Zahlentheorie - RISC-Linz

Zahlentheorie
Anna Rieger
0355556
Stefan Takacs
0356104
Daniela Weberndorfer
0355362
Linz, am 2. Juni 2004
Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit über die grundlegenden Sätze der Zahlentheorie beschäftigt sich mit fundamentalen Aussagen über die Teilbarkeit von
ganzen und natürlichen Zahlen. Die verwendeten Sätze werden jeweils direkt aus der Einführung der natürlichen Zahlen, der ganzen Zahlen und
aus den anderen Definitionen hergeleitet. Des weiteren wird ein Algorithmus vorgestellt, der den größten gemeinsamen Teiler zweier natütlicher
Zahlen liefert, sowie eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers als
Summe von ganzzahligen Vielfachen dieser beiden Zahlen. Diese Darstellung ist nicht eindeutig, sie kann jedoch zur Lösung der in der Literatur
sogenannten Diophantischen Gleichungen herangezogen werden.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Ein einfaches Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2 Natürliche Zahlen und Ganze Zahlen
2.1 Definition der natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . .
2.2 Definition weiterer Mengen ganzer Zahlen . . . . . . .
2.3 Definition Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Satz (einige Gundlegende Aussagen über den Betrag) .
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3
3
3
3
3
3 Teilbarkeit
3.1 Definition der Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Satz (einige grundlegende Aussagen über die Teilbarkeit) . . . .
4
4
4
4 ggT
4.1
4.2
4.3
4.4
5
5
5
6
6
und euklidischer Algorithmus
Definition des ggT . . . . . . . . .
Lemma . . . . . . . . . . . . . . .
Satz (Umfomung des ggT) . . . . .
Satz (euklidischer Algorithmus) . .
5 Zusammenfassung
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9
6 Literatur
10
1
1
Einleitung
Diese Arbeit beschäftigt sich mit Problemen der ganzen und der natürlichen
Zahlen. In diesem Bereich ist die Division keine Selbstverständlichkeit. Sie ist ohne Rest - nur möglich, wenn die Teilbarkeit vorliegt. Es ergeben sich etliche
mögliche Fragestellungen:
1. Ist eine gegebene ganze Zahl durch eine andere gegebene ganze Zahl teilbar?
2. Ist eine gegebene ganze Zahl durch zwei oder mehrere andere gegebene
ganze Zahlen teilbar?
Die zweite Frage wird jedoch erst dann interessant, wenn man nach der größten
ganzen Zahl fragt, für die das gilt. Da ein Teiler einer Zahl zwar kleiner-gleich
dieser ist, wird die größte ganze Zahl kleiner oder gleich der kleinsten gegebenen
Zahl sein. Jedoch wird sie auch größer gleich 1 sein, da jede Zahl durch die
Zahl 1 teilbar ist, wie wir später sehen werden. Diese Zahl wird als größter
gemeinsamer Teiler bezeichnet. Ist dieser 1, so spricht man von teilerfremden
Zahlen. Vergleiche zu den Begriffen und Definitionen auch [Heuberger, 2002].
In dieser Arbeit wird der Begriff der Teilbarkeit eingeführt und mit dessen
Hilfe etliche Aussagen gezeigt. Mithilfe dieser Einführung wird auch der größte
gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen definiert. Es wird ein Algorithmus bewiesen, der es ermöglicht, zu jeweils zwei gegebenen ganzen Zahlen den größten
gemeinsamen Teiler in einer endlichen Anzahl von Schritten zu berechnen.
1.1
Ein einfaches Beispiel
Beispiele, die mithilfe dieser Arbeit gelöst werden können, sind Diophantische
Gleichungen. Es handelt sich hierbei um Gleichungen, bei denen a, b und c als
ganze Zahlen gegeben sind und sodann x und y aus den ganzen Zahlen gesucht
werden, sodass:
a∗x+b∗y =c
Diese Gleichungen sind nicht immer lösbar, wie sich herausstellen wird.
