlungsgeschick der Unternehmen.
Produktion der Kartellmenge: Es muss geregelt werden, wer
welchen Anteil der Kartellmenge produziert.
Kontroll- und Sanktionsmechanismen: Es sind die Kontroll- und
Sanktionsmechanismen festzulegen, die im Falle eines Bruchs der
Kartellvereinbarung greifen sollen.
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Kartellvertrag zwischen Dyopolisten III
Kartellgewinn
Π1,2 (x1 , x2 )
: = Π1 (x1 , x2 ) + Π2 (x1 , x2 )
= p (x1 + x2 ) (x1 + x2 ) C1 (x1 )
C2 (x2 ) .
mit den Maximierungsbedingungen
∂Π1,2
= p+
∂x1
∂Π1,2
= p+
∂x2
dp
(x1 + x2 )
dX
dp
(x1 + x2 )
dX
dC1 !
= 0 und
dx1
dC2 !
=0
dx2
Gleiche Grenzkosten (wie in “ein Markt, zwei Betriebsstätten”)
2
Negative Externalität ∂Π
∂x1 < 0 im Cournot-Modell wird im
Kartellvertrag berücksichtigt — >
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dp
dX x2
<0
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Kartell
Die Kartelllösung
Linie aller möglichen
Kombinationen von
Ausbringungsmengen
im Kartell
x2
x1R (x2 )
Kartell mit gleichen
Ausbringungsmengen
x2M
C
x2C
S
1 M
x2 = 2 x2
S
x2R (x1 )
K
1
2
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x1M x1C
x1S = x1M
x1
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Kartell
Der Bruch der Kartellabsprache
Die Optimalbedingung für Unternehmen 1 lautet:
dp
dC1 !
= 0 bzw.
(x1 + x2 )
dX
dx1
dp
dp
p + x1
MC1 (x1 ) = x2
> 0.
dX {z
dX
|
}
p+
Grenzgewinn bei
einseitiger Mengenerhöhung
Ein Verhalten gemäßder Kartellvereinbarung ist kein
Gleichgewicht des betrachteten Spiels!
Instabilität des Kartells (bzw. der Anreiz zum Kartellbetrug)
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Kartell
Der Bruch der Kartellabsprache
Im einfachen Fall von nur zwei Strategien lässt sich der Anreiz zum
Kartellbetrug als Gefangenen-Dilemma darstellen:
Unternehmen 2
kooperiert
x2 = 2
Unternehmen 1
Harald Wiese (UL/DIU
kooperiert
x1 = 2
betrügt
x1 = 3
betrügt
x2 = 3
(8, 8)
(6, 9)
(9, 6)
(7, 7)
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34 / 47
Das Stackelberg-Modell
x1
x2
Π1
Π2
Rückwärtsinduktion:
Reaktionsfunktion von Unternehmen 2
Einsetzen der Reaktionsfunktion in die Gewinnfunktion von
Unternehmen 1
Maximieren für Unternehmen 1
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Das Stackelberg-Modell
Reaktionskurve von Unternehmen 2
x2
Eintrittszulassung
(dieser Abschnitt)
x
Blockade oder
Abschreckung
M
2
(nächster Abschnitt)
x 2R (x1 )
x1L
x1
Hier erst macht das Wort „Reaktionsfunktion“ Sinn.
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36 / 47
Das Stackelberg-Modell
Probleme
Problem
d (x1 +x2R (x1 ))
Wie hoch ist
im Cournot-Modell und wie hoch ist es im
dx1
Stackelberg-Modell?
Problem
dx R (x )
Welche Interpretation hat 2dx1 1 im Stackelberg-Modell? Welchen
Wert hat dieser Ausdruck bei der inversen linearen Nachfragefunktion
p (X ) = a bX ?
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Rezept: Wie man das Stackelberg-Modell löst I
Π1 (x1 , x2 ) = (a
Π2 (x1 , x2 ) = (a
b (x1 + x2 )) x1
b (x1 + x2 )) x2
c1 x1
c2 x2
Der Führer zieht zuerst, x1 .
Der Folger beobachtet x1 und wählt dann
x2R (x1 ) = argmax Π2 (x1 , x2 ) =
x2
a
c2
2b
1
x1 .
