Dreieckskonstruktionen Klasse 7 Holger Täubig

Dreieckskonstruktionen Klasse 7
Holger Täubig (Mathecamp 2009)
Aufgabe 1[2]
Konstruiere ein Dreieck mit den Seitenlängen
a = 3.2cm, c = 5cm
und der Höhe
hc = 3cm.
1. Lösungsplan
C
a
hc
c
A
Wir nehmen an
HC
4ABC
a)
A
b)
AB = c
A
B
sei eines der gesuchten Dreiecke.
sei der Fuÿpunkt der Höhe
Für den Punkt
Hc
hC . 4HC BC
ist aus
a, hC
und
∠CHC B = 90◦
konstruierbar.
gilt
liegt auf der Geraden durch
HC
und
B.
2. Konstruktion
C
a
hc
Hc
c
A
c
B
A0
3. Konstruktionsbeschreibung
a) Wähle
HC
auf einer Gerade
b) Errichte die Senkrechte
g.
HC C = hc
c) Zeichne Kreisbogen mit Radius
d) Trage
AB = c
von
B
aus auf
g
a
zu
um
g
in
C,
HC .
der
g
in
B
schneidet.
ab.
4. Determination (Konstruierbarkeit/Eindeutigkeit)
Wann läÿt sich das Dreieck konstruieren? Ist es eindeutig?
a > hC , so ist 4HC BC eindeutig konstruierbar
von B ausgehend in beide Richtungen von g .
Ist
Ist
a = hC ,
so ist
HC = B .
(ssw). Es existieren zwei Lösungen
Dann ist die Konstruktion von
A
eindeutig.
A
und
A0 ,
Ist
a < hC ,
so existiert der Punkt
B
nicht.
Notwendig und hinreichend für die Existenz eines
4ABC
ist damit
a ≥ hC
Für
a = hC
existiert eine eindeutige, sonst zwei nicht kongruente Lösungen.
5. Beweis
Das konstruierte Dreieck erfüllt die geforderten Bedingungen.
Nach Konstruktionsschritt (3c) gilt
90◦ ) der Länge
hC .
Ferner ist nach
BC = a und B ∈ g . Nach
(3d) AB = A0 B = c.
(3b) ist
HC C
eine Höhe (∠CHC B
=
Aufgabe 2[1]
Konstruiere ein Dreieck mit
c = 5.2cm, α = 40◦
und
b − a = 2cm.
1. Lösungsplan
C
F
·
D
b−
α
a
c
A
Wir nehmen an,
D ∈ AC
4ABC
B
sei eines der gesuchten Dreiecke.
sei der Punkt mit
AD = b − a. 4ABD
ist aus
AB = c, ∠DAB = α
konstruierbar.
Da
DC = AC − AD = a = BC
Der Punkt
C
gilt, ist
4DBC
liegt:
a) auf dem Schenkel des Winkels
α,
auf dem
b) auf dem freien Schenlkel des Winkels
Beide Geraden schneiden sich in
2. Konstruktion
gleichschenklig.
C,
wenn
D
liegt.
∠DBC = ∠CDB .
∠CDB < 90◦
ist.
und
AD = b − a
C
D
b−
α
a
c
A
B
3. Konstruktionsbeschreibung
a) Zeichne
AB = c
b) Trage Winkel
C
an
AB
in
AD = b − a
c) Konstruiere
d) Trage an
α
DB
in
B
A
an
auf dem freien Schenkel aus (3b)
den Winkel
∠CDB
an.
ist der Schnittpunkt des freien Schenkels mit der Verlängerung von
AD
90min
4. Determination (Konstruierbarkeit/Eindeutigkeit)
Ist
0◦ < α < 180◦ ,
so ist das Teildreieck
4ABD
bis auf Kongruenz eindeutig konstruierbar (sws).
Diese Bedingung ist auch notwendig.
α ≥ 90◦ , so ist ∠ADB ≤ 90◦ und daher ∠CDB = ∠CBD ≥ 90◦ .
der Punkt C nicht (Winkelsumme in 4DBC ).
Ist
Ist
0 < α < 90◦
und
∠ADB > 90◦ ,
also
∠CDB = ∠CBD < 90◦ ,
Daher existiert in diesem Fall
so gibt es genau einen Punkt
C.
(*)
Ist
0 < α < 90◦
und
∠ADB ≤ 90◦ ,
also
∠CDB = ∠CBD ≥ 90◦ ,
so existiert Punkt
C
nicht
(Winkelsumme).
(*)
A, D, F in dieser Reihenfolge auf AC
b − a < c cos α gilt.
Dieser Fall liegt genau dann vor, wenn
dieser Fall genau dann ein, wenn
liegen. Damit tritt
Zusammenfassung:
Notwendig und hinreichend für die Existenz eines
4ABC
sind
0 < α < 90◦
und
b − a < c cos α.
Unter diesen Bedingungen ist es eindeutig.
5. Beweis
Nach (3a) ist
AB = c.
Nach (3b) ist
∠CAB = α.
Ferner ist
AC − BC = AD + DC − BC = AD
=b−a
Damit enthält
4ABC
nach (3d)
nach (3c)
die gegebenen Stücke.
120min
Literatur
[1] Wolfgang Moldenhauer. Spezialkurs Förderung mathematischer Talente. Unterrrichtsmaterialien,
Erfurt, July 1989.
[2] A.S. Posamentier. Arbeitsmaterialien Mathematik: 119 Unterrichtseinheiten. Klett, 1994.