Betrachten wir nun folgende Diophantische Gleichungen:
2∗x+3∗y =7
4∗x+6∗y =7
Die erste Gleichung ist in diesem Fall einfach zu lösen. Eine Lösung wäre hier
2 ∗ 2 + 3 ∗ 1 = 7. Also die Wahl x = 2 und y = 1. Es ist nicht möglich, für die
zweite Gleichung durch Hinsehen eine Lösung zu finden. Dazu benötigen wir
etwas mehr Theorie. Diese wird in der vorliegenden Arbeit folgen.
2
2
Natürliche Zahlen und Ganze Zahlen
2.1
Definition der natürlichen Zahlen
Eins ist eine natürliche Zahl, zu jeder weiteren natürlichen Zahl n gibt es einen
Vorgänger (n − 1) und einen Nachfolger (n + 1) in den natürlichen Zahlen. Die
Menge der natürlichen Zahlen wird als N bezeichnet.
2.2
Definition weiterer Mengen ganzer Zahlen
Erweitert man die Menge der natürlichen Zahlen um das neutrale Element und
die inversen Elemente der natürlichen Zahlen jeweils bezüglich der Addition, so
erhält man die ganzen Zahlen:
Z := N ∪ {0} ∪ {(−n) | n ∈ N}
Zur Vereinfachung der Schreibweise wird die Menge der nicht negativen
ganzen Zahlen N0 wie folgt definiert:
N0 := N ∪ {0}
Auf den ganzen Zahlen seien die Rechenoperationen der Addition und der
Multiplikation bereits eingeführt, die geltenden Rechenregeln werden als bekannt vorausgesetzt.
2.3
Definition Betrag
Für alle ganzen Zahlen a, sei der Betrag von a wie folgt definiert:
(
a
⇐ a≥0
| a |:=
−a ⇐ a < 0
2.4
Satz (einige Gundlegende Aussagen über den Betrag)
Um mit dem Betrag im weiteren arbeiten zu können, beweisen wir, dass für alle
ganzen Zahlen a folgende Aussagen gelten:
1. | a |≥ 0
2. a ≤| a |
Beweis
1. Der Beweis erfolgt mittels Fallunterscheidungen:
Fall 1: a ≥ 0 daraus folgt laut 2.3 | a |= a also | a |≥ 0
Fall 2: a < 0 daraus folgt laut 2.3 | a |= −a also | a |> 0, da −a ≥ 0, somit
gilt sicher auch | a |≥ 0
Da jede ganze Zahl a ≥ oder < 0 ist, wurde der Satz durch die Fallunterscheidungen gezeigt.
3
2. Der Beweis erfolgt mittels Fallunterscheidungen:
Fall 1: a ≥ 0 daraus folgt laut 2.3 | a |= a also a ≤| a |
Fall 2: a < 0 es gilt laut 2.4.1 | a |≥ 0 also a < 0 ≤| a | also a ≤| a |
Da jede ganze Zahl a ≥ oder < 0 ist, wurde der Satz durch die Fallunterscheidungen gezeigt.
3
Teilbarkeit
3.1
Definition der Teilbarkeit
1. Teilbarkeit:
Für ganze Zahlen a und b sagt man b teilt a genau dann, wenn es eine
ganze Zahl q gibt sodass b ∗ q = a. Man schreibt:
b|a
2. Für die Division in den ganzen Zahlen definieren wir die Division mit Rest
wie folgt:
Für alle ganzen Zahlen a und b sagen wir:
q ist der Quotient der Division mit Rest, wenn q die größte ganze Zahl
ist, sodass b ∗ q ≤ a ist. Als Rest r bezeichnen wir a − b ∗ q.