2
Das Führerunternehmen 1 sieht die Reaktion voraus und arbeitet
daher mit dieser reduzierten Gewinnfunktion:
Π1 (x1 ) := Π1 x1 , x2R (x1 ) = p x1 + x2R (x1 ) x1
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c1 x1 .
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Rezept: Wie man das Stackelberg-Modell löst II
Mengen, die sich bei Rückwärtsinduktion ergeben:
x1S : = arg max Π1 (x1 ) ,
x1
x2S : = x2R x1S
Unternehmen 1 wählt den gewinnmaximalen Punkt auf der
Reaktionskurve des Folgers.
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Rezept: Wie man das Stackelberg-Modell löst III
x2
x1R (x2 )
StackelbergAusbringungsmengen
x2M
C
x2C
S
x2S
x 2R (x1 )
x1C
Harald Wiese (UL/DIU
x1S = x1M
x1
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Rezept: Wie man das Stackelberg-Modell löst IV
Π1 (x1 ) := Π1 x1 , x2R (x1 ) = p x1 + x2R (x1 ) x1
c1 x1
MR1 (x1 )
= a
b x1 + x2R (x1 ) + x1 ( b) + x1 ( b)
= a
b x1 +
= a
bx1
x1S =
Harald Wiese (UL/DIU
a
1
2
a
c2 1
x1 + x1 ( b) + x1 ( b)
2b
2
b(a c2 ) !
= c1 = MC1 (x1 )
2b
2c1 + c2 S
, x2 := x2R x1S
2b
=
1
2
a + 2c1 3c2
4b
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41 / 47
Rezept: Wie man das Stackelberg-Modell löst V
X S := x1S + x2S =
p XS
ΠS1 =
Harald Wiese (UL/DIU
= aX S
1 3a
4
b=
2c1
b
c2
1
(a + 2c1 + c2 )
4
1 (a + c2 2c1 )2 S
1 (a
, Π2 =
8
b
16
3c2 + 2c1 )2
b
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42 / 47
Das Stackelberg-Modell
Problem
Richtig oder falsch? Der Gewinn des Stackelberg-Führers kann nicht
niedriger sein, als sein Gewinn im Cournot-Dyopol wäre.
Problem
Die inverse Nachfragefunktion für ein homogenes Gut beträgt
p = 20 q. Die konstanten Stückkosten sind C
= 8. Wie hoch ist der
Output vom Stackelberg-Führer und Stackelberg-Folger?
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43 / 47
Das Stackelberg-Modell
Blockade I
p
a
c2 = p (x L1 )
p1M
c1
x L1
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x1M
a
b
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x1
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44 / 47
Das Stackelberg-Modell
Blockade II
x2
x1R (x 2 )
x2M
x 2R (x1 )
x1L x1M
Harald Wiese (UL/DIU
x1
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Leipzig/Dresden
und Kostenwettbewerb
International University)
WS 2013
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Das Stackelberg-Modell
Eintrittsabschreckung
p
a
p (x1 )
p1M
c2
c1
Π 1L
x1M
Harald Wiese (UL/DIU
x1L
x1
Universität
Mengenwettbewerb
Leipzig/Dresden
und Kostenwettbewerb
International University)
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Weitere Übungen
An einem Markt mit der inversen Gesamtnachfrage p (Q ) = 48 Q
agieren nur zwei Unternehmen – A und B. Dabei sei p der Preis und
Q = qA + qB die gesamte am Markt angebotene Menge des
homogenen Gutes. Die für beide Unternehmen identischen Grenzund Durchschnittskosten seien 12.
1
2
3
4
5
6
Reaktionsfunktionen beider Oligopolisten
Cournot-Lösung
Stackelberg-Lösung mit A als Stackelberg-Führer
Kartell-Lösung
Welche Menge würde sich bei vollkommener Konkurrenz
(p = MC ) ergeben?
Warum nennt man die Cournot- auch Zwei-Drittel- und die
Stackelberg- auch Drei-Viertel-Lösung?
Harald Wiese (UL/DIU
Universität
Mengenwettbewerb
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International University)
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