Lösungen - Institut für Theoretische Physik

Dr. J. Reinhardt
Wintersemester 2014/15
Theoretikum zur Vorlesung
Theoretische Physik III für Lehramtskandidaten
Lösungen zu Blatt 5
Aufgabe 1
a) Zu lösen ist die relativistische Bewegungsgleichung (es genügt die Betrachtung in einer
Dimension)
mv
d
p
= qE .
dt 1 − v 2 /c2
Dies lässt sich sofort über die Zeit integrieren, mit dem Resultat
mv
p
= qEt
1 − v 2 /c2
−→
dx
=v= r
dt
ct
2 .
t2 + mc
qE
Die Geschwindigkeit v nähert sich für große Zeiten der Lichtgeschwindigkeit c, bleibt
= t0 kann der Summand
jedoch immer etwas darunter. Im Grenzfall kleiner Zeiten t ≪ mc
qE
2
t in der Wurzel vernachlässigt werden
v(t) ≃
qE
t.
m
Die charakteristische Zeit t0 entspricht der Zeit, nach der das Teilchen in der nichtrelativistischen Theorie die Lichtgeschwindigkeit erreichen würde.
Mit der angegebenen Integralformel lässt sich die Geschwindigkeit elementar über die Zeit
integrieren:
s
r
2
Z t
qEt 2
2
2
′
mc
mc
mc
ct
2 +
x(t) =
=
−
−
1
.
dt′ r
=
c
t
1
+
2
qE
qE
qE
mc
0
mc
t′2 + qE
Betrachten wir den Grenzfall kleiner Zeiten t ≪ t0 Mit der Näherungsformel mit
1 + 12 z ergibt sich
x(t) ≃
1 qE
1 qEt 2
mc2 1+
−1 =
t2 .
qE
2 mc
2m
1
√
1+z ≃
Dies ist die von der Fallbewegung bekannte quadratische Zeitabhängigkeit mit der konqE
. Für große Zeiten t ≫ t0 ergibt sich hingegen
stanten Fallbeschleunigung“
”
m
r
mc2 qEt
mc 2
mc2 qEt
mc2
x(t) =
−1 ≃
− 1 = ct −
.
1+
qE mc
qEt
qE mc
qE
Da die Lichtgeschwindigkeit nicht überschritten werden
kann, flacht sich die parabolische Zeitabhängigkeit ab,
wird linear und ähnelt der Trajektorie eines Lichtstrahls
x = ct, allerdings infolge des langsamen“ Teils der
”
Bahn um einen konstanten Abstand verschoben. Mathematisch entspricht die resultierende Bewegung einem
Hyperbelast in der x-t-Ebene.
b) Für die mechanische Energie E des Teilchens (bestehend aus kinetischer und Ruhenergie, aber ohne potentielle Energie) ergibt sich
r
mc 2
mc2
mc2
2
2 qE
E(t) = γmc = p
t2 +
= mc
=s
mc
qE
1 − v 2 /c2
t2
1− 2
mc 2
t + ( qE )
r
qEt 2
2
.
= mc 1 +
mc
Für große Zeiten wächst die Energie linear mit t an. Betrachten wir, wie die Energie von
der Flugstrecke abhängt. Der Wurzelausdruck in der Energiegleichung (d.h. der LorentzFaktor γ) tritt in gleicher Form auch im Ausdruck für x(t) auf. Aufgelöst ergibt sich
r
qEt 2
qE
γ = 1+
x+1
=
mc
mc2
und somit
qE
E(x) = mc
x + 1 = qEx + mc2 .
mc2
2
Der erste Summand lässt sich bis auf ein Vorzeichen mit der potentiellen Energie des Teil~ = −∇φ
~ gilt im homogenen elektrischen
chens im elektrischen Feld identifizieren: Wegen E
Feld φ = −Ex (mit der Wahl φ(0) = 0). Die zugehörige potentielle Energie der Ladung
ist U = qφ = −qEx. Folglich gilt für die Gesamtenergie:
E + U = mc2 = const .
Das ist Ausdruck der Energieerhaltung: Der in E steckende Zuwachs an kinetischer Energie
geht auf Kosten der potentiellen Energie U, die entsprechend absinkt.
2
Aufgabe 2
Grundlage für die Berechnung der Kinematik von Streuproblemen ist immer die Energieund Impulserhaltung, also (relativistisch betrachtet) die Gleichheit der Summe aller Viererimpulse vor und nach dem Streuprozess. Im Schwerpunktsystem K’ bewegen sich Projektil und Target mit entgegengesetzt gleichem Impuls aufeinander zu, die beiden Protonen
haben also die Viererimpulse
p′1 = (E ′ /c, ~p ′ )
und
p′2 = (E ′ /c, −~p ′ ) .
