Mhrkte und Preise
Werbung
Märkte und Preise Ein wenig Mathematik Harald Wiese UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University WS 2013 Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 1 / 21 Gliederung der Vorlesung Einführung Spieltheorie Ein wenig Mathematik Preispolitik im Monopol Preiswettbewerb und Kostenwettbewerb Mengenpolitik im Monopol Mengenwettbewerb und Kostenwettbewerb Innovationswettbewerb Varianten-, Standort- und Qualitätswettbewerb Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 2 / 21 Überblick „Ein wenig Mathematik“ Koordinatensystem Funktionen Steigungen Maximierung: max und argmax Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 3 / 21 Koordinatensystem x2 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1 Wo be…nden sich die Punkte (7, 0) , (1, 6) , (4, 5) , (0, 0)? Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 4 / 21 Funktionen Argument (was wird reingesteckt?) — > Outputmenge, Preis, FuE-Ausgaben Wert (was kommt raus?) — > Nachfragemenge, Gewinn, Kosten Berechnungsvorschrift (wie genau hängt die nachgefragte Menge vom Preis ab?) — > X (p ) = 100 2p Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 5 / 21 Eine Preis-Absatz-Funktion X 100 (0,100) X (p ) = 100 − 2 p (50,0 ) 50 Harald Wiese (UL/DIU p Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 6 / 21 Eine weitere Preis-Absatz-Funktion Gehen Sie von der Preis-Absatzfunktion X (p ) = 200 4p aus. Problem Bestimmen Sie den Abszissenabschnitt (hier: p-Achsen-Abschnitt) und den Ordinatenabschnitt (hier: X -Achsen-Abschnitt). Skizzieren Sie diese Funktion. Anstelle von konkreten Zahlen (wie 100) kann man auch Parameter nehmen ... Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 7 / 21 noch eine Preis-Absatz-Funktion X d (0, d ) X (p ) = d − ep d , ? 2e d ,0 e d 2e d e p Problem Bestimmen Sie X Harald Wiese (UL/DIU d 2e ! Steigung? Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 8 / 21 Steigungen gra…sch-diskret Π ∆Π Steigung = ∆x positive Steigung ∆x Harald Wiese (UL/DIU ∆Π negative Steigung ∆Π ∆x x positive Steigung — > Je höher x, desto höher Π. — > Je geringer x, desto niedriger Π. negative Steigung — > Je höher x, desto niedriger Π. — > Je niedriger x, desto höher Π. Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 9 / 21 Steigungen analytisch-diskret Problem Bestimmen Sie die Steigung zwischen den Punkten (x, Π) = (3, 10) und x̂, Π̂ = (5, 16) Problem Bestimmen Sie die Steigung zwischen den Punkten Harald Wiese (UL/DIU (x, Π) = (3, 10) und x̂, Π̂ = (5, 2) Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 10 / 21 Steigungen gra…sch-kontinuierlich Π dΠ Steigung = dx Steigung 0 positive Steigung Harald Wiese (UL/DIU negative Steigung x* x positive Steigung — > Je höher x, desto höher Π. — > Je geringer x, desto niedriger Π. negative Steigung — > Je höher x, desto niedriger Π. — > Je niedriger x, desto höher Π. Steigung 0 — > Π verändert sich (so gut wie nicht), wenn x variiert wird. Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 11 / 21 Steigungen analytisch-kontinuierlich I Analytisch lässt sich die Steigung bei x (in einem Punkt (x, Π (x ))) durch Ableiten bestimmen. df dx = 3 df dx = 0 > f 0 (x ) f (x ) = 3x — > f 0 (x ) = f (x ) = 7 — > f 0 (x ) = f (x ) = 7x 2 + 4x + 6 — f (x ) = ax b Harald Wiese (UL/DIU = > f 0 (x ) = df dx = 2 7x + 4 df = b ax b dx Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) 1 WS 2013 12 / 21 Steigungen analytisch-kontinuierlich II Problem Bestimmen Sie die Steigung bei x = 2 und x = 3 für die Funktionen f , die durch f (x ) = 7 x 2 , f (x ) = 18 f (x ) = ax b gegeben sind. Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 13 / 21 Steigungen analytisch-kontinuierlich III Wir werden die Produktregel benötigen: d (fg ) (x ) df (x ) g (x ) df (x ) dg (x ) = = g (x ) + f (x ) dx dx dx dx Beispiel: f (x ) = 7 x 2 , g (x ) = 18 — > (fg )0 (x ) = 2x 18 + 0 7 x 2 = 36x Problem Bestimmen Sie die Ableitung (fg )0 (x ) für f (x ) = 100 g (x ) = x. Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) 2x und WS 2013 14 / 21 Steigungen ökonomischer Sprachgebrauch Ökonomen sagen für die erste Ableitung der Kostenfunktion: Grenzkosten der Gewinnfunktion: Grenzgewinn der Erlösfunktion: Grenzerlös egal, ob man die diskrete oder die kontinuierliche De…nition im Kopf hat. Grenzgewinn ist der zusätzliche Gewinn durch den Verkauf einer zusätzlichen (kleinen) Outputeinheit. Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 15 / 21 Steigungen diskret versus kontinuierlich Wir sprechen häu…g diskret: eine Erhöhung des Preises um eine kleine Einheit, eine Erhöhung der FuE-Ausgaben um einen Euro auch wenn wir mit Ableitungen arbeiten, die häu…g leichter zu berechnen sind. Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 16 / 21 Eine Gewinnfunktion Der Gewinn bei der Ausbringungsmenge x : Π (x ) Der maximale Gewinn: max Π (x ) x Die Menge derjenigen Entscheidungen x, die zum maximalen Gewinn führen: arg max Π (x ) x Also max Π (x ) = Π (x ) für alle x aus arg max Π (x ) . x x Wie das beste x bestimmen? Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 17 / 21 Maximierungsproblem lösen I Π Bei x ist die Steigung 0. Also: Π (x * ) Harald Wiese (UL/DIU Ableiten von Π nach x Π0 (x ) gleich null setzen nach x au‡ösen —>x x * x Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 18 / 21 Maximierungsproblem lösen II Problem Bestimmen Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge x für die Gewinnfunktion Π (x ) = ax bx 2 , a > 0, b > 0, 0 x a . b Problem Bestimmen Sie die maximale Ausbringungsmenge für die Preis-Absatz-Funktion Harald Wiese (UL/DIU X (p ) = 100 2p, 0 p 50. Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 19 / 21 Weitere Übungen Problem 1 Bestimmen Sie die Steigung der folgenden Preis-Absatz-Funktion: X d (0, d ) X (p ) = d − ep d , ? 2e d ,0 e d 2e Harald Wiese (UL/DIU d e p Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 20 / 21 Weitere Übungen Problem 2 Bestimmen Sie die Steigung zwischen den Punkten (x, Π) = (4, 10) und x̂, Π̂ = (8, 10) Problem 3 Bestimmen Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge x für die Gewinnfunktion Π (x ) = ax + bx 2 , a > 0, b > 0, 0 x a . b Vorsicht! Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS 2013 21 / 21
