Primzahlen - iazd.uni

Kapitel 1
Primzahlen
Bevor wir uns allgemeineren Themen und Begriffen der Algebra zuwenden, wollen wir einige
zugleich elementare und schöne Ideen aus der Theorie der Primzahlen zusammenstellen, da
diese gewissermaßen die (multiplikativen) Bausteine für das Gebäude der natürlichen bzw.
ganzen Zahlen darstellen.
1.1
Teilbarkeit, Primzahlen und Teilerfremdheit
Primzahlen sind multiplikativ unzerlegbare Zahlen.
1.1.1 Definition. Eine natürliche Zahl k ist Teiler einer natürlichen Zahl n, und n ist ein
Vielfaches von k, in Zeichen k|n, falls eine natürliche Zahl m mit km = n existiert (wir
schreiben km für k · m).
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p > 1, die keine natürlichen Teiler außer 1 und p hat.
Zwei natürliche Zahlen m und n heißen teilerfremd, wenn 1 ihr einziger gemeinsamer Teiler ist.
1.1.2 Notation.
∅
leere Menge (enthält kein Element)
N
Menge der natürlichen Zahlen {1, 2, . . . }
N0
Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen {0, 1, 2, . . . }
Z
Menge der ganzen Zahlen {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }
Q
Menge der rationalen Zahlen (Brüche) { nz | z, n ∈ Z, n > 0} = { nz | z ∈ Z, n ∈ N}
R
Menge der reellen Zahlen
C
Menge der komplexen Zahlen {a + ıb | a, b ∈ R} (ı komplexe Einheit mit ı2 = −1)
P
Menge der Primzahlen {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}
Für reelles x und A ⊆ R sei
A≥x = {a ∈ A | a ≥ x}
A≤x = {a ∈ A | a ≤ x} usw., insbesondere
m = N≤m = {1, ..., m} für m ∈ N, 0 = ∅.
Für eine beliebige Menge A bezeichne A∗ die Menge A \ {0}.
1
KAPITEL 1. PRIMZAHLEN
2
1.1.3 Lemma. (Primteiler)
Jede natürliche Zahl n > 1 besitzt einen kleinsten Primteiler, nämlich p = min{d ∈ N≥2 | d|n}.
Eine beliebige Primzahl ist entweder Teiler von n oder teilerfremd zu n.
Hieraus folgt leicht mit Induktion:
1.1.4 Satz. (Fundamentalsatz der Zahlentheorie)
Jede natürliche Zahl besitzt eine (bis auf Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Primfaktorzerlegung.
Später werden wir analoge Sätze in allgemeineren Strukturen beweisen.
Von Euklid (4. Jh. vor Chr.) stammt der folgende berühmte Satz:
1.1.5 Satz. (Unendlichkeit der Primzahlmenge)
Die Menge P der Primzahlen ist unendlich.
Denn wäre sie endlich, etwa P = {p1 , ..., pn }, so hätte das um 1 vermehrte Produkt aller
Primzahlen einen Primteiler, der von all diesen Primzahlen verschieden wäre.
1.1.6 Bemerkung. Leider liefert dieser Satz keine direkte Konstruktionsvorschrift für Primzahlen der Form p1 · ... · pn + 1: Setzt man für p ∈ P
p• =
Y
q,
q ∈ P≤p
so ist p• + 1 relativ selten eine Primzahl, nämlich für p ∈ P≤10000 nur in folgenden Fällen:
p = 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787.
Man muss also nach den kleinsten Teilern von p• + 1 suchen, um neue Primzahlen zu finden.
1.1.7 Satz. (Teilerfremdheit der Fermat-Zahlen)
n
Die Fermat-Zahlen Fn = 22 + 1 (n ∈ N0 ) sind paarweise teilerfremd.
Zum Beweis verifiziert man zuerst induktiv die Gleichung
Fn =
n−1
Y
Fm + 2
m=0
und folgert daraus, dass die einzigen möglichen Teiler von Fn und Fm (m < n) die Zahlen 1
und 2 sind. Aber 2 kommt nicht in Frage, weil jedes Fn ungerade ist.