Wir schreiben:
a div b := q
a mod b := r
3.2
Satz (einige grundlegende Aussagen über die Teilbarkeit)
1. ∀a ∈ Z : a | 0
2. ∀a, b ∈ Z : a | b ⇒ a | −b
3. ∀a, b ∈ Z : ∀t ∈ Z\{0} : a | b ⇐⇒ t ∗ a | t ∗ b
4. ∀a1 , a2 , b ∈ Z : a1 ∗ a2 | b ⇒ a1 | b
5. ∀a, b, t ∈ Z : a | b ⇒ a | t ∗ b
6. ∀a, b, c ∈ Z : (a | b ∧ b | c) ⇒ a | c
7. ∀a, b1 , b2 ∈ Z : (a | b1 ∧ a | b2 ) ⇒ a | b1 + b2
8. ∀a, b ∈ Z : (a | b ∧ b 6= 0) ⇒| a |≤| b |
Beweis
1. ∀a ∈ Z ist a ∗ 0 = 0. Da 0 eine ganze Zahl ist, gilt laut 3.1.1 a | 0
2. Seien a, b ∈ Z beliebig aber fix gewählt: a | b ⇔3.1.1 ∃q ∈ Z : a ∗ q = b
so gilt jedoch auch a ∗ (−q) = −b. Da auch (−q) eine ganze Zahl ist, gilt
a | −b
4
3. Seien a, b ∈ Z beliebig aber fix gewählt und sei t ∈ Z \ {0} ebenfalls
beliebig aber fix gewählt: a | b ⇔3.1.1 ∃q ∈ Z : a ∗ q = b ⇔ ∃q ∈ Z :
t ∗ a ∗ q = t ∗ b ⇔3.1.1 t ∗ a | t ∗ b
4. Seien a1 , a2 , b ∈ Z beliebig aber fix gewählt:a1 ∗ a2 | b ⇔3.1.1 ∃q ∈ Z : b =
q ∗ a1 ∗ a2 da q ∗ a2 auch eine ganze Zahl ist, folgt aus 3.1.1 a1 | b
5. Seien a, b, t ∈ Z beiliebig aber fix gewählt:a | b ⇔3.1.1 ∃q ∈ Z : b = q ∗ a.
Dann gilt auch t ∗ b = t ∗ q ∗ a. Da t ∗ q eine ganze Zahl ist, folgt aus 3.1.1
a | t ∗ b.
6. Seien a, b, c ∈ Z beliebig aber fix gewählt:a | b ∧ b | c ⇔3.1.1 ∃q ∈ Z : b =
a ∗ q. Durch Einsetzen erhält man a ∗ q | c ⇒3.2.4 a | c.
7. Seien a, b1 , b2 ∈ Z beliebig aber fix gewählt:a | b1 ∧ a | b2 ⇔3.1.1 ∃q1 , q2 ∈
Z : a ∗ q1 = b1 ∧ a ∗ q2 = b2 . Durch Addition der beiden Gleichungen erhält
man a ∗ (q1 + q2 ) = b1 + b2 . Da (q1 + q2 ) ∈ Z folgt aus 3.1.1 a | (b1 + b2 ).
8. Seien a, b ∈ Z beliebig aber fix gewählt:
(a | b) ∧ (b 6= 0), wegen 3.1.1 ∃q ∈ Z : a ∗ q = b. Da b 6= 0, ist auch q 6= 0
und | q |6= 0. Wegen 2.4.1 ist | q |> 0. Da q eine ganze Zahl ist, gilt | q |≥ 1.
(i)
Da ∃q ∈ Z : a ∗ q = b gilt auch | a ∗ q |=| b |. Da | a ∗ b |=| a | ∗ | b |, gilt
| a | ∗ | q |=| b | . Aus (i) folgt nun | a |≤| b | .
q.e.d.
4
4.1
ggT und euklidischer Algorithmus
Definition des ggT
Die größte ganze Zahl c für die (c | a) und (c | b) gilt, bezeichnen wir als größten
gemeinsamen Teiler der Zahlen a und b. Wir schreiben:
c = ggT(a, b)
4.2
Lemma
∀a, b, c ∈ Z : c | a ∧ c | b ⇒ c ≤ ggT(a, b)
Beweis:
Seien a, b, c ∈ Z beliebig aber fix gewählt:
Aus 2.4.2 folgt c ≤| c | . Wegen 3.2.8 gilt | c |≤| a | und damit
c ≤| a |
(1)
Da a | ggT(a, b) folgt aus 3.2.8 | a |≤| ggT(a, b) |. Da ggT(a, b) stets größer 0, ist
| a |≤ ggT(a, b). Und aus (1) folgt nun c ≤ ggT(a, b).
q.e.d.
