1. Übungsblatt zur Vorlesung

Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Algebra
Dr. Martin Schneider, Dr. Sven Reichard
Sommersemester 2015
1. Übungsblatt zur Vorlesung
«Elemente der Algebra und Zahlentheorie»
Natürliche Zahlen
Aufgabe 1. (Wohlordnungssatz)
Zeigen Sie, dass jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Element besitzt.
Hinweis: Zeigen Sie diese Aussage mittels Induktion für alle endlichen Mengen. Führen Sie dann die Aussage für
beliebige Mengen auf die endlicher Mengen zurück.
Aufgabe 2.
Es seien m, n P N. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass gilt
m + n = n + m.
Hinweis: Die Assoziativität von + darf angenommen werden.
Aufgabe 3. (Eigenschaften des ggT)
Zeigen Sie folgende Eigenschaften des ggT:
i. Für a, b P N, q P Z gilt ggT( a, b) = ggT(b, a ´ bq).
ii. Für a, b, t P N gilt ggT(ta, tb) = t ggT( a, b).
iii. Für a, b, c P N mit ggT( a, c) = 1 ist stets ggT( ab, c) = ggT(b, c).
Aufgabe 4. (Lineare Diophantische Gleichungen)
i. Es seien a, b, d P N+ . Zeigen Sie, dass die lineare diophantische Gleichung
ax + by = d
(1)
genau dann mit x, y P Z lösbar ist, wenn ggT( a, b) | d gilt.
Zeigen Sie weiterhin, dass wenn ( x0 , y0 ) P Z2 mit ax0 + by0 = ggT( a, b) ist, dass dann
die Menge aller Lösungen von 1 beschrieben ist durch
t
dx0 + bt dy0 ´ at
,
ggT( a, b) ggT( a, b)
| t P Z u.
ii. Geben Sie die vollständige Lösungsmenge der folgenden, linearen diophantischen Gleichung an:
135x + 74y = 67.
Aufgabe 5. (Euklidischer Algorithmus)
Bestimmen Sie für folgende Zahlen a, b ganze Zahlen x, y P Z mit ax + by = ggT( a, b).
i. a = 34, b = 154
ii. a = 3984007, b = 3980021
iii. a = 55, b = 89
Aufgabe 6. (primitive pythagoreische Tripel, fakultativ)
Als primitive pythagoreische Tripel bezeichnet man Tripel ( x, y, z) natürlicher Zahlen, so dass
ggT( x, y, z) = 1 und
x 2 + y2 = z2
gilt. Zeigen Sie, dass für jedes primitive pythagoreische Tripel ( x, y, z) teilerfremde Zahlen
u, v P N existieren mit u ą v, uv gerade, t x, y u = t 2uv, u2 ´ v2 u und z = u2 + v2 .
Hinweis: Begründen Sie, dass genau eine der Zahlen x, y gerade sein muss, etwa x, und berücksichtigen Sie dann
x 2
2
=
z+y z´y
¨
2
2
sowie ggT(y, z) = 1.
Aufgabe 7. (Hausaufgabe) (Äquivalenzrelationen und Partitionen, 8 Punkte)
Es sei M eine Menge.
i. Es sei Θ Ď M2 eine Äquivalenzrelation auf M. Zeigen Sie, dass dann M/Θ := t [m]Θ |
m P M u mit
[m]Θ := t n P M | (m, n) P Θ u
eine Partition von M ist.
Hinweis: Eine Partition einer Menge M ist eine Menge R Ď P( M ) derart, dass H R R,
Ť
R = M und für
alle A, B P R, A ‰ B stets A X B = H gilt.
ii. Es sei R eine Partition von M. Zeigen sie, dass dann ΘR Ď M2 mit
( x, y) P ΘR ðñ DP P R : x, y P P
eine Äquivalenzrelation auf M ist.
iii. Zeigen Sie, dass für jede Äquivalenzrelation Θ auf M und jede Partition R von M gilt
Θ M/Θ = Θ,
M/ΘR
= R.
Aufgabe 8. (Hausaufgabe) (Möbiusfunktion, 10 Punkte)
Wir betrachten die Funktion µ : N+ ÝÑ C mit
µ(1) = 1,
ÿ
d|n
Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
µ(d) = 0 für n ą 1.
i. Der Wert µ(n) ist für alle n P Ną0 eindeutig bestimmt.
ii. Für alle Primzahlen p ist µ( p) = ´1 und µ( p j ) = 0 für j ě 2.
iii. Ohne Beweis kann angenommen werden, dass µ multiplikativ ist, d. h. es gilt
µ(m ¨ n) = µ(m) ¨ µ(n)
für alle teilerfremden m, n P N. Zeigen Sie damit, dass das Bild von µ gleich t ´1, 0, 1 u
ist.
iv. Zeigen Sie, dass eine Zahl n P N genau dann quadratfrei ist, wenn µ(n) ‰ 0, oder
äquivalent (µ(n))2 = 1 ist. Dabei heißt n quadratfrei, wenn es keine Primzahl p gibt mit
p2 | n.