Mrrkte und Preise

Märkte und Preise
Mengenpolitik im Monopol
Harald Wiese
UL/DIU
Universität Leipzig/Dresden International University
WS 2013
Harald Wiese (UL/DIU
Universität
Mengenpolitik
Leipzig/Dresden
im Monopol
International University)
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Gliederung der Vorlesung
Einführung
Spieltheorie
Ein wenig Mathematik
Preispolitik im Monopol
Preiswettbewerb und Kostenwettbewerb
Mengenpolitik im Monopol
Mengenwettbewerb und Kostenwettbewerb
Innovationswettbewerb
Varianten-, Standort- und Qualitätswettbewerb
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Überblick „Mengenpolitik im Monopol“
Die inverse Nachfragefunktion
Das lineare Modell
Nochmals: Preiselastizität der Nachfrage
Der Grenzerlös
Der Gewinn
Mengenpolitik bei einheitlichem Preis
Monopolmacht und Monopolgewinn
Preisdiskriminierung ersten Grades
Preisdiskriminierung dritten Grades
Wohlfahrt
Mengen- und Gewinnsteuern
Unternehmenspolitische Schlussfolgerungen
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Die inverse Nachfragefunktion
Herleitung I
p
Nachfragefunktion
p
Inverse Nachfragefunktion
p (X )
X (p )
X
X
Nachfragefunktion X (p )
Die abgesetzte Menge hängt vom Preis ab.
Inverse Nachfragefunktion p (X )
p (X ) ist Preis, bei dem die Menge X abgesetzt werden kann
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Die inverse Nachfragefunktion
Herleitung II
Problem
Bestimmen Sie die inverse Nachfragefunktion für X (p ) = 100
2p.
Problem
Bestätigen Sie, dass der Durchschnittserlös gleich dem Preis ist (der
Erlös ist R (X ) = p (X ) X ).
Problem
Wie nennt man p (0) , wie X (0)?
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Das lineare Modell
eine Aufgabe
Problem
Nehmen Sie die lineare inverse Nachfragefunktion p (X ) = a
a, b > 0, an und bestimmen Sie
1
2
3
4
bX ,
die Steigung der inversen Nachfragekurve
die Steigung des Grenzerlöses dR (X ) /dX
die Sättigungsmenge und
den Prohibitivpreis
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Das lineare Modell
die Lösung
1
2
3
4
dp/dX = b
Erlös: R (X )
= p (X ) X = aX bX 2
Grenzerlös: dR (X ) /dX
= a 2bX .
Steigung: 2b
Sättigungsmenge: a/b
a ist der Prohibitivpreis
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p
a
1
b
p (X )
2b
1
MR
a
2b
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a
b
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X
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Nochmals: Preiselastizität der Nachfrage
p
∆p
Nachfrage reagiert überhaupt nicht
∆p
Nachfrage reagiert bedingt
∆p
Nachfrage wird beliebig hoch
X
εX ,p =
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dX
X
dp
p
=
dX p
dp X
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Nochmals: Preiselastizität der Nachfrage
Problem
Berechnen Sie die Preiselastizität der Nachfrage für die lineare
Nachfragefunktion p (X ) = a bX ! Bei welchem Preis und bei
welcher Menge ist die Elastizität gleich 1? Bei welchem Preis
beträgt sie null?
Unelastische Nachfrage
jεX ,p j < 1
Elastische Nachfrage
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jεX ,p j > 1
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Nochmals: Preiselastizität der Nachfrage
p
a
ε X, p = ∞
elastischer
Bereich
ε X, p = 1
a
2
unelastischer
Bereich
ε X ,p = 0
a
2b
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a
b
X
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Nachfragefunktion und Erlös
Die Amoroso-Robinson-Relation
lautet bei inverser Nachfragefunktion
MR = p 1 +
1
εX ,p
=p 1
1
jεX ,p j
.
Problem
Leiten Sie die obige Amoroso-Robinson-Relation, dieses Mal durch
Ausklammern von p, her!
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Nachfragefunktion und Erlös
p
a
R
a
2
ε X, p = 1
p(X )
MR
a
2b
a
b
X
Wenn die Elastizität betragsmäß
ig 1 ist, folgt auf eine einprozentige
Erhöhung der Ausbringungsmenge eine einprozentige Reduzierung des
erzielbaren Preises. Der Erlös ändert sich dann nicht.
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Der Grenzerlös I
MR :=
dR
dX
ist aus zwei Teilen zusammengesetzt:
Zum einen erfährt der Monopolist eine Erlössteigerung aus dem
Angebot einer zusätzlichen Einheit um den Preis dieser Einheit
(p > 0).
Zum anderen muss er eine Erlöseinbuß
e in Kauf nehmen, weil die
Abnehmer – bei negativ geneigter Marktnachfrage – nicht bereit
sind, das erhöhte Angebot zum alten Preis abzunehmen.