5
4.3
Satz (Umfomung des ggT)
∀a, b, k ∈ Z : ggT(a, b) =ggT(b, a − b ∗ k).
Beweis:
Seien a, b, k ∈ Z beliebig aber fix gewählt:
Seien die Zahlen d1 und d2 wie folgt definiert:
d1 := ggT(a, b)
d2 := ggT(b, a − b ∗ k)
Aus 4.1 folgt d1 | a und d1 | b. Somit gilt laut 3.2.5 (d1 | b ∗ (−k)). Wegen 3.2.7
gilt nun d1 | a − b ∗ k. Da auch d1 | b gilt, schließen wir aus dem Lemma 4.2
d1 ≤ d2 da wir d2 als ggT(d, a − b ∗ k) definiert haben.
Aus 4.1 folgt d2 | b und d2 | a − b ∗ k. Somit gilt laut 3.2.5 (d2 | b ∗ k). Wegen
3.2.7 gilt nun d2 | a. Damit schließen wir aus dem Lemma 4.2 (d2 ≤ d1 ), da wir
d1 als ggT(a, b) definiert haben.
Da wir nun gezeigt haben, dass d1 sowohl ≤ als auch ≥ d2 ist, wissen wir,
dass d1 = d2 . Es gilt also
ggT(a, b) = ggT(b, a − b ∗ k).
q.e.d.
4.4
Satz (euklidischer Algorithmus)
Seien a, b natürliche Zahlen.
Seien die Folgen <dk>k=0,1,2,··· , <xk>k=0,1,2,··· , <yk>k=0,1,2,··· und <qk>k=1,2,3···
wie folgt definiert:
d0 := a, x0 := 1, y0 := 0
d1 := b, x1 := 0, y1 := 1
Und seien für jedes k ≥ 1, für das dk 6= 0 gilt, die Folgenglieder wie folgt
definiert:
qk := dk−1 div dk
dk+1 := dk−1 − qk ∗ dk
xk+1 := xk−1 − qk ∗ xk
yk+1 := yk−1 − qk ∗ yk
Sodann existiert ein K ∈ N, sodass folgende Aussagen gelten:
1. dK+1 = 0
2. ggT(a, b) = dK = xK ∗ a + yK ∗ b, wobei xK und yK jeweils ganze Zahlen
sind.
6
Beweis:
Sei k ∈ Z beliebig aber fix gewählt, sodass dk 6= 0:
Aus 3.1.2 folgt dk ∗ (dk−1 div dk ) ≤ dk−1 . Weil qk = dk−1 div dk definiert ist,
gilt qk ∗ dk ≤ dk−1 und somit
0 ≤ dk−1 − qk ∗ dk .
(2)
dk−1 − qk ∗ dk ≤ dk − 1
(3)
Die Ausssage
ist gleichbedeutend zur Aussage dk−1 −qk ∗dk < dk , da die zu dk nächst kleinere
ganze Zahl (dk − 1) ist. Die Ungleichung dk−1 − qk ∗ dk < dk wird nun mittels
Beweis durch Widerspruch gezeigt. Angenommen dk−1 − qk ∗ dk ≥ dk . Setzt
man nun die Definition für qk ein, so erhält man dk−1 ≥ dk ∗ (1 + dk−1 div dk ).
Laut Definition 3.1.2 ist dk−1 div dk die größte ganze Zahl, sodass dk−1 ≥ dk ∗
(dk−1 div dk ) gilt. (1 + dk−1 div dk ) ist jedoch eine größere ganze Zahl, an die
jedoch dieselbe Anforderung gestellt wird. Ein Widerspruch.
Es gilt folgendes:
∃K ∈ N : dK+1 = 0
(4)
Das wird mittels Beweis durch Widerspruch gezeigt. Angenommen es gäbe kein
K ∈ N mit dK+1 = 0. Sodann gilt ∀k ∈ N : dk 6= 0. So gelten die Ungleichungen
(2) und (3) für alle k ∈ N. Es wird nun mit vollständiger Induktion gezeigt,
dass folgende Aussage gilt:
∀k ∈ N : dk ≤ d0 − k
Induktionsanfang: für k = 1 ist also d1 ≤ d0 − 1. Dies ist jedoch die Aussage
(3), eingesetzt für k = 0.
