Blatt 1 - Institut für Mathematik

Zahlentheorie
MA S420
Aufgabenblatt 1
Frühlingssemester 2015
Aufgabenblatt 1
40 Punkte
Aufgabe 1 (Teilermengen)
Seien a = 128 und b = 129.
a) Beschreiben Sie die Teilermengen T(a) und T(b) in aufzählender Form.
2
b) Seien p, q zwei verschiedene Primzahlen.
(i) Wie sieht die Teilermenge von p und q aus?
1
(ii) Wie sieht die Teilermenge von p ⋅ q aus?
1
(iii) Wie sieht die Teilermenge von p ⋅ q aus, für n, m ∈ N?
m
n
1
5
Aufgabe 2 (Euklidischer Algorithmus)
Laut dem Satz auf Seite 5 im Skript ist die kleinste positive Zahl, die wir als Linearkombination von a und b
schreiben können gerade der ggT der beiden Zahlen.
Das heisst, wir finden immer Zahlen n, m ∈ Z, so dass gilt
m ⋅ a + n ⋅ b = ggT(a, b)
Bestimmen Sie nun solche n, m für die Zahlenpaare mit dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus
a) a = 5, b = 8
2
b) a = 254, b = 34
2
c) a = 0, b = 1
1
5
Aufgabe 3 (Ganzzahlige Lösung von Gleichungen)
Bestimmen Sie alle ganzzahligen Lösungspaare (m, n) der Gleichung
m ⋅ 24 + n ⋅ 15 = 27
5
Aufgabe 4 (ggT dreier Zahlen)
Analog wie zum ggT von zwei Zahlen, können wir den ggT auch für drei (und mehr) Zahlen definieren:
ggT(a, b, c) ∶= max (T(a) ∩ T(b) ∩ T(c))
Es gilt wieder, dass diese Zahl die kleinste positive Linearkombination der drei Zahlen darstellt.
Berechnen Sie nun
a) ggT(115, 15, 36)
2
b) und Zahlen m, n, o so dass gilt m ⋅ 115 + n ⋅ 15 + o ⋅ 36 = ggT(115, 15, 36).
3
Verwenden Sie dazu, dass gilt
ggT(a, b, c) = ggT(a, ggT(b, c)) = ggT(ggT(a, b), c) = ggT(ggT(a, c), b)
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UZH Institut für Mathematik, Prof. V. Schroeder
Abgabe 8. April, 2016, 8:00 Uhr
Zahlentheorie
MA S420
Aufgabenblatt 1
Frühlingssemester 2015
Aufgabe 5 (Anzahl der Teiler einer Zahl I)
In der Vorlesung haben Sie gesehen, dass die Zahl n ∈ N mit der Primfaktorzerlegung
pr11 ⋅ pr22 ⋯prkk
gerade (r1 + 1) ⋅ (r2 + 1)⋯(rk + 1) Teiler hat.
a) Für welche Zahlen ist die Anzahl der Teiler 2?
1
b) Für welche Zahlen ist die Anzahl der Teiler prim?
2
c) Für welche Zahlen ist die Anzahl der Teiler ungerade?
2
Beweisen Sie ihre Behauptung.
5
Aufgabe 6 (Anzahl der Teiler einer Zahl II)
Welche Zahlen in {1, . . . , 500} haben 18 Teiler?
5
Aufgabe 7 (Restklassen & 9-er Regel)
a) Stellen Sie Additions- und Multiplikationstabelle für Z9 auf.
2
b) Was ist der Zusammenhang zwischen der Quersumme einer Zahl und ihrem Repräsentanten in Z9 ?
2
c) Wir wissen, dass gilt
a+b=a+b
Erklären Sie damit die “9-er Regel”
und
a⋅b=a⋅b
1
1
5
Aufgabe 8 (Vollkommene Zahlen)
Eine Zahl n heisst vollkommen, wenn die Summe ihrer echten Teiler gerade n ist – die echten Teiler von n sind
T(n) ∖ {n}.
Zeigen Sie: Ist p = 2k − 1 eine Primzahl, so ist n = 2k−1 ⋅ p vollkommen.
1 Die 9-er Regel besagt, dass man bei einer Rechnung die Quersumme ansehen kann, um zu überprüfe ob man sich eventuell
verrechnet hat.
UZH Institut für Mathematik, Prof. V. Schroeder
Abgabe 8. April, 2016, 8:00 Uhr
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