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Prof. Dr. Gerhard Berendt
SS 2001
Ausgewählte Probleme aus der Kryptologie
Mathematische Ergänzungen (I)
Teilbarkeit : Algorithmus von EUKLID.
Die Menge Z der ganzen Zahlen bildet einen Ring mit Einselement; Teilbarkeit ist
daher in der Regel nur mit Rest möglich.
Im folgenden beschränken wir uns auf die Menge N0 der natürlichen Zahlen
inklusive der Zahl 0. Für zwei natürliche Zahlen a und b heißt die größte natürliche
Zahl g , durch die sowohl a als auch b teilbar sind, der größte gemeinsame Teiler
von a und b , geschrieben g = ggT(a,b). Ein einfaches Verfahren zur Bestimmung
des ggT bietet der EUKLIDische Divisionsalgorithmus, wobei o.B.d.A. a  b
angenommen werden kann:
Satz 1.1 : Divisionsalgorithmus von EUKLID:
1. Falls b = 0 , dann setze g = a , gib g aus und beende den Algorithmus.
2. Setze r = a mod b, a = b, b = r und gehe zu 1.
Dabei bezeichnet (s.u.) a mod b den ganzzahligen Rest beim Teilen von a durch b.
Da die Folge der nicht negativen ganzen Zahlen rn streng monoton abnimmt, bricht
der Algorithmus notwendig nach endlich vielen Schritten ab.
Beweis:
1. Zu einem Paar a, b natürlicher Zahlen mit a  b gibt es genau ein Paar r, q 
N0 so, daß a = q b + r und 0  r < b :
Die Menge { a - x b | x  N und a - x b  0 } ist nicht leer. Das kleinste
Element r dieser Menge werde bei Ersetzung von x durch q angenommen, ist
also r = a - q b mit r  0 . Ferner ist r - b = a - ( q + 1 ) b < 0 , also r < b .
Das so bestimmte Paar ( r,q ) ist auch eindeutig:
Gäbe es ein zweites Paar ( r1, q1 ) mit der gleichen Eigenschaft, dann wäre
nämlich r - r1 durch b teilbar, und, da r und r1 beide kleiner als b sind,
müßte r = r1 und damit auch q = q1 gelten.
2.
Sei a = q b + r. Dann ist die gemeinsame Menge der Teiler von a und b die
gleiche wie die der Teiler von b und r : Sei t gemeinsamer Teiler von a und
b, dann ist es auch Teiler von a - q b, also von r . Umgekehrt ist ein s, das
gemeinsamer Teiler von b und r ist, auch Teiler von a .
3.
In jedem Schritt 2. des Divisionsalgorithmus - also auch im letzten vor dem
Abbruch - sind mithin die Zahlen r gemeinsame Teiler von a und b ; dies
trifft auch für g zu. Da die gemeinsame Teilermenge von a und b gleich der
gemeinsamen Teilermenge von g und 0 , also der Teilermenge von g ist, ist
g , wie behauptet, der ggT von a und b .
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Ausgewählte Probleme aus der Kryptologie
Mathematische Ergänzungen (I)
Der Divisionsalgorithmus kann dahingehend erweitert werden, daß zusätzlich zum
ggT( a, b ) Faktoren u und v bestimmt werden, so daß u a + v b = g gilt.
Erweiterter Divisionsalgorithmus zur Bestimmung von Faktoren u und v mit
u a + v b = ggT( a, b ) :
1.
Setze u = 1, g = a . Falls b = 0 , setze v = 0, gib g aus und beende den
Algorithmus; ansonsten setze p = 0 und m = b .
2.
Berechne q und r mit g = q m + r , setze t = u - q p , u = p, g = m , p = t
und m = r .
3.
Falls m = 0 , setze v = ( g - a u ) / b und beende den Algorithmus, ansonsten
gehe zu 2.
Beweis als Aufgabe.
Der Restklassenring Z n = Z / [n] .
Seien a, b  Z und n  N. Dann partitioniert die Äquivalenzrelation
a  b  a - b teilbar durch n
die Menge der ganzen Zahlen in sogenannte Restklassen modulo n.
Man schreibt a = b mod n und wählt als Repräsentanten der Restklasse modulo n die
Zahlsymbole 0, 1, 2 . . . n-1 .
Die Menge der Repräsentanten wird mit Z n =
Z / [n] bezeichnet.
Überträgt man die Addition und Multiplikation der Elemente von Z n auf kanonische
Weise aus der Menge Z , dann folgt, daß Z n ein kommutativer Ring mit Einselement
ist. Dieser Ring heißt der Restklassenring modulo n , im folgenden kurz als Rn
bezeichnet.
Rn ist im allgemeinen kein Körper. Damit zu einem aRn ein multiplikatives Inverses
a-1 existiert, ist notwendig und hinreichend, daß der größte gemeinschaftliche Teiler
(ggT) von a und n gleich 1 ist: ggT(a,n) = 1:
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Ausgewählte Probleme aus der Kryptologie
Mathematische Ergänzungen (I)
Satz 1.2 :
Ein Element a aus Rn besitzt genau dann ein multiplikatives Inverses a-1 ,
wenn ggT(a,n) = 1 ist.
Beweis:
a) Angenommen, es existiere ein x  Rn mit ax = 1 mod n = kn+1 mit k  Z und
ggT(a,n) = p > 1, d.h. a = a' p und n = n' p. Dann wäre die ganze Zahl a' x - k n'
gleich der gebrochenen Zahl 1/p. In diesem Falle kann also kein x mit der
verlangten Eigenschaft existieren.
b) Der erweiterte EUKLIDische Divisionsalgorithmus liefert die Aussage, daß sich
der ggT als ganzzahlige Linearkombination von a und n schreiben läßt. Hieraus
liest man unmittelbar ab, daß wegen ggT(a,n) = 1 der Koeffizient von a in dieser
Linearkombination das multiplikative Inverse von a ist.
Als Korollar folgt sofort:
Korollar 1.3:
Der Restklassenring Rp modulo einer Primzahl p ist ein Körper.
Die Anzahl der Elemente im Restklassenring Rn , die ein multiplikatives Inverses
besitzen, wird als Wert der EULERschen  - Funktion bezeichnet:
Definition 1.4 :
Die EULERsche  - Funktion ist durch
(n) : = { 0 < b < n | ggT(b,n) = 1}
definiert.
Als Korollar 1.5 folgt direkt, daß für eine Primzahl p gilt: (p) = p-1 .