Übungen zur Algebra für LAK

Übungen zur Algebra für LAK
A. Bartels, R. Zeidler
Blatt 1
WS 16/17
Abgabetermin: 27.10.2016
√
Aufgabe 1: Zeigen Sie, dass Q[ 3] ein Unterkörper der komplexen Zahlen ist.
(
)
√
√
Q[ 3] := x + y 3 x, y ∈ Q
k
Aufgabe 2: Für jedes k ∈ N heißt Fk := 1 + 22 die k-te Fermatsche Zahl.
(i) Zeigen Sie, dass die folgenden Rekursionsformeln für jedes k ∈ N gelten:
Fk+1 − 2 = (Fk − 2)Fk ,
k−1
Y
Fk − 2 =
Fl .
l=0
(ii) Zeigen Sie, dass je zwei verschiedene Fermatsche Zahlen teilerfremd sind.
Aufgabe 3: Formulieren und beweisen Sie den Satz des Thales unter Verwendung des Vektorraums R2 und des Euklidischen Skalarprodukts.
Für das Konzept des (rechten) Winkels beachten Sie:
Seien P,Q,Q0 ∈ R2 sodass Q , P , Q0. Sei g der Strahl vom P durch
Q, und g0 der Strahl von P durch Q0. Dann stehen g und g0 per Definition
zueinander im rechten Winkel, wenn hQ − P | Q0 − Pi = 0. (Warum ist das
wohldefiniert?)
Aufgabe 4: Seien n, m ∈ N teilerfremde natürliche Zahlen, sodass sowohl das regelmäßige
n-Eck als auch das regelmäßige m-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind. Zeigen
Sie, dass dann auch das regelmäßige nm-Eck konstruierbar ist. (Sie können verwenden,
2πi
dass die Konstruierbarkeit des k-Ecks äquivalent zu e k ∈ ({0, 1}) ist.)