1.1.8 Bemerkung. Fn ist für n = 0, 1, 2, 3, 4 prim, aber weitere Fermatsche Primzahlen sind
bis heute nicht bekannt. Zum Beispiel hat F5 nach Euler den Primteiler 641. Fermatsche
Primzahlen spielen eine wesentliche Rolle bei der Konstruktion regelmäßiger n-Ecke. Denn
nach einem berühmten Satz von Gauß ist ein regelmäßiges n-Eck genau dann mit Zirkel und
Lineal konstruierbar, wenn in der Primzahlzerlegung von n außer einer Zweierpotenz höchstens
Fermatsche Zahlen als Primteiler in erster Potenz auftreten. Daher sind regelmäßige n-Ecke
konstruierbar für
n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17..., nicht jedoch für 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19...
KAPITEL 1. PRIMZAHLEN
3
Viele weitere Folgen paarweise teilerfremder Zahlen bekommt man durch diese Konstruktion:
1.1.9 Satz. (Folgen teilerfremder Zahlen)
Sind a und k0 > a teilerfremde natürliche Zahlen, so definiert die Rekursion
2
kn := kn−1
− a kn−1 + a
eine streng monoton wachsende Folge paarweise teilerfremder Zahlen.
Der Beweis (mittels Induktion) ist eine lehrreiche Übungsaufgabe.
Was ergibt sich für a = 2, k0 = 3?
Einen ersten Aufschluss über das Wachstum der Anzahl
π(x) := # P≤x
aller Primzahlen unterhalb x (und damit einen quantitativen Beweis für die Unendlichkeit der
Primzahlmenge) liefert das folgende Resultat von Euler (18. Jh.):
1.1.10 Satz. (Wachstum der Primzahlen)
Die Anzahl der Primzahlen unterhalb x wächst mindestens ebenso schnell wie der (natürliche)
Logarithmus:
Z x
1
π(x) ≥ log x =
dt.
1 t
Zum Beweis betrachtet man die Menge
Bx = {n ∈ N | p ∈ P, p|n ⇒ p ∈ P≤x }
aller Zahlen, deren sämtliche Primteiler unterhalb x liegen, und findet die Abschätzung
log x ≤
1
k≤x k
P
≤
1
n∈Bx n
P
=
Q
P∞
p∈P≤x (
1
k=0 pk )
=
p
p∈P≤x p−1
Q
≤
Qπ(x) k+1
k=1 k = π(x) + 1.
Mit einer etwas genaueren Abschätzung bei der zweiten Ungleichung lässt sich auch noch der
Summand +1 eliminieren.
Eine andere Verschärfung für die Unendlichkeit der Primzahlmenge ist die folgende, ebenfalls
von Euler stammende Entdeckung:
1.1.11 Satz. (Divergenz der reziproken Primzahlreihe)
X1
ist divergent.
p
p∈P
Ein genialer Beweis hierzu stammt von Erdös: Wäre p∈P p1 konvergent, so gäbe es ein m mit
P
1
1
Am = m \ Bm der oben definierte Menge Bm
p∈P≥m p < 2 . Für die Komplementärmenge
P
m
m
(m ∈ N) gilt dann #Am ≤ p∈P≥m m
<
,
denn
p
2
p schätzt die Anzahl der Vielfachen von
p unterhalb m ab. Für n ∈ Bm hat man eine Zerlegung n = an b2n , wobei an ein Produkt von
verschiedenen Primzahlen unterhalb k ist. Dafür gibt es höchstens 2k Möglichkeiten, und für
√
√
√
bn ≤ n ≤ m hat man höchstens m Möglichkeiten, insgesamt also
√
m
m = #Am + #Bm <
+ 2k m.
2
√
m
2k+2
Aber für m = 2
ist 2 + 2k m = m, ein Widerspruch.
