Freier Fall mit Luftreibung

Freier Fall mit Luftreibung
Freier Fall mit Newton-Reibung (FR ~ v2):
z
Luftreibung
m ⋅ &z& = −m ⋅ g + mLuft ⋅ g + γ ⋅ z& 2
Auftrieb
Gewicht
Gewichtskraft
Auftrieb (mLuft:
Masse der vom
Körper verdrängten Luft)
Reibung: γ =
(cWρA)/2
Lösung für die Geschwindigkeit durch Trennung der Variablen Æ Übungen
v (t )
t
(Vorgehen:
′
(mLuft − m)
d
v
γ 2
= ∫ dt′
⋅ g + ⋅ v = Ψ + Φ ⋅ v2 ⇒ ∫
v& =
2
)
′
Ψ + Φ⋅v
m
m
v (t )
t
0
Im Folgenden numerische Auswertung der DGL.
0
Höhe
Freier Fall
eines
Menschen
Geschwindigkeit
Höhe
Aus Gerthsen - Physik
Freier Fall mit Luftreibung
Abschätzung der Endgeschwindigkeit aus der
Bewegungsgleichung:
m ⋅ &z& = −m ⋅ g + mLuft ⋅ g + γ ⋅ z& 2
z
γ = (cWρA)/2
Einstellen eines stationären
Gleichgewichts, danach gilt:
Endgeschwindigkeit vEnde
m ⋅ &z& = 0
Einsetzen in die Bewegungsgleichung
ergibt für die Endgeschwindigkeit:
z&Ende =
(m − mLuft ) ⋅ g
γ
Da sich die Dichte der Luft mit der Höhe ändert, ändert sich auch vEnde.
Bei Annäherung an den Erdboden nehmen die Dichte und damit der
Reibungskoeffizient γ zu, damit wird die Endgeschwindigkeit kleiner.
Ballistische Kurven eines Geschosses
r&
r
&
m ⋅ r = m ⋅ g − mLuft
r&
r
r& 2 r
⋅ g − γ ⋅ r ⋅ r&
|r|
γ = (cWρA)/2
Berechnungen für
v0 = n · 170 m/s, n = 1, 2, 3, ...
m = 20 g
A = 0.5 cm2
cW = 0.2
Höhe in
Einheiten
von 3 km
Aus Gerthsen - Physik
x in Einheiten von 3 km
Wirbelstrombremse
Lichtschranke: gibt Startsignal für Oszilloskop
r
v (t )
Magnet
Kupferblech
Luftkissenschlitten
Luftkissenschiene
Oszilloskopbild:
m
v
0
Kupferblech erreicht
Magnet, Bremswirkung
setzt ein
t
Wirbelstrombremse
In der Elektrodynamik-Vorlesung wird gezeigt: Dringt eine Leiterschleife
mit der Geschwindigkeit v in ein (homogenes) magnetisches Feld ein, so wird
in ihr ein Wirbelstrom hervorgerufen, auf den wiederum eine bremsende
Lorentzkraft wirkt:
x(t)
r
B2 ⋅ b2 r
⋅v
Bremskraft: FR = −
R
r
r
v
B
T = 2π
Bew.gl.:
r
B2 ⋅ b2
m ⋅ &x& = FR = −
⋅ x&
R
⇒
B2 ⋅ b2
⋅v = 0
m ⋅ v& +
R
r
FR
l
g
Magnetfeldinduzierter
Wirbelstrom
b
R: elektrischer Widerstand
der Leiterschleife
m: ihre Masse
⇒
v(t ) = v0 ⋅ e
−
t
τ
,
mit τ =
m⋅R
B 2 ⋅ b2
Gedämpfte Schwingung ohne treibende Kraft
X
X0=0
X
Auslenkung des Körpers
Schwimmkörper, Radius r
Dämpfungsvorrichtung:
Glycerin, η
Kräftebilanz:
m ⋅ &x& = − k ⋅ x − γ ⋅ x&
Rückstellkraft
Bewegungsgleichung:
γ
Dämpfung, γ = 6πηr
k
&x& +
⋅ x& +
⋅x = 0
m
m
Gedämpfte Schwingung ohne treibende Kraft
Bewegungsgleichung:
&x& +
γ
m
oder üblicherweise in der Form:
&x& +
2
τ
⋅ x& + ω 02 ⋅ x = 0
mit
⋅ x& +
ω
1
τ
k
⋅x = 0
m
k
=
m
2
0
=
γ
2m
ω0: Eigenfrequenz des
ungedämpften
Oszillators
τ: Dämpfungszeitkonstante
Lösungsansatz: eat, ergibt drei zu unterscheidende Fälle:
1. Schwache Dämpfung, Schwingfall, wenn gilt
Lösung:
Gedämpfte
Schwingung
x (t ) = x 0 ⋅ e
−
t
τ
ω0 ⋅ τ > 1 also : ω0 >
⋅ cos( ω res ⋅ t + ϕ )
mit
1
τ
ω res =
ω −
2
0
1
τ2
Gedämpfte Schwingung ohne treibende Kraft
ω res =
ω −
2
0
1
τ2
Eigenfrequenz (Resonanzfrequenz) ωres des
gedämpften Oszillators ist gegenüber ω0,
der Eigenfrequenz des ungedämpften
Oszillators, reduziert (Dämpfung wirkt wie
zusätzliche Rückstellkraft).
2. Kritische Dämpfung, Kriechfall,
wenn gilt
ω0 ⋅ τ = 1 also : ω0 =
Lösung:
x ( t ) = ( x 01 + x 02 ⋅ t ) ⋅ e
3. Überkritische Dämpfung,
aperiodischer Grenzfall,
wenn gilt
−
t
τ
1
τ
und ωres = 0
Keine Schwingung mehr,
kontinuierlicher Rückgang der
Auslenkung
ω0 ⋅ τ < 1 also : ω0 <
Lösung: Keine Schwingung mehr, kontinuierlicher
Rückgang der Auslenkung
1
τ
und ωres : imaginär
Gedämpfte Schwingung ohne treibende Kraft
Lösung:
x ( t ) = x 01 ⋅ e
mit
τ± =
1
ω 02
−
t
τ+
+ x 02 ⋅ e
⎛1
⋅ ⎜⎜ ±
⎝τ
−
1
τ2
t
τ−
⎞
− ω ⎟⎟
⎠
2
0
Experimenteller Vergleich des Abklingverhaltens im
Kriechfall und im aperiodischen Grenzfall ergibt:
Abklingen im Kriechfall erfolgt schneller.
→ Wird bei Zeigerinstrumenten zur schnellen Anpassung
der Anzeige an sich verändernde Messwerte genutzt.