Der Gesamt-Viererimpuls ist daher P ′ = p′1 + p′2 = (2E ′ /c, ~0). Wenn alle vier Teilchen
nach dem Stoß in Ruhe sind (so ist die Energieschwelle definiert), dann besteht deren
Gesamtenergie aus der Summe der vier Ruhenergien 4mc2 und für den Viererimpuls gilt
P ′ = (4mc, ~0). Gleichsetzen von P ′ vor und nach dem Stoß liefert für die Energieschwelle
im Schwerpunktsystem den Wert E ′ = 2mc2 , entsprechend der Summe der Ruhenergien
der beiden neu erzeugten Teilchen.
Um die Energieschwelle im Laborsystem K (Ruhsystem des zweiten Protons) zu berechen,
könnte man die Geschwindigkeit des Schwerpunktsystems K’ bestimmen und dann die
Energie E1 durch eine Lorentz-Transformation p′1 → p1 ermitteln. Eine elegante Alternative besteht darin, die Lorentz-Invarianz des quadrierten Impulsvektors P ′2 = P 2 auszunutzen. Im Schwerpunktsystem hat diese Größe offenbar den Wert P ′2 = (4mc)2 = 16m2 c2 .
Im Laborsystem gilt für den quadrierten Gesamtimpuls
P 2 = (p1 + p2 )2 = p21 + p22 + 2p1 · p2 = 2m2 c2 + 2p1 · p2
wobei die relativistische Energie-Impuls-Beziehung p21 = p22 = m2 c2 benutzt wurde.
Im Laborsystem haben die beiden Viererimpulse die Komponenten
p1 = (E/c, ~p )
und
p2 = (mc, ~0) .
Für das vierdimensionale Skalarprodukt der beiden Impulse ergibt sich damit p1 · p2 =
p01 p02 − ~p1 · p~2 = (E/c)mc − ~p · ~0 = Em. Gleichsetzen von P 2 = P ′2 liefert für die Energieschwelle
P 2 = 2m2 c2 + 2Em = 16m2 c2
E = 7mc2 .
−→
2
Der zu
p dieser Energie gehörende Wert der Geschwindigkeit lässt sich aus E = γmc =
2
mc / 1 − v 2 /c2 berechnen:
r
r
mc2 2 r
48
v
v 2 mc2 2
1
= 1−
≃ 0.9897 .
−→
= 1− 2 =
1− 2 =
c
E
c
E
7
49
3
Aufgabe 3
a) Wir betrachten im System K eine Ladung q, die sich mit der Geschwindigkeit ~v durch
~ bewegt. Wie wir aus der Elektrodynamik wissen, wirkt auf eine bewegte
das Magnetfeld B
~ die sie senkrecht zur Bewegungsrichtung und zur
Ladung die Lorentz-Kraft F~ = q~v × B,
Magnetfeldrichtung beschleunigt. Nun analysieren wir die Situation im (momentanen)
Ruhsystem K’ der Ladung. Auch hier muss die Beschleunigung auftreten, sie kann aber
nicht von einem Magnetfeld hervorgerufen werden, da ja die Geschwindigkeit der Ladung
in K’ Null ist. Also bleibt nur die Möglichkeit, dass auf die Ladung ein elektrisches Feld
~ ′ senkrecht zur Bewegungsrichtung und zur Richtung des ursprünglichen Magnetfelds
E
einwirkt.
K
K‘
®
®
B
B‘
q
q
®
®
F
®
v
®
v
E‘
~ vorliegen. Man kann sich vorstellen,
b) Im System K soll ein elektrostatisches Feld E
dass dieses Feld von ruhenden elektrischen Quellen-Ladungen hervorgerufen wird, beispielsweise von den Ladungen auf den Leiterplatten eines Kondensators. Im System K’
sind diese Ladungen nicht mehr in Ruhe sondern bewegen sich mit der Geschwindigkeit
−~v . Im System K’ treten also elektrische Ströme auf, die gemäß dem Ampereschen Ge~ ′ hervorrufen. Wie in der Abbildung skizziert, sollte dieses
setz ein magnetisches Feld B
Magnetfeld senkrecht auf der Bewegungsrichtung und auf dem elektrischen Feld stehen.
K
K‘
®
-j
_ _ _ _ _ _ _
®
®
E‘
®
E
B‘
®
v
+ + + + + + +
®
j
®
v
Ergänzung: Das exakte Resultat zur gegebenen Fragestellung lautet
a)
b)
~ ′ = γ~v × B
~
~ ′ = γB
~ ,
E
und
B
~
~ ′ = γE
~ .
~ ′ = − 1 γ~v × E
und
E
B
2
c
Dies folgt aus dem Verhalten des elektromagnetischen Feldstärketensors unter LorentzTransformationen (in der Vorlesung nicht behandelt).
4