P
KAPITEL 1. PRIMZAHLEN
1.2
4
Formeln für Primzahlen
Um es gleich vorwegzunehmen: Vernünftige, für die Praxis nützliche Formeln, die nur Primzahlen, und zwar unendlich viele liefern, scheint man bis heute nicht gefunden zu haben. Trotzdem
gibt es kuriose Formeln mit dieser Eigenschaft. Einige davon beruhen auf einem berühmten
Satz von Wilson, und dieser wiederum auf folgendem Satz der Algebra, der zunächst nicht viel
mit Primzahlen zu tun zu haben scheint:
1.2.1 Satz. (Endliche Ringe und Körper)
Für einen endlichen kommutativen Ring R mit Einselement 1 6= 0 sind folgende Aussagen
äquivalent:
(a) R ist ein Körper.
(b) Das Produkt aller von 0 verschiedenen Elemente von R ist −1.
(c) R hat keine Nullteiler, d.h. ab = 0 impliziert a = 0 oder b = 0 für a, b ∈ R.
Für (a) ⇒ (b) fasst man die von 0, 1 und −1 verschiedenen Elemente zu Paarmengen {a, a−1 }
zusammen. Wegen a · a−1 = 1 ist das Produkt über all diese Elemente gleich 1 und folglich das
Produkt über alle Elemente aus R∗ = R \ {0} gleich −1. Zu (b) ⇒ (c) ist lediglich zu beachten,
dass das Produkt von Elementen, von denen zwei das Produkt 0 ergeben, ebenfalls 0 sein muss.
Für (c) ⇒ (a) nützt man schließlich aus, dass die Abbildung ma : R∗ → R∗ , x 7→ ax für jedes
a ∈ R∗ wohldefiniert und wegen der Nullteilerfreiheit injektiv und wegen der Endlichkeit von
R∗ sogar bijektiv ist. Folglich hat jedes solche a ein Inverses.
Angewandt auf den Restklassenring Zn (den wir später noch genauer studieren), ergibt dies:
1.2.2 Satz. (Primzahltest von Wilson) Eine natürliche Zahl n > 1 ist genau dann eine
Primzahl, wenn (n − 1)! + 1 = n(n − 1)... · 1 + 1 durch n teilbar ist.
Zum Beispiel ist
(2 − 1)! + 1 = 2, (3 − 1)! + 1 = 3, (4 − 1)! + 1 = 7, (5 − 1)! + 1 = 25, (6 − 1)! + 1 = 121.
Aus dieser Bedingung bauen wir jetzt eine Formel zusammen. Wir brauchen dazu
1.2.3 Lemma. (Einheitswurzeln)
Die komplexen n-te Einheitswurzeln
ζ = e2πım/n
haben folgende Eigenschaft:
n−1
X
ζ k = 0, falls ζ 6= 1.
k=0
Für ζ = 1 is die Summe gleich n.
Der Grund für die “Nullsummenformel” ist die Gleichung ζ n = 1, also
n−1
X
k=0
ζk =
ζn − 1
= 0 für ζ 6= 1.
ζ −1
KAPITEL 1. PRIMZAHLEN
5
Indem wir den Realteil der Eulerschen Formel
eıx = cos x + ı sin x
betrachten, erhalten wir aus dem obigen Lemma eine Summenformel für den Cosinus:
1.2.4 Folgerung. (Cosinussummen)
Ist m ∈ Z kein Vielfaches von n, so gilt
n−1
X
cos(2kπm/n) = 0,
k=0
anderenfalls ist die Summe gleich n.
Und der Spezialfall m = (n − 1)! + 1 führt zu folgender Kuriosität:
1.2.5 Folgerung. (Eine “Primzahlformel”)
Für die Funktion
f (n) =
n−1
X
cos(2kπ((n − 1)! + 1)/n)
k=0
gilt f (n) = n, falls n eine Primzahl oder gleich 1 ist, und f (n) = 0 in allen anderen Fällen.