Erlöseinbuß
e = Produkt von
dp
und
Preisabschlag für die Absatzerhöhung dX
Zahl der bisher verkauften Einheiten X
Also: Grenzerlös ist
MR = p + X
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dp
.
dX
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Der Grenzerlös II
Grenzerlös und Elastizität (Amoroso-Robinson-Relation)
dR
dp
= p+X
(Produktregel)
dX
dX
1
1
=p 1
> 0 für
= p 1+
εX ,p
jεX ,p j
MR =
Grenzerlös gleich Preis MR = p + X
dp
dX
dp
dX
jεX ,p j > 1.
= p bei
= 0 horizontale (inverse) Nachfrage: MR = p + X
erste „kleine“ Einheit, X = 0: MR = p + X
=0
dp
dX
Preisdiskriminierung ersten Grades, MR = p + X
=0
dp
dX
=0
=p=
=p
R (X )
X
dp
dX
— > siehe unten
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Der Gewinn
De…nition
Bei X
0 und der inversen Nachfragefunktion p ist
Π (X ) : = R (X )
| {z }
| {z }
Gewinn
Erlös
C (X ) = p (X ) X
| {z }
C (X )
Kosten
der Monopolgewinn in Abhängigkeit von der Menge.
Linearer Fall:
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Π (X ) = (a
bX ) X
cX ,
X
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a
,
b
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Der Gewinn
Durchschnitts- und Grenzde…nition
p
Gewinn bei X̄ :
Π (X̄ )
= p (X̄ )X̄ C (X̄ )
= [p (X̄ ) AC (X̄ )] X̄
=
ZX̄
[MR (X )
MC (X )] dX
a
p(X )
D
F
c
G
E
p (X )
MR
H
AC
MC
C
B
A
X
0
X
F (gegebenenfalls)
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Mengenpolitik bei einheitlichem Preis
Gegeben:
Inverse Preis-Absatz-Funktion des Monopolisten: p = p (X )
Gesamtkosten: C (X )
Gewinn Π des Monopolisten:
Π (X ) = R (X ) C (X )
= p (X )X C (X ).
Notwendige Bedingung für das Gewinnmaximum:
dR
dΠ
=
dX
dX
bzw.
dC !
=0
dX
!
MR = MC
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Mengenpolitik bei einheitlichem Preis
p
MC
AC
CournotPunkt
pM
Nachfrage
MR
XM
X
Problem
Inverse Nachfragefunktion p (X ) = 27 X 2 . Erlösmaximaler und
gewinnmaximaler PreisUniversität
für MC
= 15?
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Kluger Kopf:
Antoine Augustin Cournot
Antoine Augustin Cournot
(1801-1877) war ein französischer
Philosoph, Mathematiker und
Ökonom.
In seinem Hauptwerk „Recherches
sur les principes mathématiques de
la théorie des richesses“, 1838,
präsentiert Cournot wesentliche
Elemente der Monopoltheorie
(dieses Kapitel) und der
Oligopoltheorie (nächstes Kapitel).
Er…nder des Nash-Gleichgewichts
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Mengenpolitik bei einheitlichem Preis
lineares Modell
p
a
pM
a
ε X ,p = 0
M
E
MC = AC
c
ε X ,p = 1
D
p(X )
p (X )
MR
c
p
ε X ,p = ∞
MR
A
Harald Wiese (UL/DIU
B
XM
F
X PC
X
X
X M = X M (c, a, b) =
(
1 (a c )
2 b ,
0,
c a
c>a
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Mengenpolitik bei einheitlichem Preis
der maximale Gewinn
p
MC
AC
CournotPunkt
pM
AC (X M )
Gewinn
Nachfrage
MR
XM
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X
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Mengenpolitik bei einheitlichem Preis
komparative Statik I
X M (a, b, c )
=
pM (a, b, c )
=
ΠM (a, b, c )
=
1 (a c )
2 b ,
1
2 (a + c ),
2
1 (a c )
,
4
b
wobei
wobei
wobei
∂X M
∂X M
∂c < 0; ∂a
∂p M
∂p M
∂c > 0; ∂a
∂ΠM
∂c
< 0;
∂ΠM
∂a
> 0;
> 0;
> 0;
∂X M
∂b
∂p M
∂b
< 0,
∂ΠM
∂b
= 0,
< 0.
Problem
(a c )2
Berechnen Sie ΠM (c ) = 14 b und auch
können die Kettenregel verwenden!