Induktionsschluss: Unter der Annahme, dass für ein k ∈ N die Aussage dk ≤
d0 − k gilt, ist zu zeigen, dass dk+1 ≤ d0 − (k + 1) gilt. Wegen (3) und der
Induktionsannahme gilt dk+1 ≤ dk − 1 ≤ d0 − k und somit dk+1 ≤ d0 − k − 1 =
d0 − (k + 1), was zu zeigen war.
Wählen wir nun k = d0 , so erhalten wir aus (2) 0 ≤ dk und aus der eben
gezeigten Ungleichung dk ≤ d0 − d0 = 0. Daraus folgt dk = 0. Ein Widerspruch.
Somit ist ist die Aussage (4) gezeigt.
Für k ∈ {0, 1, · · · , dK } folgt aus dem Satz 4.3 ggT(dk−1 , dk )=ggT(dk , dk−1 −
qk ∗ dk ). Dies ist jedoch als
ggT(dk , dk+1 )
(5)
definiert.
Nun zeigen wir mittels Vollständiger Induktion, dass
∀k ∈ {0, 1, · · · , dK } : ggT(a, b) = ggT (dk , dk+1 )
(6)
gilt.
Induktionsanfang: Zu zeigen ist also, dass ggT(a, b)=ggT(d0 , d1 ). Dies stimmt
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jedoch und folgt direkt aus der Defintion der Folge d.
Induktionsschluss: Unter der Annahme, dass die Aussage für ein k gilt, ist zu
zeigen, dass daraus folgt, dass sie auch für (k + 1) gilt. Es ist zu zeigen:
ggT(dk−1 , dk ) = ggT(dk , dk+1 )
Dies ist jedoch bereits die bewiesene Aussage (5).
Somit ist die Aussage für alle k ∈ {0, 1, · · · , dK } gezeigt.
Weiters ist zu zeigen, dass folgendes gilt:
∀k ∈ {0, 1, · · · , dK } : dk = a ∗ xk + b ∗ yk
(7)
Wir beweisen dies mit Vollständiger Induktion. Die Aussage sei wie folgt definiert:
A(K) :⇔ ∀k ∈ {0, 1, · · · , dK } : dk = a ∗ xk + b ∗ yk .
Induktionsanfang: zu zeigen ist zuerst A(0):
d0 = a ∗ x0 + b ∗ y0
setzen wir nun nach den Definitionen der Folgen ein, so erhalten wir:
a=1∗a+0∗b
was eine wahre Aussage ist. Genauso zeigen wir A(1): Da wir A(0) bereits
gezeigt haben, bleibt zu zeigen:
d1 = a ∗ x1 + b ∗ y1
setzen wir nun nach den Definitionen der Folgen ein, so erhalten wir:
b=0∗a+1∗b
was ebenfalls eine wahre Aussage ist.
Induktionsschluss: Wir nehmen für K > 0 an, dass A(K) gilt und es ist zu
zeigen, dass es auch für A(K + 1) gilt. Wir müssen also beweisen:
∀k ∈ {0, 1, · · · , dK } : dk = a ∗ xk + b ∗ yk
Wir wählen ein k beliebig aber fix. Ist k < K +1, so ist k ≤ K und die Gültigkeit
folgt direkt aus der Induktionsannahme. Zu zeigen bleibt also nur noch der Fall
k = K + 1.
dK+1 = a ∗ xK+1 + b ∗ yK+1 .