Daher ist
π(x) =
bxc
X
f (n)/n.
n=2
In dieser mysteriösen Formel hat das Zeichen π links natürlich eine andere Bedeutung als rechts
(Kreiszahl!) in dem Ausdruck für f (n).
Einige Werte von f (n) explizit:
f (1) = cos(0) = 1,
f (2) = 1 + cos(2π) = 2,
f (3) = 1 + cos(2π) + cos(4π) = 3,
f (4) = 1 + cos(7π/2) + cos(7π) + cos(21π/2) = 1 + 0 − 1 + 0 = 0,
f (5) = 1 + cos(10π) + cos(20π) + cos(30π) + cos(40π) = 5,
f (6) = 1+cos(π/3)+cos(2π/3)+cos(3π/3)+cos(4π/3)+cos(5π/3) = 1+ 21 − 12 −1− 12 + 12 = 0.
Dass einfach gebaute Funktionen wie Polynome keine Primzahlformeln liefern können, zeigt
folgendes schärfere Resultat:
1.2.6 Satz. (Primzahlwerte von Polynomen)
Sei f ein nichtkonstantes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten.
(1) Zu jedem m ∈ N gibt es unendlich viele n ∈ N, so dass f (n) ein Vielfaches von f (m) ist.
(2) Unendlich viele der Werte |f (n)| sind keine Primzahlen.
(3) Für jedes feste a > 1 sind unendlich viele der Werte a|f (n)| − 1 keine Primzahlen.
Beweis als Übungsaufgabe!
KAPITEL 1. PRIMZAHLEN
1.3
6
Mersenne-Zahlen und vollkommene Zahlen
In diesem Abschnitt befassen wir uns kurz mit natürlichen Zahlen der Form 2n − 1, den
sogenannten Mersenne-Zahlen (nach dem Jesuitenpater Marin Mersenne, 1588-1648).
Zunächst eine Anmerkung über sehr ähnlich aussehende Zahlen:
1.3.1 Lemma. (Fermat-Primzahlen)
Eine Zahl der Form 2n + 1 kann nur dann eine Primzahl sein, wenn n eine Zweierpotenz, also
m
2n + 1 = 22 + 1 eine Fermat-Zahl ist.
Denn anderenfalls hat n einen ungeraden Teiler k > 1, und 2n + 1 ist daher durch 2n/k + 1
P
m j
teilbar: Für m = n/k gilt 2n + 1 = (2m )k + 1 = (2m + 1)( k−1
j=0 (−2 ) ).
Analog sieht man:
1.3.2 Lemma. (Mersenne-Primzahlen)
Eine Zahl der Form Mn = 2n − 1 kann nur dann eine Primzahl sein, wenn der Exponent n
ebenfalls eine Primzahl ist.
Denn anderenfalls besitzt n eine Produktzerlegung n = k · m mit k > 1 und m > 1, so dass
P
j k ist.
2n − 1 das Produkt der von 1 verschiedenen Teiler 2k − 1 und m−1
j=0 2
Leider gilt die Umkehrung von Lemma 1.3.2 nicht: Während die Mersenne-Zahlen
M2 = 22 − 1 = 3, M3 = 23 − 1 = 7, M5 = 25 − 1 = 31, M7 = 27 − 1 = 127
tatsächlich Primzahlen sind, ist
M11 = 211 − 1 = 2047 = 23 · 89
die kleinste zusammengesetzte Mersenne-Zahl. Für p ≤ 127 = 27 − 1 sind die einzigen Werte,
die Mersenne-Primzahlen Mp liefern:
p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127.
Erst ab 1950 wurden mit Hilfe von Computern größere Mersenne-Primzahlen 2p −1 gefunden.
Die größten heute bekannten Primzahlen sind allesamt Mersenne-Zahlen. Der letzte Rekord
stammt aus den Jahren 2008 und 2009. Lang laufende Computerprogramme lieferten die
Mersenne-Primzahlen
2 37156667 − 1 , 2 42643801 − 1 und 2 43112609 − 1 .