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d ΠM
dc
! Hinweis: Sie
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Mengenpolitik bei einheitlichem Preis
komparative Statik I
Solution
Harald Wiese (UL/DIU
dΠM
dc
d
=
2
1 (a c )
4
b
dc
1
=
2( a c ) ( 1)
4b
a c
=
2b
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Mengenpolitik bei einheitlichem Preis
Maximierung Preis oder Menge
p
II
I
Π (p )
Nachfrage
pM
MR
Π
MC = AC
X
XM
Π (X )
III
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IV
Π
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Alternative Ausdrücke für die Gewinnmaximierung
1
!
MC = MR = p 1
!
p=
p
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jεX ,p j
jεX ,p j
MC
jεX ,p j 1
MC !
1
=
p
jεX ,p j
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Monopolmacht und Monopolgewinn
vollkommene Konkurrenz:
Die Gewinnmaximierungsregel lautet „Preis = Grenzkosten“
Grund: Bei vollständiger Konkurrenz sind alle Unternehmen
„klein“ und haben keine Ein‡uss auf den Preis. Die inverse
Nachfragekurve ist dann horizontal, also MR = p.
Monopol:
Der optimale Preis liegt im Allgemeinen oberhalb der
Grenzkosten.
De…nition (Lerner’scher Monopolgrad)
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p
MC
p
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Monopolmacht und Monopolgewinn
Lerner’scher Monopolgrad
vollständige Konkurrenz: p = MC und daher
!
1
Monopol: MC = MR = p 1
p
MC ! p MR
=
=
p
p
=0
und daher
jεX ,p j
p
p MC
p
p 1
p
1
jεX ,p j
=
1
jεX ,p j
Interpretation: Wenn die Nachfrage stark auf Preiserhöhungen
reagiert, kann sich der Monopolist nur Preise nahe bei den
Grenzkosten leisten.
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Monopolmacht und Monopolgewinn
p
pM
Cournot-Punkt
AC
MR
MC
p (X )
XM
X
p > MC aber AC X M
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=
C XM
= pM
M
X
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Preisdiskriminierung ersten Grades
Jeder Konsument zahlt entsprechend seiner Zahlungsbereitschaft:
MR = p + X
=0
dp
=p
dX
Die Preissenkung infolge einer Mengenausdehnung betri¤t
nur den marginalen Konsumenten (den jeweils letzten
Konsumenten),
nicht jedoch die inframarginalen Konsumenten (diejenigen mit
höherer Zahlungsbereitschaft)
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Preisdiskriminierung ersten Grades
Grenzerlös
p
Produzentenrente
Grenzkosten
Cournot-Punkt
pM
p PC
Nachfrage =
Grenzerlös bei
Preisdiskriminierung
X M X PC
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X
Grenzerlös ohne
Preisdiskriminierung
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Preisdiskriminierung ersten Grades
Gewinnvergleich
p
a
pM
ε X ,p = ∞
ε X ,p = 1
D
p (X )
MR
c
ε X ,p = 0
M
E
A
B
XM
F
X PC
X
Gewinn für nicht diskriminierenden (Cournot) Monopolisten: ABME
= ABD
Gewinn für diskriminierenden Monopolisten: AFD
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Preisdiskriminierung ersten Grades
Aufgabe
Ein Buchverkäufer kann ein Buch zu konstanten Grenzkosten von C
=8
herstellen (keine Fixkosten), und 11 potentielle Käufer haben
maximale Zahlungsbereitschaften von C
= 55, C
= 50, C
= 45, ... , C
= 10 und
= 5. Bei einem Preis oberhalb ihrer Zahlungsbereitschaft kaufen sie
C
nicht.
a) Welcher Preis maximiert den Gewinn des Buchverkäufers, falls
allen Konsumenten der gleiche Preis genannt werden muss? Wie viele
Bücher werden abgesetzt? Wie hoch ist der Gewinn?
b) Welche Preise wird der Buchverkäufer den Konsumenten nennen,
falls er von jedem einen anderen Preis verlangen kann und die
Zahlungsbereitschaften genau kennt? Wie viele Bücher werden
abgesetzt? Wie hoch ist der Gewinn?
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Partielle Ableitungen
Bei einer Funktion mit mehreren Variablen, möchte man bisweilen
nach der einen oder anderen ableiten.
Dazu hält man die übrigen Variablen konstant.
Beispiel:
f (x1 , x2 ) = x1 x22
mit den partiellen Ableitungen
∂f (x1 , x2 )
= x22
∂x1
∂f (x1 , x2 )
= 2x1 x2
∂x2
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Preisdiskriminierung dritten Grades
zwei Märkte, eine Betriebsstätte I
Gewinn
Π (x1 , x2 ) = p1 (x1 ) x1 + p2 (x2 ) x2
C (x1 + x2 ) ,
Maximierungsbedingungen
∂Π (x1 , x2 )
= MR1 (x1 )
∂x1
∂Π (x1 , x2 )
= MR2 (x2 )
∂x2
!
MC (x1 + x2 ) = 0,
!