Betrachten wir dazu dK−1 und dK :
dK−1 = a ∗ xK−1 + b ∗ yK−1
dK = a ∗ xK + b ∗ yK
Multiplizieren wir die zweite Zeile mit (−qK ) und addieren wir das zur ersten,
so erhalten wir:
dK−1 − qK ∗ dK = a ∗ (xK−1 − qK ∗ xK ) + b ∗ (yK−1 − qK ∗ yK )
8
Da diese Ausdrücke als dK+1 , xK+1 und yK+1 definiert sind, setzen wir ein und
erhalten:
dK+1 = a ∗ xK+1 + b ∗ yK+1
Genau dies war jedoch zu zeigen und somit sind A(K) ⇒ A(K + 1) und die
vollständige Induktion gezeigt. Da laut 3.2.1 jede ganze Zahl die Zahl 0 teilt
und dK+1 = 0, gilt:
dK = ggT(dK , 0) = ggT(dK , dK+1 )
Aus (6) folgt ggT(a, b) =ggT(dK , dK+1 ) und aus (7) folgt dK = a ∗ xK + b ∗ yK .
Es gilt also:
ggT(a, b) = dK = xK ∗ a + yK ∗ b
(8)
Dies war zu zeigen. Da Summen und Differenzen ganzer Zahlen wieder ganze
Zahlen sind und auch das Ergebnis der ganzzahligen Division wieder eine ganze
Zahl ist, wissen wir auch, dass xK und yK ganze Zahlen sind. Somit ist alles
gezeigt.
q.e.d.
5
Zusammenfassung
Der vorgestellte euklidsche Algorithmus kann nun zum Lösen von Diophantischen Gleichungen verwendet werden, wie bereits in der Einleitung versprochen
wurde. Seien also ganze Zahlen a, b, c gegeben und seien Zahlen x, y aus den
ganzen Zahlen gesucht, sodass a ∗ x + b ∗ y = c gilt. In diesem Fall ist mittels des euklidschen Algorithmus der größte gemeinsame Teiler von a und b zu
bestimmen. Es wurde bewiesen, dass dies möglich ist und es gilt sodann:
a ∗ X + b ∗ Y = ggT(a, b)
Als Zahlen X und Y werden die Folgenglieder xK und yK verwendet. Ist nun
die Zahl c durch ggT(a, b) teilbar, so können beide Seiten mit c/ggT(a, b) multipliziert werden, wobei der Ausdruck c/ggT(a, b) eine ganze Zahl ist und man
erhält:
c
c
a∗ X ∗
+b∗ Y ∗
=c
ggT(a, b)
ggT(a, b)
Bezeichnen wir nun X := X ∗ c/ggT(a, b) und Y := Y ∗ c/ggT(a, b), so erhalten
wir das Ergebnis
a∗X +b∗Y =c
also eine Lösung.
Versuchen wir
Setzen wir nun in
d0 = 2 x0 = 1
d1 = 3 x1 = 0
d2 = 2 x2 = 1
nun, die Diophantische Gleichung 2 ∗ x + 3 ∗ y = 7 zu lösen.
den Euklidschen Algorithmus ein, so erhalten wir:
y0 = 0
y1 = 1 q 1 = 0
y2 = 0 q 2 = 1
9
d3 = 1 x3 = −1 y3 = 1 q3 = 2
d4 = 0 x4 = 3
y4 = −2
Es ist also 2 ∗ (−1) + 3 ∗ 1 = 1 und somit 2 ∗ (−7) + 3 ∗ 7 = 7. Auch
das ist eine richtige Lösung. Es ist hierbei ersichtlich, das die Diophantischen
Gleichungungen nicht eindeutig lösbar sind.
Betrachten wir nun die zweite Gleichung 4 ∗ x + 6 ∗ y = 7. Der größte
gemeinsame Teiler von 4 und 6 ist 2. Die Gleichung lässt sich umformen in
2 ∗ (2 ∗ x + 3 ∗ y) = 7. Somit müsste 7 durch 2 teilbar sein, da ein q nach 3.1.1
gefunden wurde. Wir wissen jedoch, dass 7 nicht durch 2 teilbar ist. Somit ist
diese Diophanitsche Gleichung nicht lösbar.
6
Literatur
[Heuberger, 2002] Clemens Heuberger, A (2002) Zahlentheorie - Vorbereitungskurs zur Österreichischen Mathematischen Olympiade, Technische Universität
Graz
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