Auf die Methoden, wie man solche Monsterzahlen rechnerisch behandelt, können wir hier nicht
eingehen. Es sei aber erwähnt, dass die Idee, aus jeder Mersenne-Primzahl p eine neue, nämlich
2p − 1 zu gewinnen, leider nicht zum Ziel führt: Es ist zwar
p = 213 − 1
eine Primzahl, aber 2p − 1 ist zusammengesetzt und hat den Primfaktor
2 · 20644229 · (213 − 1) + 1 = 338193759479.
Jedoch weiß man von der folgenden naheliegenden Rekursion nicht, ob sie nur MersennePrimzahlen liefert:
p0 = 2, pn+1 = 2pn − 1.
KAPITEL 1. PRIMZAHLEN
7
Sie ergibt
p1 = 3, p2 = 7, p3 = 127, p4 = 2127 − 1 ∈ P,
(der letzte Fall wurde schon 1876 von Lucas gelöst), aber ob p5 eine Primzahl ist, hat man bis
jetzt nicht herausbekommen.
Bereits in der Antike studierte man sogenannte vollkommene Zahlen.
1.3.3 Definition. Eine natürliche Zahl v heißt vollkommen, wenn sie die Summe ihrer echten
Teiler (also aller von v verschiedenen Teiler) ist.
Der folgende Satz führt die Suche nach geraden vollkommenen Zahlen auf die Bestimmung
der Mersenne-Primzahlen zurück. Die hinreichende Bedingung stammt schon von Euklid, die
notwendige von Euler.
1.3.4 Satz. (Gerade vollkommene Zahlen)
Für die Vollkommenheit einer geraden Zahl v = 2n−1 u (mit n > 1 und ungeradem u) ist
notwendig und hinreichend, dass u = 2n − 1 eine Mersenne-Primzahl ist.
In der Tat: Falls u = 2n − 1 eine Mersenne-Primzahl ist, so sind die Teiler von v = 2n−1 u genau
die Zahlen 2j und 2j u mit j = 0, ..., n−1. Ihre Summe ist exakt
n−1
X
2j (1 + 2n − 1) = (2n − 1)2n = 2n u = 2v = v + v.
j=0
Nehmen wir umgekehrt an, v = 2n−1 u sei eine vollkommene gerade Zahl. Wir bezeichnen
mit σ(u) die Summe der Teiler von u. Da jeder Teiler von v sich eindeutig als Produkt einer
Zweierpotenz und eines Teilers von u schreiben läßt, ist die Summe aller Teiler von v
n−1
X
2j σ(u) = (2n − 1)σ(u) = 2v = 2n u.
j=0
Es muss also σ(u) = 2n w und u = (2n − 1)w für ein w ∈ N gelten. Wäre w > 1, so hätte u
mindestens die Teiler 1, w und (2n − 1)w, und es wäre
σ(u) ≥ 1 + w + (2n − 1)w > 2n w.
Also muss w = 1 und σ(u) = 2n = u + 1 sein, was nur für Mersenne-Primzahlen u möglich ist.
1.3.5 Folgerung. (Vollkommene Zahlen als Summen)
Jede gerade vollkommene Zahl ist nicht nur die Summe ihrer echten Teiler, sondern auch die
Summe aller Zahlen von 1 bis zu einer Mersenne-Primzahl Mp = 2p − 1:
Mp
X
1
2p−1 (2p − 1) = (Mp + 1)Mp =
j.
2
j=1
Die ersten vier geraden vollkommenen Zahlen sind nach dem Satz von Euklid und Euler:
1
1
1
1
(M2 + 1)M2 = 6, (M3 + 1)M3 = 28, (M5 + 1)M5 = 496, (M7 + 1)M7 = 4064.
2
2
2
2
Bis heute ist unbekannt, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt. Aber man weiß, dass eine
solche Zahl größer als 10100 sein und mindestens acht Teiler haben müsste!