MC (x1 + x2 ) = 0.
!
MR1 (x1 ) = MR2 (x2 )
Nehmen Sie an, dass im Gegensatz zur Gleichheit MR1 < MR2
gilt ...
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Preisdiskriminierung dritten Grades
zwei Märkte, eine Betriebsstätte II
p
Markt 2
Markt 1
p1*
p2*
p2
x2
x *2
p1
x1*
MR2
x1
MR1
gesamte Absatzmenge
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Preisdiskriminierung dritten Grades
zwei Märkte, eine Betriebsstätte III
MR1 (x1 ) = MR2 (x2 ) :
p1M 1
1
!
= p2M 1
j ε1 j
1
j ε2 j
jε1 j > jε2 j ) p1M < p2M .
also: inverse-Elastizitäten-Regel
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36 / 44
Ein Markt, zwei Betriebsstätten
Gewinn
Π (x1 , x2 ) = p (x1 + x2 ) (x1 + x2 )
C1 (x1 )
C2 (x2 ) .
Maximierungsbedingungen
∂Π (x1 , x2 )
= MR (x1 + x2 )
∂x1
∂Π (x1 , x2 )
= MR (x1 + x2 )
∂x2
!
MC1 (x1 ) = 0,
!
MC2 (x2 ) = 0.
!
MC1 = MC2
Nehmen Sie an, dass im Gegensatz zur Gleichheit MC1 < MC2
gilt ...
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37 / 44
Ein Markt, zwei Betriebsstätten
p
Betriebsstätte 2
Betriebsstätte 1
MC 2
x2
MC1
x *2
x1*
x1
gesamte Ausbringungsmenge
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Mengen- und Gewinnsteuern
Mengensteuer
verteuert die Produktion für jede Einheit um den Steuersatz t
bewirkt eine Erhöhung der Grenzkosten MC auf MC + t
= a
!
2bX = MC + t
a MC t
) X M (t ) =
2b
) pM (t ) = a bX M (t )
a + MC + t
=
2
Die Steuer wird demnach zur Hälfte überwälzt.
MR
Problem
Skizzieren Sie!
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39 / 44
Mengen- und Gewinnsteuern
Gewinnsteuer I
Ein Teil des Gewinns wird an den Staat abgeführt.
Ist dieser Teil (Prozentsatz), τ , konstant, bleibt anstelle des
Vorsteuergewinns R (X ) C (X ) nur der Nachsteuergewinn
(1
τ ) [R (X )
C (X )] .
=) keine Änderung der gewinnmaximalen Ausbringungsmenge als
Folge der Einführung einer Gewinnsteuer
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40 / 44
Mengen- und Gewinnsteuern
Gewinnsteuer II
p
C (X )
R (X )
Π (X )
pM
MR
MC
(1 − t ) Π (X )
p (X )
XM
X
Mit dem Hammer auf das Gewinnmaximum schlagen ...
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41 / 44
Unternehmenspolitische Schlussfolgerungen
1
2
3
Der Lerner’sche Monopolgrad (bzw. das Lerner-Maß
) und der
optimale multiplikative Preisaufschlag des Monopolisten auf die
Grenzkosten fallen umso höher aus, je unelastischer die
Marktnachfrage ist.
Es ist denkbar, dass ein Monopolist über Marktmacht verfügt,
jedoch keine Monopolgewinne realisieren kann.
Die Wettbewerbspolitik könnte sich verp‡ichtet fühlen, gegen
monopolistisches Verhalten („Missbrauch von Marktmacht“,
„Kartellbildung“) vorzugehen. Das Monopolproblem besteht aus
gesamtgesellschaftlicher Sicht darin, dass zu wenig produziert
wird.
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42 / 44
Weitere Übungen
Problem 1
Nehmen Sie an, dass Preisdi¤erenzierung nicht möglich ist.
Bestimmen Sie X M für p (X ) = 24 X und konstante Grenzkosten
c = 2! Bestimmen Sie zudem X M für p (X ) = X1 and konstante
Stückkosten c!
Problem 2
Auf dem ersten Teilmarkt gilt die inverse Nachfragefunktion
p1 = 12 4x1 , auf dem zweiten Teilmarkt die inverse
Nachfragefunktion p2 = 8 12 x2 . Die Grenzkosten betragen 4. Wie
hoch sind die Preise auf den Teilmärkten? Bestätigt sich die inverse
Elastizitätenregel?
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43 / 44
Weitere Übungen
Problem 3
Ein Monopolist agiert auf einem Markt mit einer aggregierten
Marktnachfrage X (p ) = 12 12 p. Die Kostenfunktion des
Unternehmens sei C (X ) = X 2 + 2. Wie hoch ist der Gewinn des
Unternehmers, wenn er Preisdiskriminierung ersten Grades betreibt?
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