Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14)
Alexander Lytchak
Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke
10.01.2014
Alexander Lytchak
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Erinnerung: Zwei ganz wichtige Gruppen
I
Für jede Gruppe (G , ◦) und jedes Element g ∈ G gibt es genau einen
Gruppenhomomorphismus φ : (Z, +) → (G , ◦), mit φ(1) = g .
I
Für jede Gruppe G gibt es einen injektiven Homomorphismus
φ : G → SymG . Jede endliche Gruppe mit höchtsens n Elementen ist
isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sn .
I
Man hat damit gute Chancen, etwas über alle Gruppen zu verstehen,
wenn man etwas über Z oder über Sn versteht.
I
Ein weiteres Ziel der nächsten Vorlesungen ist es, unseren Zoo aus
algebraischen Objekten zu erweiteren. Insbesondere werden wir
wichtige Beispiele von Körpern kennenlernen.
Alexander Lytchak
2/9
Die ganzen Zahlen
Auf der Menge der ganzen Zahlen Z gibt es zwei Verknüpfungen · und +,
die uns sehr gut vertraut sind. Wir werden nun einige einfache
Eigenschaften dieser arithmetischen Verknüpfungen untersuchen.
Proposition
Sei H eine Untergruppe von (Z, +). Dann gibt es eine eindeutige Zahl
n ∈ N, so dass H die Form nZ = {nm|m ∈ Z} hat.
Definition
Für zwei Zahlen x, y ∈ Z sagen wir, dass x die Zahl y teilt, falls es ein
m ∈ Z gibt, mit m · x = y . In diesem Fall schreiben wir x|y . Die Zahl x
heißt ein Teiler der Zahl y . Und y heißt teilbar durch x.
I
Es gilt x|0 für alle x ∈ Z.
I
Es gilt 1|y für alle y ∈ Z. Die Zahl 1 ist nur teilbar durch ±1.
I
Jede Untergruppe von (Z, +) ist die Menge aller durch irgendeine
feste Zahl n ∈ Z teilbaren Zahlen.
Alexander Lytchak
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Teilbarkeit
I
I
I
I
I
Gilt x|y so auch ±x ein Teiler von ±y . Damit kann man sich bei
Teilbarkeitsfragen auf natürliche Zahlen beschränken.
Jede Zahl y ∈ Z \ {0} hat nur endlich viele Teiler. Jeder Teiler x ist
vom Betrag kleiner als |y |.
Jede natürliche Zahl y ≥ 2 hat mindestens zwei positive Teiler 1 und
y . Sind es die einzigen positiven Teiler, so heißt y eine Primzahl.
Aus x|y folgt x|(ay ) für alle a ∈ Z.
Aus x|y1 und x|y2 folgt x|(y1 + y2 ).
Definition
Für zwei ganze Zahlen a, b, die nicht beide gleich 0 sind, bezeichnen wir
als ggT (a, b), (in Worten, größter gemeinsamer Teiler von a und b) die
größte ganze Zahl die a und b teilt. Die Zahlen a und b heißen teilerfremd,
wenn ggT (a, b) = 1 gilt.
Jedes b ∈ Z ist teilerfremd zu 1. Ist a eine Primzahl, so sind a und b
teilerfremd genau dann, wenn b nicht teilbar durch a ist.
Alexander Lytchak
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Satz von Bézout
Proposition
Seien a, b positive ganze Zahlen. Dann ist ggT (a, b) die kleinste positive
ganze Zahl, die man in der Form ax + by mit ganzen Zahlen x, y schreiben
kann.
Folgerung
Zwei positive ganze Zahlen a, b sind teilerfremd genau dann, wenn es
ganze Zahlen x, y gibt, so dass ax + by = 1 gilt.
Alexander Lytchak
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Division mit Rest und Euklidischer Algorithmus
Proposition
Seien a ≥ 0 und b > 0 ganze Zahlen. Dann gibt es eindeutige ganze
Zahlen q ≥ 0 und 0 ≤ r < b mit a = qb + r . Wir sagen, a hat den Rest r
modulo b.
I
Für a, b, q, r wie oben, gilt ggT (a, b) = ggT (b, r ).
I
Diesen Schritt kann man iterieren, um ggT (a, b) zu bestimmen.
Dieses Verfahren heißt Euklidischer Algorithmus.
I
Setze r = r1 und q = q1 . D.h. a = q1 b + r1 . Sei r1 > 0.
I
Finde q2 ≥ 0 und 0 ≤ r2 < r1 mit b = q2 r1 + r2 . Sei r2 > 0.
I
Finde q3 ≥ 0 und 0 ≤ r3 < r2 mit r1 = q3 r2 + r3 .
I
Nach endlich vielen Schritten erhalten wir rn+1 = 0.
I
ggT (a, b) = ggT (b, r1 ) = ggT (r1 , r2 ) = ... = ggT (rn , rn+1 ) = rn .
Alexander Lytchak
6/9
Anwendung und Beispiel
I
Man kann nun auch eine explizite Darstellung von ggT (a, b) als
ax + by bestimmen:
I
ggT (a, b) = rn =
= rn−2 − qn rn−1
= rn−2 − qn (rn−3 − qn−1 rn−2 ) = −qn rn−3 + (1 + qn qn−1 )rn−2 =
= ..... = xa + yb
I
Als Beispiel bestimmen wir ggT (99, 78).
I
99 = 1 · 78 + 21; 78 = 3 · 21 + 15; 21 = 1 · 15 + 6; 15 = 2 · 6 + 3;
6 = 2 · 3 + 0. Damit gilt ggT (99, 78) = 3.
I
Und wir können 3 als 78x + 99y wie folgt schreiben:
3 = 15−2·6 = 15−2·(21−1·15) = 3·15−2·21 = 3·(78−3·21)−2·21 =
3 · 78 − 11 · 21 = 3 · 78 − 11 · (99 − 1 · 78) = 14 · 78 − 11 · 99.
Alexander Lytchak
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Vater der strengen Beweise
Euklid
Um 300 v. Chr. (Alexandria)
Alexander Lytchak
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Zerlegung in Primfaktoren
Die Folgenden Sätze, die sich bereits bei Euklid finden, stehen am Beginn
der elementaren Zahlentheorie.
Proposition
Ist p eine Primzahl, und sind a, b ∈ Z, so gilt p|ab genau dann, wenn p|a
oder p|b gilt.
Satz
Jede natürliche Zahl m ≥ 2 hat eine eindeutige Darstellung als Produkt
von Primzahlen m = p1 · p2 · ... · pl mit p1 ≤ p2 ≤ .... ≤ pl .
Satz
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Alexander Lytchak
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