Höhere Quantenmechanik

TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
PD Dr. M. Buballa
Institut für Kernphysik
Höhere Quantenmechanik
WS 2008/2009,
3. Übungsblatt
4./5. November 2008
Präsenzübungen:
Aufgabe 10:
Überprüfen Sie für die in der Vorlesung eingeführten Projektoren auf Lösungen positiver
bzw. negativer Energie
Λ+ (p) =
p/ + mc
,
2mc
Λ− (p) =
−p/ + mc
2mc
2
die Projektoreigenschaften Λ± = Λ± und Λ+ Λ− = Λ− Λ+ = 0.
Aufgabe 11:
(+)
Sei ψp,i (x) = ui (p) e−ip·x/~ eine Lösung der freien Dirac-Gleichung mit positiver Energie.
Wir definieren außerdem den Tensor σ µν := 2i [γ µ , γ ν ].
a) Zeigen Sie:
p/ui (p) = mc ui (p)
b) Zeigen Sie:
γ µ p/ = pµ − iσ µν pν
und
und
ūi (p)p/ = mc ūi (p).
p/γ µ = pµ + iσ µν pν
c) Leiten Sie mit Hilfe von a) und b) die ,,Gordon-Zerlegung”
c ūi (p′ )γ µ uj (p) =
her.
1
ūi (p′ ) (p′ µ + pµ ) + iσ µν (p′ν − pν ) uj (p)
2m
(+)
(+)
d) Wenden Sie c) auf den ,,Übergangsstrom” j µ (x) = c ψ̄p′ ,i (x)γ µ ψp,j (x) an und vergleichen Sie das Ergebnis für die räumlichen Komponenten mit dem der SchrödingerTheorie.
Bemerkung: Der zusätzliche Term hat etwas mit dem Spin des Teilchens zu tun.
Aufgabe 12:
Wie in der Vorlesung hergeleitet, sind die linear unabhängigen Lösungen der freien Dirac
Gleichung im Impulsraum in der Dirac-Darstellung gegeben durch
!
!
~
σ ·~
pc
ϕi (p)
χ
(p)
i
2
E+mc
, vi (p) =
ui (p) =
~
σ ·~
pc
ϕ (p)
χi (p)
E+mc2 i
q
1
0
2
.
mit ϕ1 (p) = χ2 (p) = N (p)
und ϕ2 (p) = χ1 (p) = N (p)
, wobei N (p) = E+mc
2mc2
0
1
p
E/c
Ferner ist p =
mit E = + p~ 2 c2 + m2 c4 .
p~
1
a) Zeigen Sie, dass
ui (p) = p
p/ + mc
2m(E
b) Beweisen Sie damit
+ mc2 )
ui (mc, ~0) und vi (p) = p
ūi (p) uj (p) = −v̄i (p) vj (p) = δij ,
−p/ + mc
2m(E + mc2 )
vi (mc, ~0) .
ūi (p) vj (p) = v̄i (p) uj (p) = 0 .
Hausübungen:
Aufgabe 13:
Ein allgemeines Wellenpaket ist durch
Z
i
d3 p mc2 X − ~i p·x
∗
p·x
~
ψ(x) =
b(p,
s)u
(p)e
+
d
(p,
s)v
(p)e
s
s
(2π~)3 E s
gegeben.
a) Leiten Sie einen allgemeinen Ausdruck für den Gesamt-Viererstrom
Z
Z
µ
3
µ
J (t) =
d x j (x) = c d3 x ψ̄(x) γ µ ψ(x)
her, indem Sie die Integrationen so weit wie möglich ausführen. (Matrixelemente von
der Art ūγ µ u etc. brauchen Sie an dieser Stelle noch nicht auszuwerten.)
R
b) Zeigen Sie, dass sich aus der Forderung d3 x ψ † (x)ψ(x) = 1 die Bedingung
Z
d3 p mc2 X
|b(p, s)|2 + |d(p, s)|2 = 1
3
(2π~) E s
ergibt.
c) Betrachten Sie nun den Spezialfall, dass ψ(x) nur Anteile positiver Energie besitzt,
d.h. d(p, s) = 0 für alle p und s. Werten Sie die Matrix-Elemente ūγ µ u mit Hilfe
der Gordon-Zerlegung aus und berechnen Sie die räumlichen Komponenten J k (t) des
k = ∂E aus
Gesamtstroms. Drücken Sie J k mit Hilfe der Gruppengeschwindigkeit vG
∂pk
~
und zeigen Sie, dass J als Erwartungswert von ~vG interpretiert werden kann.
d) Untersuchen Sie nun den allgemeinen Fall, bei dem ψ(x) Anteile sowohl positiver als
auch negativer Energie enthält. Leiten Sie für v̄γ µ v eine Gordon-Zerlegung her und vereinfachen Sie damit den entsprechenden Term. Sie finden dann, dass der Dreierstrom
J~ wieder einen Anteil enthält, der als Erwartungswert der Gruppengeschwindigkeit
interpretiert werden kann. Zeigen Sie, dass es jedoch noch einen zusätzlichen Beitrag
zum Strom gibt, der zeitlich nicht konstant ist.
Bemerkung: Diese Eigenschaft eines zeitabhängigen Stroms bezeichnet man – auch in
der internationalen Literatur – als ,,Zitterbewegung” (Schrödinger, 1930).
2