Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungen zu

TUM, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Physik
WS 2013/14
Prof. Dr. Silke Rolles
Thomas Höfelsauer
Felizitas Weidner
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
Lösungen zu Übungsblatt 7
Tutoraufgaben:
Aufgabe T7.1
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen über die Zufallsvariablen X, Y ∈ L1 :
(i) E(X) = E(Y ) ⇒ P(X = Y ) = 1
(ii) E(|X − Y |) = 0 ⇒ P(X = Y ) = 1
(iii) P(X ≥ x) ≤
Var(X)
(x−E(X))2
für x > E(X)
Lösung:
(i) falsch: Sei P(X = 0) = 1 und P (Y = −1) = P(Y = 1) = 12 . Dann ist E(X) =
E(Y ) = 0, aber P(X = Y ) = 0.
(ii) richtig: Eine Anwendung der Markov-Ungleichung ergibt für alle ε > 0
P(|X − Y | ≥ ε) ≤
E(|X − Y |)
= 0,
ε
also folgt P(|X − Y | > 0) = 0 und somit die Behauptung.
(iii) richtig: Mit der Markov-Ungleichung erhalten wir
E((X − E(X))2 )
Var(X)
P(X ≥ x) ≤ P (X − E(X))2 ≥ (x − E(X))2 ≤
=
.
(x − E(X))2
(x − E(X))2
Aufgabe T7.2
Anton schlägt Brigitte das folgende Spiel vor: „Hier habe ich eine unfaire Münze, die
Kopf mit Wahrscheinlichkeit p ∈ ( 31 , 12 ) zeigt. Du brauchst nur 1 Euro Startkapital. Jedes
Mal, wenn die Münze Kopf zeigt, verdopple ich dein Kapital, andernfalls musst du mir
die Hälfte deines Kapitals zurückzahlen. Xn bezeichne dein Kapital nach dem n-ten
Münzwurf. Wie du leicht sehen kannst, gilt limn→∞ E(Xn ) = ∞“. Soll sich Brigitte auf
dieses Spiel einlassen? Überprüfen Sie dazu die Behauptung von Anton und zeigen Sie
limn→∞ Xn = 0 fast sicher.
Lösung:
Sei p ∈ ( 31 , 21 ) und (Zn )n∈N eine Folge unabhängiger { 12 , 2}-wertiger Zufallsvariablen mit
der Verteilung P(Zn = 2) = p, P(Zn = 21 ) = 1 − p für alle n ∈ N. Definiert man
X0 := 1,
Xn := X0
n
Y
i=1
Zi ,
so modelliert die Folge der Zufallsvariablen Xn das Kapital von Brigitte nach dem n-ten
Münzwurf. Wegen E(Zn ) = 2p + 12 (1 − p) = 32 p + 12 > 1 und der Unabhängigkeit der Zi
gilt
n
3
1
E(Xn ) = X0 p +
−−−→ ∞.
n→∞
2
2
Sei nun Un := log Zn für n ∈ N, dann sind die Zufallsvariablen Un wieder unabhängig
und identisch verteilt und es gilt P(Un = − log 2) = 1 − p und P(Un = log 2) = p.
Insbesondere gilt dann E(U14 ) < ∞, d. h. U1 ∈ L4 . Die Voraussetzungen des starken
Gesetzes der großen Zahlen sind folglich erfüllt. Es gilt also
n
1X
Ui −−−→ E(U1 ) = (2p − 1) log 2 := m < 0
n→∞
n i=1
fast sicher
und somit
Xn
log
X0
= log
Y
n
i=1
Zi
=
n
X
Ui → −∞
fast sicher,
i=1
also Xn → 0 fast sicher.
Aufgabe T7.3* (Zusatzaufgabe)
Zeigen Sie, dass fast sichere Konvergenz stochastische Konvergenz impliziert, die Umkehrung im Allgemeinen jedoch nicht gilt.
Lösung:
Seien Yn , Y Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P). Wir nehmen
an, dass Yn fast sicher gegen Y konvergiert. Für ε > 0 gilt dann
[
\ [
P(|Yn − Y | ≥ ε) ≤ P
{|Ym − Y | ≥ ε} −−−→ P
{|Ym − Y | ≥ ε}
m≥n
n→∞
n≥1 m≥n
= P |Ym − Y | ≥ ε unendlich oft ≤ P(Yn 6→ Y ) = 0,
d. h. Yn konvergiert stochastisch gegen Y . Dabei haben wir im zweiten Schritt die Stetigkeit des Maßes P ausgenutzt.
Umgekehrt betrachten wir z. B. den Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) mit Ω = [0, 1],
der Borel-σ-Algebra F und der Gleichverteilung P. Jedes n ∈ N lässt sich eindeutig
schreiben als n = 2k + m mit k ∈ N0 und 0 ≤ m < 2k . Wir definieren nun für jedes
n ∈ N auf Ω die Zufallsvariable Yn := 1[m2−k ,(m+1)2−k ] . Die Folge der Zufallsvariablen Yn
konvergiert stochastisch gegen 0, da für jedes ε > 0
P(|Yn − Y | ≥ ε) ≤ P [m2−k , (m + 1)2−k ] = 2−k −−−→ 0
n→∞
gilt. Allerdings konvergiert Yn nicht fast sicher, denn für jedes ω ∈ Ω ist Yn (ω) = 1 für
unendlich viele n.