Kapitel 5: Die Fermatsche Vermutung und Pythagoreische Tripel

KAPITEL 5
Die Fermatsche Vermutung und Pythagoreische
Tripel
Vermutung 5.1 (Fermatsche Vermutung (ca. 1637)). Die Gleichung xn +y n =
z n hat nur für n = 1 und n = 2 Lösungen x, y, z ∈ N.
Deﬁnition 5.2. Es sei n ∈ N. Eine Lösung der Gleichung x, y, z ∈ N mit
xn + y n = z n und ggT(x, y, z) = 1 nennt man primitives Lösungstripel (im Fall
n = 2 primitives Pythagoreisches Tripel). Für primitive Lösungstripel gilt:
a) Ist n gerade, so ist genau eine der Zahlen x und y gerade, z ist ungerade.
b) ggT(x, y) = ggT(y, z) = ggT(x, z) = 1.
Satz 5.3 (Pythagoreisches Tripel). Genau dann ist x, y, z eine primitive Lösung
(d.h. mit ggT(x, y, z) = 1) mit der Gleichung
x2 + y 2 = z 2
wenn x = 2st, y = s2 − t2 (oder y = 2st, x = s2 − t2 ) und z = s2 + t2 für
s, t ∈ N mit s > t und s − t ungerade gilt.
Satz 5.4 (Fermat). Die Gleichung x4 + y 4 = z 4 hat keine Lösungen x, y, z ∈ N.
Korollar 5.5. Hat die Gleichung xp + y p = z p für alle p ∈ P \ {2} keine
Lösungen x, y, z ∈ N, so ist die Fermatsche Vermutung richtig.
Bemerkung 5.6. Weitere Ergebnisse:
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n = 3 (Euler, 1770)
Notwendige Bedingungen für Germain Primzahlen (Germain, 1823)
n = 14 (Dirichtlet, 1832), n = 7 (Lame, 1839)
Große Klasse von Primzahlen (Kummer, 1846)
Ausschreibung des Wolfskehl Preises (100000 Goldmark, 1908)
Für jedes n > 2 gibt es höchstens endlich viele primitive Lösungstripel
(Faltings 1983)
• Die Fermatsche Vermutung wird bewiesen (Wiles 1995).
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